Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupubuzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupubuzlem 45023
Description: If the limsup is not +∞, then the function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuzlem.j β„²π‘—πœ‘
limsupubuzlem.e Ⅎ𝑗𝑋
limsupubuzlem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupubuzlem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupubuzlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
limsupubuzlem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
limsupubuzlem.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (𝐾 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘Œ))
limsupubuzlem.n 𝑁 = if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ))
limsupubuzlem.w π‘Š = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (πΉβ€˜π‘—)), ℝ, < )
limsupubuzlem.x 𝑋 = if(π‘Š ≀ π‘Œ, π‘Œ, π‘Š)
Assertion
Ref Expression
limsupubuzlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑍   π‘₯,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐾(π‘₯,𝑗)   𝑀(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,𝑗)   𝑋(𝑗)   π‘Œ(π‘₯,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuzlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupubuzlem.x . . 3 𝑋 = if(π‘Š ≀ π‘Œ, π‘Œ, π‘Š)
2 limsupubuzlem.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3 limsupubuzlem.w . . . . . 6 π‘Š = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (πΉβ€˜π‘—)), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (πΉβ€˜π‘—)), ℝ, < ))
5 limsupubuzlem.j . . . . . 6 β„²π‘—πœ‘
6 ltso 11316 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
8 fzfid 13962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
10 limsupubuzlem.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
11 limsupubuzlem.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ))
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 = if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ)))
13 limsupubuzlem.k . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
14 ceilcl 13831 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (βŒˆβ€˜πΎ) ∈ β„€)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜πΎ) ∈ β„€)
1610, 15ifcld 4570 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ)) ∈ β„€)
1712, 16eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1815zred 12688 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
1910zred 12688 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
20 max2 13190 . . . . . . . . . . 11 (((βŒˆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ)))
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ)))
2212eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ)) = 𝑁)
2321, 22breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
249, 10, 17, 23eluzd 44714 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
25 eluzfz2 13533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2726ne0d 4331 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) β‰  βˆ…)
28 limsupubuzlem.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
3010adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
31 elfzelz 13525 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
33 elfzle1 13528 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
359, 30, 32, 34eluzd 44714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
36 limsupubuzlem.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3735, 36eleqtrrdi 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
3829, 37ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
395, 7, 8, 27, 38fisupclrnmpt 44703 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (πΉβ€˜π‘—)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
404, 39eqeltrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
412, 40ifcld 4570 . . 3 (πœ‘ β†’ if(π‘Š ≀ π‘Œ, π‘Œ, π‘Š) ∈ ℝ)
421, 41eqeltrid 2832 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4328ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4540ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
4642ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
47 simpll 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ πœ‘)
4810ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4917ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5036eluzelz2 44708 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
5150ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
5236eleq2i 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5352biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
54 eluzle 12857 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
5655ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
57 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑗 ≀ 𝑁)
5848, 49, 51, 56, 57elfzd 13516 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
595, 8, 38fimaxre4 44706 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑏)
605, 38, 59suprubrnmpt 44552 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (πΉβ€˜π‘—)), ℝ, < ))
6160, 3breqtrrdi 5184 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘Š)
6247, 58, 61syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘Š)
63 max1 13188 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ π‘Š ≀ if(π‘Š ≀ π‘Œ, π‘Œ, π‘Š))
6440, 2, 63syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ≀ if(π‘Š ≀ π‘Œ, π‘Œ, π‘Š))
6564, 1breqtrrdi 5184 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ≀ 𝑋)
6665ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š ≀ 𝑋)
6744, 45, 46, 62, 66letrd 11393 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋)
6813ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
69 uzssre 12866 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† ℝ
7036, 69eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 𝑍 βŠ† ℝ
7170sseli 3974 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
7271ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
7369, 24sselid 3976 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
75 ceilge 13834 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ β†’ 𝐾 ≀ (βŒˆβ€˜πΎ))
7613, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ≀ (βŒˆβ€˜πΎ))
77 max1 13188 . . . . . . . . . . . 12 (((βŒˆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βŒˆβ€˜πΎ) ≀ if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ)))
7818, 19, 77syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜πΎ) ≀ if((βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜πΎ)))
7978, 22breqtrd 5168 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜πΎ) ≀ 𝑁)
8013, 18, 73, 76, 79letrd 11393 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
8180ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
82 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁)
8374, 72ltnled 11383 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 < 𝑗 ↔ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁))
8482, 83mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 < 𝑗)
8568, 74, 72, 81, 84lelttrd 11394 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 < 𝑗)
8668, 72, 85ltled 11384 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ≀ 𝑗)
8743adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
882ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
8942ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
90 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ 𝐾 ≀ 𝑗)
91 limsupubuzlem.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (𝐾 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘Œ))
9291r19.21bi 3243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘Œ))
9392adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ (𝐾 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘Œ))
9490, 93mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘Œ)
95 max2 13190 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ π‘Œ ≀ if(π‘Š ≀ π‘Œ, π‘Œ, π‘Š))
9640, 2, 95syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ if(π‘Š ≀ π‘Œ, π‘Œ, π‘Š))
9796, 1breqtrrdi 5184 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
9897ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
9987, 88, 89, 94, 98letrd 11393 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋)
10086, 99syldan 590 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑁) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋)
10167, 100pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋)
102101ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋))
1035, 102ralrimi 3249 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋)
104 nfv 1910 . . 3 β„²π‘₯βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋
105 nfcv 2898 . . . . 5 Ⅎ𝑗π‘₯
106 limsupubuzlem.e . . . . 5 Ⅎ𝑗𝑋
107105, 106nfeq 2911 . . . 4 Ⅎ𝑗 π‘₯ = 𝑋
108 breq2 5146 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋))
109107, 108ralbid 3265 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋))
110104, 109rspce 3596 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
11142, 103, 110syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099  β„²wnfc 2878  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Or wor 5583  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  supcsup 9455  β„cr 11129   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508  βŒˆcceil 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fl 13781  df-ceil 13782
This theorem is referenced by:  limsupubuz  45024
  Copyright terms: Public domain W3C validator