MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1i 12243
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluz1i (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 eluz1 12239 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
31, 2ax-mp 5 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398  wcel 2107   class class class wbr 5057  cfv 6348  cle 10668  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7151  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  eluzaddi  12263  eluzsubi  12264  eluz2b1  12311  fz0to4untppr  13002  faclbnd4lem1  13645  climcndslem1  15196  ef01bndlem  15529  sin01bnd  15530  cos01bnd  15531  sin01gt0  15535  dvradcnv  25001  bposlem3  25854  bposlem4  25855  bposlem5  25856  bposlem9  25860  istrkg3ld  26239  axlowdimlem16  26735  ballotlem2  31734  nn0prpwlem  33658  jm2.20nn  39579  stoweidlem17  42287  wallispilem4  42338  nn0o1gt2ALTV  43844
  Copyright terms: Public domain W3C validator