Theorem eluzd 46181

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
eluzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
eluzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
eluzd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem eluzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4		eluz2 12884	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	1, 2, 3, 4	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2876	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540   ≤ cle 11259  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-neg 11459  df-z 12607  df-uz 12879

This theorem is used by:  uzublem  46202  uzinico  46333  uzubioo  46339  limsupubuzlem  46484  limsupequzlem  46494  limsupmnfuzlem  46498  limsupequzmptlem  46500  limsupre3uzlem  46507  supcnvlimsup  46512  limsup10exlem  46544  fourierdlem48  46926  fourierdlem49  46927  smflimsuplem4  47595  smfliminflem  47602