Theorem preduz 13787

Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
preduz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem preduz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpred 6321	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁)))
3		eluzelz 12978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zltlem1 12752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
6	3, 4, 5	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
7	6	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
8		eluzel2 12973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluz1 12972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
11	10	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
12	7, 11	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
13	2, 12	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
14		peano2zm 12742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	8, 15	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
17	16	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
18	13, 17	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
19		elfz2 13649	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
20		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
21	20	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
22		anass 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
23		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
24	23	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
25	22, 24	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
26	19, 21, 25	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
27	18, 26	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
28	27	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  Predcpred 6303  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643

This theorem is used by:  prednn  13788  prednn0  13789  uzsinds  14133