MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1i 12886
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluz1i (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 eluz1 12882 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
31, 2ax-mp 5 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  cle 11296  cz 12613  cuz 12878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by:  eluzaddiOLD  12910  eluzsubiOLD  12912  eluz2b1  12961  faclbnd4lem1  14332  climcndslem1  15885  ef01bndlem  16220  sin01bnd  16221  cos01bnd  16222  sin01gt0  16226  dvradcnv  26464  bposlem3  27330  bposlem4  27331  bposlem5  27332  bposlem9  27336  istrkg3ld  28469  axlowdimlem16  28972  2sqr3minply  33791  ballotlem2  34491  nn0prpwlem  36323  jm2.20nn  43009  stoweidlem17  46032  wallispilem4  46083  nn0o1gt2ALTV  47681  ackval42  48617
  Copyright terms: Public domain W3C validator