Theorem preduz 13595

Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
preduz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem preduz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpred 6276	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁)))
3		eluzelz 12789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zltlem1 12571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
6	3, 4, 5	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
7	6	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
8		eluzel2 12784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluz1 12783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
11	10	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
12	7, 11	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
13	2, 12	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
14		peano2zm 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	8, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
17	16	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
18	13, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
19		elfz2 13459	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
20		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
21	20	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
22		anass 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
23		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
24	23	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
25	22, 24	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
26	19, 21, 25	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
27	18, 26	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
28	27	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  Predcpred 6258  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  prednn  13596  prednn0  13597  uzsinds  13940