Theorem uzid 12606

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12332	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11550	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12595	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437   ≤ cle 11019  ℤcz 12328  ℤ_≥cuz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-neg 11217  df-z 12329  df-uz 12592

This theorem is referenced by:  uzidd  12607  uzn0  12608  uz11  12616  uzinfi  12677  uzsupss  12689  eluzfz1  13272  eluzfz2  13273  elfz3  13275  elfz1end  13295  fzssp1  13308  fzpred  13313  fzp1ss  13316  fzpr  13320  fztp  13321  elfz0add  13364  fzolb  13402  zpnn0elfzo  13469  fzosplitsnm1  13471  fzofzp1  13493  fzosplitsn  13504  fzostep1  13512  om2uzuzi  13678  axdc4uzlem  13712  seqf  13753  seqfveq  13756  seq1p  13766  faclbnd3  14015  bcm1k  14038  bcn2  14042  seqcoll  14187  swrds1  14388  pfxccatpfx2  14459  rexuz3  15069  r19.2uz  15072  cau3lem  15075  caubnd2  15078  climconst  15261  climuni  15270  isercoll2  15389  climsup  15390  climcau  15391  serf0  15401  iseralt  15405  fsumcvg3  15450  fsumparts  15527  o1fsum  15534  abscvgcvg  15540  isum1p  15562  isumrpcl  15564  isumsup2  15567  climcndslem1  15570  climcndslem2  15571  climcnds  15572  cvgrat  15604  mertenslem1  15605  fprodabs  15693  binomfallfaclem2  15759  fprodefsum  15813  eftlub  15827  rpnnen2lem11  15942  bitsfzo  16151  bitsinv1  16158  smupval  16204  seq1st  16285  algr0  16286  eucalg  16301  2mulprm  16407  oddprm  16520  pcfac  16609  pcbc  16610  vdwlem6  16696  prmlem0  16816  gsumprval  18381  gsumccatOLD  18488  efgsres  19353  telgsumfzs  19599  lmconst  22421  lmmo  22540  zfbas  23056  uzrest  23057  iscau2  24450  iscau4  24452  caun0  24454  caussi  24470  equivcau  24473  lmcau  24486  mbfsup  24837  mbfinf  24838  mbflimsup  24839  plyco0  25362  dvply2g  25454  geolim3  25508  aaliou3lem2  25512  aaliou3lem3  25513  ulm2  25553  ulm0  25559  ulmcaulem  25562  ulmcau  25563  ulmss  25565  ulmcn  25567  ulmdvlem3  25570  ulmdv  25571  abelthlem7  25606  2logb9irr  25954  sqrt2cxp2logb9e3  25958  ppinprm  26310  chtnprm  26312  ppiublem1  26359  chtublem  26368  chtub  26369  bposlem6  26446  lgsqr  26508  lgseisenlem4  26535  lgsquadlem1  26537  lgsquad2  26543  pntpbnd1  26743  pntlemf  26762  ostth2lem2  26791  istrkg2ld  26830  axlowdimlem17  27335  clwwlkvbij  28486  2clwwlk2  28721  numclwlk2lem2f  28750  fzdif2  31121  prmdvdsbc  31139  esumcvg  32063  dya2ub  32246  dya2icoseg  32253  sseqmw  32367  sseqf  32368  ballotlemfp1  32467  iprodefisumlem  33715  poimirlem1  35787  poimirlem2  35788  poimirlem3  35789  poimirlem4  35790  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem8  35794  poimirlem9  35795  poimirlem13  35799  poimirlem14  35800  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem18  35804  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem21  35807  poimirlem22  35808  poimirlem23  35809  poimirlem24  35810  poimirlem26  35812  poimirlem27  35813  poimirlem31  35817  poimirlem32  35818  mblfinlem2  35824  sdclem1  35910  fdc  35912  seqpo  35914  incsequz2  35916  geomcau  35926  bfplem2  35990  3lexlogpow2ineq1  40073  flt4lem2  40491  eq0rabdioph  40605  rexrabdioph  40623  jm3.1lem1  40846  dvgrat  41937  rexanuz3  42653  uzfissfz  42872  allbutfi  42940  uzid2  42952  fmul01lt1lem1  43132  climinf  43154  climsuse  43156  limsupvaluz2  43286  supcnvlimsup  43288  ioodvbdlimc1lem2  43480  ioodvbdlimc2lem  43482  iblspltprt  43521  stoweidlem7  43555  wallispilem1  43613  wallispilem4  43616  dirkertrigeqlem1  43646  sge0isum  43972  sge0reuzb  43993  carageniuncllem1  44066  caratheodorylem1  44071  smflimlem1  44316  smflimlem2  44317  smflim  44322  smfsuplem1  44355  smfsuplem3  44357  smflimsuplem1  44364  smflimsuplem2  44365  iccpartres  44881  iccelpart  44896  4fppr1  45198  fldivexpfllog2  45922  nnlog2ge0lt1  45923  logbpw2m1  45924  fllog2  45925  blennnelnn  45933  blenpw2  45935  blennnt2  45946  nnolog2flm1  45947  dig2nn0ld  45961  dig2nn1st  45962  0dig2pr01  45967  aacllem  46516