Theorem uzid 12770

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11707	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12759	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493   ≤ cle 11171  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-neg 11371  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  uzidd  12771  uzn0  12772  uz11  12780  uzinfi  12845  uzsupss  12857  eluzfz1  13451  eluzfz2  13452  elfz3  13454  elfz1end  13474  fzssp1  13487  fzpred  13492  fzp1ss  13495  fzpr  13499  fztp  13500  elfz0add  13546  fzolb  13585  zpnn0elfzo  13658  fzosplitsnm1  13660  fzofzp1  13684  fzosplitsn  13696  fzostep1  13706  om2uzuzi  13876  axdc4uzlem  13910  seqf  13950  seqfveq  13953  seq1p  13963  faclbnd3  14219  bcm1k  14242  bcn2  14246  seqcoll  14391  swrds1  14594  pfxccatpfx2  14664  rexuz3  15276  r19.2uz  15279  cau3lem  15282  caubnd2  15285  climconst  15470  climuni  15479  isercoll2  15596  climsup  15597  climcau  15598  serf0  15608  iseralt  15612  fsumcvg3  15656  fsumparts  15733  o1fsum  15740  abscvgcvg  15746  isum1p  15768  isumrpcl  15770  isumsup2  15773  climcndslem1  15776  climcndslem2  15777  climcnds  15778  cvgrat  15810  mertenslem1  15811  fprodabs  15901  binomfallfaclem2  15967  fprodefsum  16022  eftlub  16038  rpnnen2lem11  16153  bitsfzo  16366  bitsinv1  16373  smupval  16419  seq1st  16502  algr0  16503  eucalg  16518  2mulprm  16624  prmdvdsbc  16657  oddprm  16742  pcfac  16831  pcbc  16832  vdwlem6  16918  prmlem0  17037  gsumprval  18617  efgsres  19671  telgsumfzs  19922  lmconst  23209  lmmo  23328  zfbas  23844  uzrest  23845  iscau2  25237  iscau4  25239  caun0  25241  caussi  25257  equivcau  25260  lmcau  25273  mbfsup  25625  mbfinf  25626  mbflimsup  25627  plyco0  26157  dvply2g  26252  dvply2gOLD  26253  geolim3  26307  aaliou3lem2  26311  aaliou3lem3  26312  ulm2  26354  ulm0  26360  ulmcaulem  26363  ulmcau  26364  ulmss  26366  ulmcn  26368  ulmdvlem3  26371  ulmdv  26372  abelthlem7  26408  2logb9irr  26765  sqrt2cxp2logb9e3  26769  ppinprm  27122  chtnprm  27124  ppiublem1  27173  chtublem  27182  chtub  27183  bposlem6  27260  lgsqr  27322  lgseisenlem4  27349  lgsquadlem1  27351  lgsquad2  27357  pntpbnd1  27557  pntlemf  27576  ostth2lem2  27605  istrkg2ld  28536  axlowdimlem17  29035  clwwlkvbij  30192  2clwwlk2  30427  numclwlk2lem2f  30456  fzdif2  32872  esumcvg  34245  dya2ub  34429  dya2icoseg  34436  sseqmw  34550  sseqf  34551  ballotlemfp1  34651  iprodefisumlem  35936  poimirlem1  37824  poimirlem2  37825  poimirlem3  37826  poimirlem4  37827  poimirlem6  37829  poimirlem7  37830  poimirlem8  37831  poimirlem9  37832  poimirlem13  37836  poimirlem14  37837  poimirlem15  37838  poimirlem16  37839  poimirlem17  37840  poimirlem18  37841  poimirlem19  37842  poimirlem20  37843  poimirlem21  37844  poimirlem22  37845  poimirlem23  37846  poimirlem24  37847  poimirlem26  37849  poimirlem27  37850  poimirlem31  37854  poimirlem32  37855  mblfinlem2  37861  sdclem1  37946  fdc  37948  seqpo  37950  incsequz2  37952  geomcau  37962  bfplem2  38026  3lexlogpow2ineq1  42380  flt4lem2  42957  eq0rabdioph  43085  rexrabdioph  43103  jm3.1lem1  43326  dvgrat  44620  rexanuz3  45407  uzfissfz  45638  allbutfi  45704  uzid2  45716  fmul01lt1lem1  45897  climinf  45919  climsuse  45921  limsupvaluz2  46049  supcnvlimsup  46051  ioodvbdlimc1lem2  46243  ioodvbdlimc2lem  46245  iblspltprt  46284  stoweidlem7  46318  wallispilem1  46376  wallispilem4  46379  dirkertrigeqlem1  46409  sge0isum  46738  sge0reuzb  46759  carageniuncllem1  46832  caratheodorylem1  46837  smflimlem1  47082  smflimlem2  47083  smflim  47088  smfsuplem1  47122  smfsuplem3  47124  smflimsuplem1  47131  smflimsuplem2  47132  iccpartres  47731  iccelpart  47746  4fppr1  48048  pgnioedg1  48421  pgnioedg2  48422  pgnioedg3  48423  pgnioedg4  48424  pgnbgreunbgrlem1  48426  pgnbgreunbgrlem4  48432  fldivexpfllog2  48878  nnlog2ge0lt1  48879  logbpw2m1  48880  fllog2  48881  blennnelnn  48889  blenpw2  48891  blennnt2  48902  nnolog2flm1  48903  dig2nn0ld  48917  dig2nn1st  48918  0dig2pr01  48923  aacllem  50113