Theorem uzid 12815

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zre 12540	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11751	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		eluz1 12804	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by:  uzidd  12816  uzn0  12817  uz11  12825  uzinfi  12894  uzsupss  12906  eluzfz1  13499  eluzfz2  13500  elfz3  13502  elfz1end  13522  fzssp1  13535  fzpred  13540  fzp1ss  13543  fzpr  13547  fztp  13548  elfz0add  13594  fzolb  13633  zpnn0elfzo  13706  fzosplitsnm1  13708  fzofzp1  13732  fzosplitsn  13743  fzostep1  13751  om2uzuzi  13921  axdc4uzlem  13955  seqf  13995  seqfveq  13998  seq1p  14008  faclbnd3  14264  bcm1k  14287  bcn2  14291  seqcoll  14436  swrds1  14638  pfxccatpfx2  14709  rexuz3  15322  r19.2uz  15325  cau3lem  15328  caubnd2  15331  climconst  15516  climuni  15525  isercoll2  15642  climsup  15643  climcau  15644  serf0  15654  iseralt  15658  fsumcvg3  15702  fsumparts  15779  o1fsum  15786  abscvgcvg  15792  isum1p  15814  isumrpcl  15816  isumsup2  15819  climcndslem1  15822  climcndslem2  15823  climcnds  15824  cvgrat  15856  mertenslem1  15857  fprodabs  15947  binomfallfaclem2  16013  fprodefsum  16068  eftlub  16084  rpnnen2lem11  16199  bitsfzo  16412  bitsinv1  16419  smupval  16465  seq1st  16548  algr0  16549  eucalg  16564  2mulprm  16670  prmdvdsbc  16703  oddprm  16788  pcfac  16877  pcbc  16878  vdwlem6  16964  prmlem0  17083  gsumprval  18622  efgsres  19675  telgsumfzs  19926  lmconst  23155  lmmo  23274  zfbas  23790  uzrest  23791  iscau2  25184  iscau4  25186  caun0  25188  caussi  25204  equivcau  25207  lmcau  25220  mbfsup  25572  mbfinf  25573  mbflimsup  25574  plyco0  26104  dvply2g  26199  dvply2gOLD  26200  geolim3  26254  aaliou3lem2  26258  aaliou3lem3  26259  ulm2  26301  ulm0  26307  ulmcaulem  26310  ulmcau  26311  ulmss  26313  ulmcn  26315  ulmdvlem3  26318  ulmdv  26319  abelthlem7  26355  2logb9irr  26712  sqrt2cxp2logb9e3  26716  ppinprm  27069  chtnprm  27071  ppiublem1  27120  chtublem  27129  chtub  27130  bposlem6  27207  lgsqr  27269  lgseisenlem4  27296  lgsquadlem1  27298  lgsquad2  27304  pntpbnd1  27504  pntlemf  27523  ostth2lem2  27552  istrkg2ld  28394  axlowdimlem17  28892  clwwlkvbij  30049  2clwwlk2  30284  numclwlk2lem2f  30313  fzdif2  32720  esumcvg  34083  dya2ub  34268  dya2icoseg  34275  sseqmw  34389  sseqf  34390  ballotlemfp1  34490  iprodefisumlem  35734  poimirlem1  37622  poimirlem2  37623  poimirlem3  37624  poimirlem4  37625  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem8  37629  poimirlem9  37630  poimirlem13  37634  poimirlem14  37635  poimirlem15  37636  poimirlem16  37637  poimirlem17  37638  poimirlem18  37639  poimirlem19  37640  poimirlem20  37641  poimirlem21  37642  poimirlem22  37643  poimirlem23  37644  poimirlem24  37645  poimirlem26  37647  poimirlem27  37648  poimirlem31  37652  poimirlem32  37653  mblfinlem2  37659  sdclem1  37744  fdc  37746  seqpo  37748  incsequz2  37750  geomcau  37760  bfplem2  37824  3lexlogpow2ineq1  42053  flt4lem2  42642  eq0rabdioph  42771  rexrabdioph  42789  jm3.1lem1  43013  dvgrat  44308  rexanuz3  45097  uzfissfz  45329  allbutfi  45396  uzid2  45408  fmul01lt1lem1  45589  climinf  45611  climsuse  45613  limsupvaluz2  45743  supcnvlimsup  45745  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  iblspltprt  45978  stoweidlem7  46012  wallispilem1  46070  wallispilem4  46073  dirkertrigeqlem1  46103  sge0isum  46432  sge0reuzb  46453  carageniuncllem1  46526  caratheodorylem1  46531  smflimlem1  46776  smflimlem2  46777  smflim  46782  smfsuplem1  46816  smfsuplem3  46818  smflimsuplem1  46825  smflimsuplem2  46826  iccpartres  47423  iccelpart  47438  4fppr1  47740  pgnioedg1  48102  pgnioedg2  48103  pgnioedg3  48104  pgnioedg4  48105  pgnbgreunbgrlem1  48107  pgnbgreunbgrlem4  48113  fldivexpfllog2  48558  nnlog2ge0lt1  48559  logbpw2m1  48560  fllog2  48561  blennnelnn  48569  blenpw2  48571  blennnt2  48582  nnolog2flm1  48583  dig2nn0ld  48597  dig2nn1st  48598  0dig2pr01  48603  aacllem  49794