Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzspl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzspl 30252
Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. (more generic than fzsuc 12763) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzspl (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzspl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12061 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 11894 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 1zzd 11819 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43zcnd 11894 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℂ)
52, 4npcand 10794 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65eleq1d 2844 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
76ibir 260 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
8 eluzelre 12062 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
98lem1d 11366 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
101, 3zsubcld 11898 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11 eluz1 12055 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
131, 9, 12mpbir2and 700 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
14 fzsplit2 12741 . . 3 ((((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
157, 13, 14syl2anc 576 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
165oveq1d 6985 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑁...𝑁))
17 fzsn 12758 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
181, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
1916, 18eqtrd 2808 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = {𝑁})
2019uneq2d 4024 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2115, 20eqtrd 2808 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  cun 3823  {csn 4435   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  1c1 10328   + caddc 10330  cle 10467  cmin 10662  cz 11786  cuz 12051  ...cfz 12701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702
This theorem is referenced by:  fzdif2  30253  ballotlemfp1  31352
  Copyright terms: Public domain W3C validator