Theorem eluzd 45378

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
eluzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
eluzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
eluzd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem eluzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4		eluz2 12775	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	1, 2, 3, 4	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  uzublem  45399  uzinico  45530  uzubioo  45536  limsupubuzlem  45683  limsupequzlem  45693  limsupmnfuzlem  45697  limsupequzmptlem  45699  limsupre3uzlem  45706  supcnvlimsup  45711  limsup10exlem  45743  smflimsuplem4  46794  smfliminflem  46801