Theorem uzid 12352

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12079	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11297	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12341	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040  ‘cfv 6350   ≤ cle 10767  ℤcz 12075  ℤ_≥cuz 12337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-pre-lttri 10702

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7186  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-neg 10964  df-z 12076  df-uz 12338

This theorem is referenced by:  uzidd  12353  uzn0  12354  uz11  12362  uzinfi  12423  uzsupss  12435  eluzfz1  13018  eluzfz2  13019  elfz3  13021  elfz1end  13041  fzssp1  13054  fzpred  13059  fzp1ss  13062  fzpr  13066  fztp  13067  elfz0add  13110  fzolb  13148  zpnn0elfzo  13214  fzosplitsnm1  13216  fzofzp1  13238  fzosplitsn  13249  fzostep1  13257  om2uzuzi  13421  axdc4uzlem  13455  seqf  13496  seqfveq  13499  seq1p  13509  faclbnd3  13757  bcm1k  13780  bcn2  13784  seqcoll  13929  swrds1  14130  pfxccatpfx2  14201  rexuz3  14811  r19.2uz  14814  cau3lem  14817  caubnd2  14820  climconst  15003  climuni  15012  isercoll2  15131  climsup  15132  climcau  15133  serf0  15143  iseralt  15147  fsumcvg3  15192  fsumparts  15267  o1fsum  15274  abscvgcvg  15280  isum1p  15302  isumrpcl  15304  isumsup2  15307  climcndslem1  15310  climcndslem2  15311  climcnds  15312  cvgrat  15344  mertenslem1  15345  fprodabs  15433  binomfallfaclem2  15499  fprodefsum  15553  eftlub  15567  rpnnen2lem11  15682  bitsfzo  15891  bitsinv1  15898  smupval  15944  seq1st  16025  algr0  16026  eucalg  16041  2mulprm  16147  oddprm  16260  pcfac  16348  pcbc  16349  vdwlem6  16435  prmlem0  16555  gsumprval  18027  gsumccatOLD  18134  efgsres  18995  telgsumfzs  19241  lmconst  22025  lmmo  22144  zfbas  22660  uzrest  22661  iscau2  24042  iscau4  24044  caun0  24046  caussi  24062  equivcau  24065  lmcau  24078  mbfsup  24429  mbfinf  24430  mbflimsup  24431  plyco0  24954  dvply2g  25046  geolim3  25100  aaliou3lem2  25104  aaliou3lem3  25105  ulm2  25145  ulm0  25151  ulmcaulem  25154  ulmcau  25155  ulmss  25157  ulmcn  25159  ulmdvlem3  25162  ulmdv  25163  abelthlem7  25198  2logb9irr  25546  sqrt2cxp2logb9e3  25550  ppinprm  25902  chtnprm  25904  ppiublem1  25951  chtublem  25960  chtub  25961  bposlem6  26038  lgsqr  26100  lgseisenlem4  26127  lgsquadlem1  26129  lgsquad2  26135  pntpbnd1  26335  pntlemf  26354  ostth2lem2  26383  istrkg2ld  26419  axlowdimlem17  26917  clwwlkvbij  28063  2clwwlk2  28298  numclwlk2lem2f  28327  fzdif2  30700  prmdvdsbc  30718  esumcvg  31637  dya2ub  31820  dya2icoseg  31827  sseqmw  31941  sseqf  31942  ballotlemfp1  32041  iprodefisumlem  33292  poimirlem1  35434  poimirlem2  35435  poimirlem3  35436  poimirlem4  35437  poimirlem6  35439  poimirlem7  35440  poimirlem8  35441  poimirlem9  35442  poimirlem13  35446  poimirlem14  35447  poimirlem15  35448  poimirlem16  35449  poimirlem17  35450  poimirlem18  35451  poimirlem19  35452  poimirlem20  35453  poimirlem21  35454  poimirlem22  35455  poimirlem23  35456  poimirlem24  35457  poimirlem26  35459  poimirlem27  35460  poimirlem31  35464  poimirlem32  35465  mblfinlem2  35471  sdclem1  35557  fdc  35559  seqpo  35561  incsequz2  35563  geomcau  35573  bfplem2  35637  3lexlogpow2ineq1  39719  flt4lem2  40097  eq0rabdioph  40211  rexrabdioph  40229  jm3.1lem1  40452  dvgrat  41509  rexanuz3  42225  uzfissfz  42444  allbutfi  42512  uzid2  42524  fmul01lt1lem1  42708  climinf  42730  climsuse  42732  limsupvaluz2  42862  supcnvlimsup  42864  ioodvbdlimc1lem2  43056  ioodvbdlimc2lem  43058  iblspltprt  43097  stoweidlem7  43131  wallispilem1  43189  wallispilem4  43192  dirkertrigeqlem1  43222  sge0isum  43548  sge0reuzb  43569  carageniuncllem1  43642  caratheodorylem1  43647  smflimlem1  43886  smflimlem2  43887  smflim  43892  smfsuplem1  43924  smfsuplem3  43926  smflimsuplem1  43933  smflimsuplem2  43934  iccpartres  44452  iccelpart  44467  4fppr1  44769  fldivexpfllog2  45493  nnlog2ge0lt1  45494  logbpw2m1  45495  fllog2  45496  blennnelnn  45504  blenpw2  45506  blennnt2  45517  nnolog2flm1  45518  dig2nn0ld  45532  dig2nn1st  45533  0dig2pr01  45538  aacllem  46006