Theorem algcvga 16518

Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvga.2	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
algcvga.5	⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
algcvga	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem algcvga

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
2		algcvga.3	. . . 4 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
3	2	ffvelcdmi 7037	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	1, 3	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0z 12524	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz1 12767	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
7		2fveq3 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑁)))
8	7	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
9	8	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)))
10		2fveq3 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
11	10	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
12	11	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0)))
13		2fveq3 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
14	13	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
15	14	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
16		2fveq3 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝐾)))
17	16	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
18	17	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
19		algcvga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
20		algcvga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
21		algcvga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
22	19, 20, 2, 21, 1	algcvg 16515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
24		nn0ge0 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
26		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		zre 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
29		letr 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
30	26, 27, 28, 29	mp3an3an 1470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
31	25, 30	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
32		elnn0z 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
33	32	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
35	31, 34	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
36	4, 35	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
37	36	impr 454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
39	38	3adant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
40	39	ancld 550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
41		nn0uz 12801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
42		0zd 12512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
43		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
44	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
45	41, 20, 42, 43, 44	algrf 16512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
46	45	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
47		2fveq3 6847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
48	47	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0))
49		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘𝑧) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
50	47, 49	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
51	48, 50	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))))
52	51, 21	vtoclga 3534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
53	19, 2	algcvgb 16517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
55	53, 54	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)))
56	52, 55	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
57	46, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
58	41, 20, 42, 43, 44	algrp1 16513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
59	58	fveqeq2d 6850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
60	57, 59	sylibrd 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
61	40, 60	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
62	61	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
63	9, 12, 15, 18, 23, 62	uzind 12596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
64	63	3expib 1123	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
65	6, 64	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
66	5, 65	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
67	66	com3r 87	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
68	4, 67	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1^st c1st 7941  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937

This theorem is referenced by:  algfx  16519  eucalgcvga  16525