Theorem uzss 12822

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzss

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 12812	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3		eluzel2 12804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zletr 12583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
8	5, 7	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
9	2, 8	mpand 695	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ 𝑘))
10	9	imdistanda 571	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
11		eluz1 12803	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
13		eluz1 12803	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
14	3, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
15	10, 12, 14	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
16	15	ssrdv 3954	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513   ≤ cle 11215  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-neg 11414  df-z 12536  df-uz 12800

This theorem is referenced by:  uzin  12839  uzuzle35  12852  uznnssnn  12860  fzopth  13528  4fvwrd4  13615  fzouzsplit  13661  fzoopth  13729  seqfeq2  13996  rexuzre  15325  cau3lem  15327  climsup  15642  isumsplit  15812  isumrpcl  15815  cvgrat  15855  clim2prod  15860  fprodntriv  15914  isprm3  16659  pcfac  16876  lmflf  23898  caucfil  25189  uniioombllem4  25493  mbflimsup  25573  ulmres  26303  ulmcaulem  26309  logfaclbnd  27139  axlowdimlem17  28891  clwwlkinwwlk  29975  fz2ssnn0  32714  evl1deg1  33551  evl1deg2  33552  evl1deg3  33553  poimirlem1  37610  poimirlem2  37611  poimirlem6  37615  poimirlem7  37616  poimirlem20  37629  uzssd  45397  climinf  45597  climsuse  45599  climresmpt  45650  climleltrp  45667  limsupequzlem  45713  supcnvlimsup  45731  ioodvbdlimc1lem1  45922  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  meaiininclem  46477  smflimlem2  46763  smflimsuplem2  46812  smflimsuplem3  46813  smflimsuplem4  46814  smflimsuplem5  46815  smflimsuplem6  46816  smflimsuplem7  46817