Theorem eluzd 45392

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
eluzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
eluzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
eluzd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem eluzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4		eluz2 12741	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	1, 2, 3, 4	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  uzublem  45413  uzinico  45544  uzubioo  45550  limsupubuzlem  45697  limsupequzlem  45707  limsupmnfuzlem  45711  limsupequzmptlem  45713  limsupre3uzlem  45720  supcnvlimsup  45725  limsup10exlem  45757  smflimsuplem4  46808  smfliminflem  46815