Theorem uzid 12786

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12511	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11722	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12775	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499   ≤ cle 11187  ℤcz 12507  ℤ_≥cuz 12771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-pre-lttri 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-neg 11386  df-z 12508  df-uz 12772

This theorem is referenced by:  uzidd  12787  uzn0  12788  uz11  12796  uzinfi  12865  uzsupss  12877  eluzfz1  13470  eluzfz2  13471  elfz3  13473  elfz1end  13493  fzssp1  13506  fzpred  13511  fzp1ss  13514  fzpr  13518  fztp  13519  elfz0add  13565  fzolb  13604  zpnn0elfzo  13677  fzosplitsnm1  13679  fzofzp1  13703  fzosplitsn  13714  fzostep1  13722  om2uzuzi  13892  axdc4uzlem  13926  seqf  13966  seqfveq  13969  seq1p  13979  faclbnd3  14235  bcm1k  14258  bcn2  14262  seqcoll  14407  swrds1  14609  pfxccatpfx2  14679  rexuz3  15292  r19.2uz  15295  cau3lem  15298  caubnd2  15301  climconst  15486  climuni  15495  isercoll2  15612  climsup  15613  climcau  15614  serf0  15624  iseralt  15628  fsumcvg3  15672  fsumparts  15749  o1fsum  15756  abscvgcvg  15762  isum1p  15784  isumrpcl  15786  isumsup2  15789  climcndslem1  15792  climcndslem2  15793  climcnds  15794  cvgrat  15826  mertenslem1  15827  fprodabs  15917  binomfallfaclem2  15983  fprodefsum  16038  eftlub  16054  rpnnen2lem11  16169  bitsfzo  16382  bitsinv1  16389  smupval  16435  seq1st  16518  algr0  16519  eucalg  16534  2mulprm  16640  prmdvdsbc  16673  oddprm  16758  pcfac  16847  pcbc  16848  vdwlem6  16934  prmlem0  17053  gsumprval  18598  efgsres  19653  telgsumfzs  19904  lmconst  23182  lmmo  23301  zfbas  23817  uzrest  23818  iscau2  25211  iscau4  25213  caun0  25215  caussi  25231  equivcau  25234  lmcau  25247  mbfsup  25599  mbfinf  25600  mbflimsup  25601  plyco0  26131  dvply2g  26226  dvply2gOLD  26227  geolim3  26281  aaliou3lem2  26285  aaliou3lem3  26286  ulm2  26328  ulm0  26334  ulmcaulem  26337  ulmcau  26338  ulmss  26340  ulmcn  26342  ulmdvlem3  26345  ulmdv  26346  abelthlem7  26382  2logb9irr  26739  sqrt2cxp2logb9e3  26743  ppinprm  27096  chtnprm  27098  ppiublem1  27147  chtublem  27156  chtub  27157  bposlem6  27234  lgsqr  27296  lgseisenlem4  27323  lgsquadlem1  27325  lgsquad2  27331  pntpbnd1  27531  pntlemf  27550  ostth2lem2  27579  istrkg2ld  28441  axlowdimlem17  28939  clwwlkvbij  30093  2clwwlk2  30328  numclwlk2lem2f  30357  fzdif2  32764  esumcvg  34070  dya2ub  34255  dya2icoseg  34262  sseqmw  34376  sseqf  34377  ballotlemfp1  34477  iprodefisumlem  35721  poimirlem1  37609  poimirlem2  37610  poimirlem3  37611  poimirlem4  37612  poimirlem6  37614  poimirlem7  37615  poimirlem8  37616  poimirlem9  37617  poimirlem13  37621  poimirlem14  37622  poimirlem15  37623  poimirlem16  37624  poimirlem17  37625  poimirlem18  37626  poimirlem19  37627  poimirlem20  37628  poimirlem21  37629  poimirlem22  37630  poimirlem23  37631  poimirlem24  37632  poimirlem26  37634  poimirlem27  37635  poimirlem31  37639  poimirlem32  37640  mblfinlem2  37646  sdclem1  37731  fdc  37733  seqpo  37735  incsequz2  37737  geomcau  37747  bfplem2  37811  3lexlogpow2ineq1  42040  flt4lem2  42629  eq0rabdioph  42758  rexrabdioph  42776  jm3.1lem1  43000  dvgrat  44295  rexanuz3  45084  uzfissfz  45316  allbutfi  45383  uzid2  45395  fmul01lt1lem1  45576  climinf  45598  climsuse  45600  limsupvaluz2  45730  supcnvlimsup  45732  ioodvbdlimc1lem2  45924  ioodvbdlimc2lem  45926  iblspltprt  45965  stoweidlem7  45999  wallispilem1  46057  wallispilem4  46060  dirkertrigeqlem1  46090  sge0isum  46419  sge0reuzb  46440  carageniuncllem1  46513  caratheodorylem1  46518  smflimlem1  46763  smflimlem2  46764  smflim  46769  smfsuplem1  46803  smfsuplem3  46805  smflimsuplem1  46812  smflimsuplem2  46813  iccpartres  47413  iccelpart  47428  4fppr1  47730  pgnioedg1  48092  pgnioedg2  48093  pgnioedg3  48094  pgnioedg4  48095  pgnbgreunbgrlem1  48097  pgnbgreunbgrlem4  48103  fldivexpfllog2  48548  nnlog2ge0lt1  48549  logbpw2m1  48550  fllog2  48551  blennnelnn  48559  blenpw2  48561  blennnt2  48572  nnolog2flm1  48573  dig2nn0ld  48587  dig2nn1st  48588  0dig2pr01  48593  aacllem  49784