Theorem eluzd 45405

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
eluzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
eluzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
eluzd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem eluzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4		eluz2 12799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	1, 2, 3, 4	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  uzublem  45426  uzinico  45557  uzubioo  45563  limsupubuzlem  45710  limsupequzlem  45720  limsupmnfuzlem  45724  limsupequzmptlem  45726  limsupre3uzlem  45733  supcnvlimsup  45738  limsup10exlem  45770  smflimsuplem4  46821  smfliminflem  46828