Theorem preduz 13566

Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
preduz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem preduz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpred 6276	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁)))
3		eluzelz 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zltlem1 12544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
6	3, 4, 5	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
7	6	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
8		eluzel2 12756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluz1 12755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
11	10	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
12	7, 11	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
13	2, 12	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
14		peano2zm 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	8, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
17	16	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
18	13, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
19		elfz2 13430	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
20		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
21	20	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
22		anass 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
23		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
24	23	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
25	22, 24	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
26	19, 21, 25	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
27	18, 26	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
28	27	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  Predcpred 6258  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  prednn  13567  prednn0  13568  uzsinds  13910