Theorem uzid 12800

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12525	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11713	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12789	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496   ≤ cle 11177  ℤcz 12521  ℤ_≥cuz 12785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-pre-lttri 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7367  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-neg 11377  df-z 12522  df-uz 12786

This theorem is referenced by:  uzidd  12801  uzn0  12802  uz11  12810  uzinfi  12875  uzsupss  12887  eluzfz1  13482  eluzfz2  13483  elfz3  13485  elfz1end  13505  fzssp1  13518  fzpred  13523  fzp1ss  13526  fzpr  13530  fztp  13531  elfz0add  13577  fzolb  13617  zpnn0elfzo  13690  fzosplitsnm1  13692  fzofzp1  13716  fzosplitsn  13728  fzostep1  13738  om2uzuzi  13908  axdc4uzlem  13942  seqf  13982  seqfveq  13985  seq1p  13995  faclbnd3  14251  bcm1k  14274  bcn2  14278  seqcoll  14423  swrds1  14626  pfxccatpfx2  14696  rexuz3  15308  r19.2uz  15311  cau3lem  15314  caubnd2  15317  climconst  15502  climuni  15511  isercoll2  15628  climsup  15629  climcau  15630  serf0  15640  iseralt  15644  fsumcvg3  15688  fsumparts  15766  o1fsum  15773  abscvgcvg  15779  isum1p  15803  isumrpcl  15805  isumsup2  15808  climcndslem1  15811  climcndslem2  15812  climcnds  15813  cvgrat  15845  mertenslem1  15846  fprodabs  15936  binomfallfaclem2  16002  fprodefsum  16057  eftlub  16073  rpnnen2lem11  16188  bitsfzo  16401  bitsinv1  16408  smupval  16454  seq1st  16537  algr0  16538  eucalg  16553  2mulprm  16659  prmdvdsbc  16693  oddprm  16778  pcfac  16867  pcbc  16868  vdwlem6  16954  prmlem0  17073  gsumprval  18653  efgsres  19710  telgsumfzs  19961  lmconst  23242  lmmo  23361  zfbas  23877  uzrest  23878  iscau2  25260  iscau4  25262  caun0  25264  caussi  25280  equivcau  25283  lmcau  25296  mbfsup  25647  mbfinf  25648  mbflimsup  25649  plyco0  26173  dvply2g  26267  dvply2gOLD  26268  geolim3  26322  aaliou3lem2  26326  aaliou3lem3  26327  ulm2  26369  ulm0  26375  ulmcaulem  26378  ulmcau  26379  ulmss  26381  ulmcn  26383  ulmdvlem3  26386  ulmdv  26387  abelthlem7  26422  2logb9irr  26778  sqrt2cxp2logb9e3  26782  ppinprm  27135  chtnprm  27137  ppiublem1  27185  chtublem  27194  chtub  27195  bposlem6  27272  lgsqr  27334  lgseisenlem4  27361  lgsquadlem1  27363  lgsquad2  27369  pntpbnd1  27569  pntlemf  27588  ostth2lem2  27617  istrkg2ld  28548  axlowdimlem17  29047  clwwlkvbij  30204  2clwwlk2  30439  numclwlk2lem2f  30468  fzdif2  32884  esumcvg  34252  dya2ub  34436  dya2icoseg  34443  sseqmw  34557  sseqf  34558  ballotlemfp1  34658  iprodefisumlem  35944  poimirlem1  37964  poimirlem2  37965  poimirlem3  37966  poimirlem4  37967  poimirlem6  37969  poimirlem7  37970  poimirlem8  37971  poimirlem9  37972  poimirlem13  37976  poimirlem14  37977  poimirlem15  37978  poimirlem16  37979  poimirlem17  37980  poimirlem18  37981  poimirlem19  37982  poimirlem20  37983  poimirlem21  37984  poimirlem22  37985  poimirlem23  37986  poimirlem24  37987  poimirlem26  37989  poimirlem27  37990  poimirlem31  37994  poimirlem32  37995  mblfinlem2  38001  sdclem1  38086  fdc  38088  seqpo  38090  incsequz2  38092  geomcau  38102  bfplem2  38166  3lexlogpow2ineq1  42519  flt4lem2  43102  eq0rabdioph  43230  rexrabdioph  43248  jm3.1lem1  43471  dvgrat  44765  rexanuz3  45552  uzfissfz  45782  allbutfi  45848  uzid2  45859  fmul01lt1lem1  46040  climinf  46062  climsuse  46064  limsupvaluz2  46192  supcnvlimsup  46194  ioodvbdlimc1lem2  46386  ioodvbdlimc2lem  46388  iblspltprt  46427  stoweidlem7  46461  wallispilem1  46519  wallispilem4  46522  dirkertrigeqlem1  46552  sge0isum  46881  sge0reuzb  46902  carageniuncllem1  46975  caratheodorylem1  46980  smflimlem1  47225  smflimlem2  47226  smflim  47231  smfsuplem1  47265  smfsuplem3  47267  smflimsuplem1  47274  smflimsuplem2  47275  iccpartres  47898  iccelpart  47913  4fppr1  48231  pgnioedg1  48604  pgnioedg2  48605  pgnioedg3  48606  pgnioedg4  48607  pgnbgreunbgrlem1  48609  pgnbgreunbgrlem4  48615  fldivexpfllog2  49061  nnlog2ge0lt1  49062  logbpw2m1  49063  fllog2  49064  blennnelnn  49072  blenpw2  49074  blennnt2  49085  nnolog2flm1  49086  dig2nn0ld  49100  dig2nn1st  49101  0dig2pr01  49106  aacllem  50296