Theorem eluz1i 12911

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluz.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
eluz1i	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
2		eluz1 12907	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573   ≤ cle 11325  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  eluzaddiOLD  12935  eluzsubiOLD  12937  eluz2b1  12984  faclbnd4lem1  14342  climcndslem1  15897  ef01bndlem  16232  sin01bnd  16233  cos01bnd  16234  sin01gt0  16238  dvradcnv  26482  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem9  27354  istrkg3ld  28487  axlowdimlem16  28990  2sqr3minply  33738  ballotlem2  34453  nn0prpwlem  36288  jm2.20nn  42954  stoweidlem17  45938  wallispilem4  45989  nn0o1gt2ALTV  47568  ackval42  48430