Theorem uzid 12766

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12492	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11703	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12755	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492   ≤ cle 11167  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  uzidd  12767  uzn0  12768  uz11  12776  uzinfi  12841  uzsupss  12853  eluzfz1  13447  eluzfz2  13448  elfz3  13450  elfz1end  13470  fzssp1  13483  fzpred  13488  fzp1ss  13491  fzpr  13495  fztp  13496  elfz0add  13542  fzolb  13581  zpnn0elfzo  13654  fzosplitsnm1  13656  fzofzp1  13680  fzosplitsn  13692  fzostep1  13702  om2uzuzi  13872  axdc4uzlem  13906  seqf  13946  seqfveq  13949  seq1p  13959  faclbnd3  14215  bcm1k  14238  bcn2  14242  seqcoll  14387  swrds1  14590  pfxccatpfx2  14660  rexuz3  15272  r19.2uz  15275  cau3lem  15278  caubnd2  15281  climconst  15466  climuni  15475  isercoll2  15592  climsup  15593  climcau  15594  serf0  15604  iseralt  15608  fsumcvg3  15652  fsumparts  15729  o1fsum  15736  abscvgcvg  15742  isum1p  15764  isumrpcl  15766  isumsup2  15769  climcndslem1  15772  climcndslem2  15773  climcnds  15774  cvgrat  15806  mertenslem1  15807  fprodabs  15897  binomfallfaclem2  15963  fprodefsum  16018  eftlub  16034  rpnnen2lem11  16149  bitsfzo  16362  bitsinv1  16369  smupval  16415  seq1st  16498  algr0  16499  eucalg  16514  2mulprm  16620  prmdvdsbc  16653  oddprm  16738  pcfac  16827  pcbc  16828  vdwlem6  16914  prmlem0  17033  gsumprval  18613  efgsres  19667  telgsumfzs  19918  lmconst  23205  lmmo  23324  zfbas  23840  uzrest  23841  iscau2  25233  iscau4  25235  caun0  25237  caussi  25253  equivcau  25256  lmcau  25269  mbfsup  25621  mbfinf  25622  mbflimsup  25623  plyco0  26153  dvply2g  26248  dvply2gOLD  26249  geolim3  26303  aaliou3lem2  26307  aaliou3lem3  26308  ulm2  26350  ulm0  26356  ulmcaulem  26359  ulmcau  26360  ulmss  26362  ulmcn  26364  ulmdvlem3  26367  ulmdv  26368  abelthlem7  26404  2logb9irr  26761  sqrt2cxp2logb9e3  26765  ppinprm  27118  chtnprm  27120  ppiublem1  27169  chtublem  27178  chtub  27179  bposlem6  27256  lgsqr  27318  lgseisenlem4  27345  lgsquadlem1  27347  lgsquad2  27353  pntpbnd1  27553  pntlemf  27572  ostth2lem2  27601  istrkg2ld  28532  axlowdimlem17  29031  clwwlkvbij  30188  2clwwlk2  30423  numclwlk2lem2f  30452  fzdif2  32870  esumcvg  34243  dya2ub  34427  dya2icoseg  34434  sseqmw  34548  sseqf  34549  ballotlemfp1  34649  iprodefisumlem  35934  poimirlem1  37818  poimirlem2  37819  poimirlem3  37820  poimirlem4  37821  poimirlem6  37823  poimirlem7  37824  poimirlem8  37825  poimirlem9  37826  poimirlem13  37830  poimirlem14  37831  poimirlem15  37832  poimirlem16  37833  poimirlem17  37834  poimirlem18  37835  poimirlem19  37836  poimirlem20  37837  poimirlem21  37838  poimirlem22  37839  poimirlem23  37840  poimirlem24  37841  poimirlem26  37843  poimirlem27  37844  poimirlem31  37848  poimirlem32  37849  mblfinlem2  37855  sdclem1  37940  fdc  37942  seqpo  37944  incsequz2  37946  geomcau  37956  bfplem2  38020  3lexlogpow2ineq1  42308  flt4lem2  42886  eq0rabdioph  43014  rexrabdioph  43032  jm3.1lem1  43255  dvgrat  44549  rexanuz3  45336  uzfissfz  45567  allbutfi  45633  uzid2  45645  fmul01lt1lem1  45826  climinf  45848  climsuse  45850  limsupvaluz2  45978  supcnvlimsup  45980  ioodvbdlimc1lem2  46172  ioodvbdlimc2lem  46174  iblspltprt  46213  stoweidlem7  46247  wallispilem1  46305  wallispilem4  46308  dirkertrigeqlem1  46338  sge0isum  46667  sge0reuzb  46688  carageniuncllem1  46761  caratheodorylem1  46766  smflimlem1  47011  smflimlem2  47012  smflim  47017  smfsuplem1  47051  smfsuplem3  47053  smflimsuplem1  47060  smflimsuplem2  47061  iccpartres  47660  iccelpart  47675  4fppr1  47977  pgnioedg1  48350  pgnioedg2  48351  pgnioedg3  48352  pgnioedg4  48353  pgnbgreunbgrlem1  48355  pgnbgreunbgrlem4  48361  fldivexpfllog2  48807  nnlog2ge0lt1  48808  logbpw2m1  48809  fllog2  48810  blennnelnn  48818  blenpw2  48820  blennnt2  48831  nnolog2flm1  48832  dig2nn0ld  48846  dig2nn1st  48847  0dig2pr01  48852  aacllem  50042