Theorem preduz 13666

Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
preduz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem preduz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpred 6308	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁)))
3		eluzelz 12860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zltlem1 12635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
6	3, 4, 5	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 < 𝑁 ↔ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))
7	6	pm5.32da 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
8		eluzel2 12855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluz1 12854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
11	10	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
12	7, 11	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 < 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
13	2, 12	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
14		peano2zm 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	8, 15	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
17	16	biantrurd 541	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
18	13, 17	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
19		elfz2 13530	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
20		df-3an 1103	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
21	20	anbi1i 635	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
22		anass 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
23		anass 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
24	23	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1)))))
25	22, 24	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
26	19, 21, 25	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁 − 1))))
27	18, 26	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
28	27	eqrdv 2763	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Pred( < , (ℤ≥‘𝑀), 𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  Predcpred 6290  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524

This theorem is referenced by:  prednn  13667  prednn0  13668  uzsinds  14011