Theorem preduz 13667

Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
preduz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem preduz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3463	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpred 6307	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁)))
3		eluzelz 12862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zltlem1 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
6	3, 4, 5	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
7	6	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
8		eluzel2 12857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluz1 12856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
11	10	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
12	7, 11	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
13	2, 12	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
14		peano2zm 12635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	8, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
17	16	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
18	13, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
19		elfz2 13531	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
20		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
21	20	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
22		anass 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
23		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
24	23	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
25	22, 24	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
26	19, 21, 25	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
27	18, 26	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
28	27	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  Predcpred 6289  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  prednn  13668  prednn0  13669  uzsinds  14005