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Theorem algcvga 15915
Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1 𝐹:𝑆𝑆
algcvga.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
algcvga.5 𝑁 = (𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
algcvga (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem algcvga
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3 𝑁 = (𝐶𝐴)
2 algcvga.3 . . . 4 𝐶:𝑆⟶ℕ0
32ffvelrni 6845 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐶𝐴) ∈ ℕ0)
41, 3eqeltrid 2921 . 2 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0)
5 nn0z 11997 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz1 12239 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾)))
7 2fveq3 6671 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
87eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
98imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)))
10 2fveq3 6671 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
1110eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0))
1211imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0)))
13 2fveq3 6671 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
1413eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
1514imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
16 2fveq3 6671 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝐾)))
1716eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
1817imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
19 algcvga.1 . . . . . . . . 9 𝐹:𝑆𝑆
20 algcvga.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
21 algcvga.4 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
2219, 20, 2, 21, 1algcvg 15912 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
24 nn0ge0 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
26 0re 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
27 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
28 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
29 letr 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3026, 27, 28, 29mp3an3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3125, 30mpand 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
32 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
3332simplbi2 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
3531, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
364, 35sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
3736impr 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837expcom 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
39383adant1 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
4039ancld 551 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0)))
41 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
42 0zd 11985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
43 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
4419a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
4541, 20, 42, 43, 44algrf 15909 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
4645ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
47 2fveq3 6671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶‘(𝐹𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
4847neeq1d 3079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
49 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶𝑧) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
5047, 49breq12d 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
5148, 50imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘)))))
5251, 21vtoclga 3578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
5319, 2algcvgb 15914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
5553, 54syl6bi 254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)))
5652, 55mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
5746, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
5841, 20, 42, 43, 44algrp1 15910 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
5958fveqeq2d 6674 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6057, 59sylibrd 260 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
6140, 60syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
6261a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
639, 12, 15, 18, 23, 62uzind 12066 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
64633expib 1116 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
656, 64sylbid 241 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
665, 65syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
6766com3r 87 . 2 (𝐴𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
684, 67mpd 15 1 (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  {csn 4563   class class class wbr 5062   × cxp 5551  ccom 5557  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  1st c1st 7681  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  seqcseq 13362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-seq 13363
This theorem is referenced by:  algfx  15916  eucalgcvga  15922
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