Theorem uzid 12747

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12472	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11683	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12736	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  uzidd  12748  uzn0  12749  uz11  12757  uzinfi  12826  uzsupss  12838  eluzfz1  13431  eluzfz2  13432  elfz3  13434  elfz1end  13454  fzssp1  13467  fzpred  13472  fzp1ss  13475  fzpr  13479  fztp  13480  elfz0add  13526  fzolb  13565  zpnn0elfzo  13638  fzosplitsnm1  13640  fzofzp1  13664  fzosplitsn  13676  fzostep1  13686  om2uzuzi  13856  axdc4uzlem  13890  seqf  13930  seqfveq  13933  seq1p  13943  faclbnd3  14199  bcm1k  14222  bcn2  14226  seqcoll  14371  swrds1  14574  pfxccatpfx2  14644  rexuz3  15256  r19.2uz  15259  cau3lem  15262  caubnd2  15265  climconst  15450  climuni  15459  isercoll2  15576  climsup  15577  climcau  15578  serf0  15588  iseralt  15592  fsumcvg3  15636  fsumparts  15713  o1fsum  15720  abscvgcvg  15726  isum1p  15748  isumrpcl  15750  isumsup2  15753  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  cvgrat  15790  mertenslem1  15791  fprodabs  15881  binomfallfaclem2  15947  fprodefsum  16002  eftlub  16018  rpnnen2lem11  16133  bitsfzo  16346  bitsinv1  16353  smupval  16399  seq1st  16482  algr0  16483  eucalg  16498  2mulprm  16604  prmdvdsbc  16637  oddprm  16722  pcfac  16811  pcbc  16812  vdwlem6  16898  prmlem0  17017  gsumprval  18596  efgsres  19650  telgsumfzs  19901  lmconst  23176  lmmo  23295  zfbas  23811  uzrest  23812  iscau2  25204  iscau4  25206  caun0  25208  caussi  25224  equivcau  25227  lmcau  25240  mbfsup  25592  mbfinf  25593  mbflimsup  25594  plyco0  26124  dvply2g  26219  dvply2gOLD  26220  geolim3  26274  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem3  26279  ulm2  26321  ulm0  26327  ulmcaulem  26330  ulmcau  26331  ulmss  26333  ulmcn  26335  ulmdvlem3  26338  ulmdv  26339  abelthlem7  26375  2logb9irr  26732  sqrt2cxp2logb9e3  26736  ppinprm  27089  chtnprm  27091  ppiublem1  27140  chtublem  27149  chtub  27150  bposlem6  27227  lgsqr  27289  lgseisenlem4  27316  lgsquadlem1  27318  lgsquad2  27324  pntpbnd1  27524  pntlemf  27543  ostth2lem2  27572  istrkg2ld  28438  axlowdimlem17  28936  clwwlkvbij  30093  2clwwlk2  30328  numclwlk2lem2f  30357  fzdif2  32773  esumcvg  34099  dya2ub  34283  dya2icoseg  34290  sseqmw  34404  sseqf  34405  ballotlemfp1  34505  iprodefisumlem  35784  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem3  37662  poimirlem4  37663  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem8  37667  poimirlem9  37668  poimirlem13  37672  poimirlem14  37673  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem18  37677  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem21  37680  poimirlem22  37681  poimirlem23  37682  poimirlem24  37683  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem31  37690  poimirlem32  37691  mblfinlem2  37697  sdclem1  37782  fdc  37784  seqpo  37786  incsequz2  37788  geomcau  37798  bfplem2  37862  3lexlogpow2ineq1  42150  flt4lem2  42739  eq0rabdioph  42868  rexrabdioph  42886  jm3.1lem1  43109  dvgrat  44404  rexanuz3  45192  uzfissfz  45424  allbutfi  45490  uzid2  45502  fmul01lt1lem1  45683  climinf  45705  climsuse  45707  limsupvaluz2  45835  supcnvlimsup  45837  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  iblspltprt  46070  stoweidlem7  46104  wallispilem1  46162  wallispilem4  46165  dirkertrigeqlem1  46195  sge0isum  46524  sge0reuzb  46545  carageniuncllem1  46618  caratheodorylem1  46623  smflimlem1  46868  smflimlem2  46869  smflim  46874  smfsuplem1  46908  smfsuplem3  46910  smflimsuplem1  46917  smflimsuplem2  46918  iccpartres  47517  iccelpart  47532  4fppr1  47834  pgnioedg1  48207  pgnioedg2  48208  pgnioedg3  48209  pgnioedg4  48210  pgnbgreunbgrlem1  48212  pgnbgreunbgrlem4  48218  fldivexpfllog2  48665  nnlog2ge0lt1  48666  logbpw2m1  48667  fllog2  48668  blennnelnn  48676  blenpw2  48678  blennnt2  48689  nnolog2flm1  48690  dig2nn0ld  48704  dig2nn1st  48705  0dig2pr01  48710  aacllem  49901