Theorem fzspl 33204

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 13616. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzspl	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1zzd 12640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℂ)
5	2, 4	npcand 11588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6	5	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
7	6	ibir 271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluzelre 12889	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	lem1d 12163	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	1, 3	zsubcld 12721	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		eluz1 12882	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
13	1, 9, 12	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
14		fzsplit2 13594	. . 3 ⊢ ((((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
15	7, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
16	5	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑁...𝑁))
17		fzsn 13611	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
18	1, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
19	16, 18	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = {𝑁})
20	19	uneq2d 4122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
21	15, 20	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11116   + caddc 11118   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552

This theorem is used by:  fzdif2  33205  ballotlemfp1  34947