Theorem uzid 13004

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12721	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11906	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12993	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990

This theorem is used by:  uzidd  13005  uzn0  13006  uz11  13014  uzinfi  13079  uzsupss  13091  eluzfz1  13688  eluzfz2  13689  elfz3  13691  elfz1end  13712  fzssp1  13725  fzpred  13730  fzp1ss  13733  fzpr  13737  fztp  13738  elfz0add  13784  fzolb  13824  zpnn0elfzo  13897  fzosplitsnm1  13899  fzofzp1  13923  fzosplitsn  13935  fzostep1  13945  om2uzuzi  14116  axdc4uzlem  14150  seqf  14190  seqfveq  14193  seq1p  14203  faclbnd3  14460  bcm1k  14483  bcn2  14487  seqcoll  14633  swrds1  14841  pfxccatpfx2  14911  rexuz3  15542  r19.2uz  15545  cau3lem  15548  caubnd2  15551  climconst  15736  climuni  15745  isercoll2  15862  climsup  15863  climcau  15864  serf0  15874  iseralt  15878  fsumcvg3  15921  fsumparts  15999  o1fsum  16006  abscvgcvg  16012  isum1p  16036  isumrpcl  16038  isumsup2  16041  climcndslem1  16044  climcndslem2  16045  climcnds  16046  cvgrat  16078  mertenslem1  16079  fprodabs  16167  binomfallfaclem2  16232  fprodefsum  16287  eftlub  16303  rpnnen2lem11  16418  bitsfzo  16631  bitsinv1  16638  smupval  16684  seq1st  16772  algr0  16773  eucalg  16788  2mulprm  16894  prmdvdsbc  16928  oddprm  17014  pcfac  17103  pcbc  17104  vdwlem6  17190  prmlem0  17309  gsumprval  18903  efgsres  19979  telgsumfzs  20230  lmconst  23606  lmmo  23725  zfbas  24242  uzrest  24243  iscau2  25625  iscau4  25627  caun0  25629  caussi  25645  equivcau  25648  lmcau  25661  mbfsup  26012  mbfinf  26013  mbflimsup  26014  plyco0  26537  dvply2g  26633  geolim3  26693  aaliou3lem2  26697  aaliou3lem3  26698  ulm2  26739  ulm0  26745  ulmcaulem  26748  ulmcau  26749  ulmss  26751  ulmcn  26753  ulmdvlem3  26756  ulmdv  26757  abelthlem7  26792  2logb9irr  27150  sqrt2cxp2logb9e3  27154  ppinprm  27506  chtnprm  27508  ppiublem1  27556  chtublem  27565  chtub  27566  bposlem6  27643  lgsqr  27705  lgseisenlem4  27732  lgsquadlem1  27734  lgsquad2  27740  pntpbnd1  27940  pntlemf  27959  ostth2lem2  27988  istrkg2ld  28949  axlowdimlem17  29563  clwwlkvbij  30731  2clwwlk2  30976  numclwlk2lem2f  31005  fzdif2  33449  esumcvg  34785  dya2ub  34969  dya2icoseg  34976  sseqmw  35090  sseqf  35091  ballotlemfp1  35191  iprodefisumlem  36682  poimirlem1  38730  poimirlem2  38731  poimirlem3  38732  poimirlem4  38733  poimirlem6  38735  poimirlem7  38736  poimirlem8  38737  poimirlem9  38738  poimirlem13  38742  poimirlem14  38743  poimirlem15  38744  poimirlem16  38745  poimirlem17  38746  poimirlem18  38747  poimirlem19  38748  poimirlem20  38749  poimirlem21  38750  poimirlem22  38751  poimirlem23  38752  poimirlem24  38753  poimirlem26  38755  poimirlem27  38756  poimirlem31  38760  poimirlem32  38761  mblfinlem2  38767  sdclem1  38868  fdc  38870  seqpo  38872  incsequz2  38874  geomcau  38884  bfplem2  38948  3lexlogpow2ineq1  43299  eq0rabdioph  43978  rexrabdioph  43992  jm3.1lem1  44215  dvgrat  45486  rexanuz3  46314  uzfissfz  46541  allbutfi  46607  uzid2  46618  fmul01lt1lem1  46799  climinf  46821  climsuse  46823  limsupvaluz2  46951  supcnvlimsup  46953  ioodvbdlimc1lem2  47145  ioodvbdlimc2lem  47147  iblspltprt  47186  stoweidlem7  47220  wallispilem1  47278  wallispilem4  47281  dirkertrigeqlem1  47311  sge0isum  47640  sge0reuzb  47661  carageniuncllem1  47734  caratheodorylem1  47739  smflimlem1  47984  smflimlem2  47985  smflim  47990  smfsuplem1  48024  smfsuplem3  48026  smflimsuplem1  48033  smflimsuplem2  48034  iccpartres  48703  iccelpart  48718  4fppr1  49036  pgnioedg1  49409  pgnioedg2  49410  pgnioedg3  49411  pgnioedg4  49412  pgnbgreunbgrlem1  49414  pgnbgreunbgrlem4  49420  fldivexpfllog2  49880  nnlog2ge0lt1  49881  logbpw2m1  49882  fllog2  49883  blennnelnn  49891  blenpw2  49893  blennnt2  49904  nnolog2flm1  49905  dig2nn0ld  49919  dig2nn1st  49920  0dig2pr01  49925  aacllem  51217