MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  preduz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preduz 13687
Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
preduz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Pred( < , (ℤ𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem preduz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3482 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
21elpred 6340 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ𝑀), 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁)))
3 eluzelz 12886 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4 eluzelz 12886 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 zltlem1 12668 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑁𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
63, 4, 5syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥 < 𝑁𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
76pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
8 eluzel2 12881 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 eluz1 12880 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
1110anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
127, 11bitrd 279 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
132, 12bitrd 279 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
14 peano2zm 12658 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
168, 15jca 511 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
1716biantrurd 532 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
1813, 17bitrd 279 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
19 elfz2 13551 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
20 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
2120anbi1i 624 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
22 anass 468 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
23 anass 468 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
2423anbi2i 623 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
2522, 24bitr4i 278 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑥𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
2619, 21, 253bitri 297 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
2718, 26bitr4di 289 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ𝑀), 𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2827eqrdv 2733 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Pred( < , (ℤ𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  Predcpred 6322  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  prednn  13688  prednn0  13689  uzsinds  14025
  Copyright terms: Public domain W3C validator