Theorem fzspl 32542

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 13572. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzspl	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12689	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1zzd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12689	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 11597	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6	5	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
7	6	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluzelre 12855	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	lem1d 12169	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	1, 3	zsubcld 12693	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		eluz1 12848	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
13	1, 9, 12	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
14		fzsplit2 13550	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
15	7, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
16	5	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑁...𝑁))
17		fzsn 13567	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
19	16, 18	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = {𝑁})
20	19	uneq2d 4159	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
21	15, 20	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3942  {csn 4624   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  ...cfz 13508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509

This theorem is referenced by:  fzdif2  32543  ballotlemfp1  34047