Theorem fzspl 32792

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 13612. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzspl	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12725	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1zzd 12650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12725	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 11625	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6	5	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
7	6	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluzelre 12890	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	lem1d 12202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	1, 3	zsubcld 12729	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		eluz1 12883	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
13	1, 9, 12	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
14		fzsplit2 13590	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
15	7, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
16	5	oveq1d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑁...𝑁))
17		fzsn 13607	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
19	16, 18	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = {𝑁})
20	19	uneq2d 4167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
21	15, 20	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3948  {csn 4625   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  fzdif2  32793  ballotlemfp1  34495