Theorem uzss 12788

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzss

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 12778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3		eluzel2 12770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zletr 12549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
8	5, 7	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
9	2, 8	mpand 696	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ 𝑘))
10	9	imdistanda 571	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
11		eluz1 12769	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
13		eluz1 12769	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
14	3, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
15	10, 12, 14	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
16	15	ssrdv 3941	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502   ≤ cle 11181  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-neg 11381  df-z 12503  df-uz 12766

This theorem is referenced by:  uzin  12801  uzuzle35  12814  uznnssnn  12822  fzopth  13491  4fvwrd4  13578  fzouzsplit  13624  fzoopth  13692  seqfeq2  13962  rexuzre  15290  cau3lem  15292  climsup  15607  isumsplit  15777  isumrpcl  15780  cvgrat  15820  clim2prod  15825  fprodntriv  15879  isprm3  16624  pcfac  16841  lmflf  23966  caucfil  25256  uniioombllem4  25560  mbflimsup  25640  ulmres  26370  ulmcaulem  26376  logfaclbnd  27206  axlowdimlem17  29049  clwwlkinwwlk  30133  fz2ssnn0  32882  evl1deg1  33675  evl1deg2  33676  evl1deg3  33677  poimirlem1  37901  poimirlem2  37902  poimirlem6  37906  poimirlem7  37907  poimirlem20  37920  uzssd  45795  climinf  45995  climsuse  45997  climresmpt  46046  climleltrp  46063  limsupequzlem  46109  supcnvlimsup  46127  ioodvbdlimc1lem1  46318  ioodvbdlimc1lem2  46319  ioodvbdlimc2lem  46321  meaiininclem  46873  smflimlem2  47159  smflimsuplem2  47208  smflimsuplem3  47209  smflimsuplem4  47210  smflimsuplem5  47211  smflimsuplem6  47212  smflimsuplem7  47213