Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupubuzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupubuzlem 40608
Description: If the limsup is not +∞, then the function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuzlem.j 𝑗𝜑
limsupubuzlem.e 𝑗𝑋
limsupubuzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuzlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupubuzlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupubuzlem.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.b (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
limsupubuzlem.n 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
limsupubuzlem.w 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
limsupubuzlem.x 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
Assertion
Ref Expression
limsupubuzlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuzlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupubuzlem.x . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 limsupubuzlem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 limsupubuzlem.w . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
5 limsupubuzlem.j . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 10377 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 12987 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
10 limsupubuzlem.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 limsupubuzlem.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
13 limsupubuzlem.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
14 ceilcl 12858 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1610, 15ifcld 4290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 16eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1815zred 11735 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
1910zred 11735 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
20 max2 12227 . . . . . . . . . . 11 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2118, 19, 20syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2212eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) = 𝑁)
2321, 22breqtrd 4837 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
249, 10, 17, 23eluzd 40298 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluzfz2 12563 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2726ne0d 4088 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
28 limsupubuzlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
2928adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
3010adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31 elfzelz 12556 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
3231adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
33 elfzle1 12558 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑗)
3433adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑗)
359, 30, 32, 34eluzd 40298 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
36 limsupubuzlem.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3735, 36syl6eleqr 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗𝑍)
3829, 37ffvelrnd 6554 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
395, 7, 8, 27, 38fisupclrnmpt 40285 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
404, 39eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
412, 40ifcld 4290 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
421, 41syl5eqel 2848 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4328ffvelrnda 6553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4443adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4540ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊 ∈ ℝ)
4642ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
47 simpll 783 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝜑)
4810ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
4917ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5036eluzelz2 40290 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
5150ad2antlr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
5236eleq2i 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5352biimpi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
54 eluzle 11906 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
5655ad2antlr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀𝑗)
57 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5848, 49, 51, 56, 57elfzd 40299 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
595, 8, 38fimaxre4 40288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑗) ≤ 𝑏)
605, 38, 59suprubrnmpt 40135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
6160, 3syl6breqr 4853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
6247, 58, 61syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
63 max1 12225 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6440, 2, 63syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6564, 1syl6breqr 4853 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝑋)
6665ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊𝑋)
6744, 45, 46, 62, 66letrd 10453 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
6813ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
69 uzssre 40283 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
7036, 69eqsstri 3797 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
7170sseli 3759 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
7271ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
7369, 24sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 ceilge 12860 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
7613, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
77 max1 12225 . . . . . . . . . . . 12 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
7818, 19, 77syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
7978, 22breqtrd 4837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ 𝑁)
8013, 18, 73, 76, 79letrd 10453 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
8180ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑁)
82 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑗𝑁)
8374, 72ltnled 10443 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
8482, 83mpbird 248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 < 𝑗)
8568, 74, 72, 81, 84lelttrd 10454 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 < 𝑗)
8668, 72, 85ltled 10444 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑗)
8743adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
882ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
8942ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
90 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
91 limsupubuzlem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9291r19.21bi 3079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9392adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9490, 93mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌)
95 max2 12227 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9640, 2, 95syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9796, 1syl6breqr 4853 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
9897ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
9987, 88, 89, 94, 98letrd 10453 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10086, 99syldan 585 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10167, 100pm2.61dan 847 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
102101ex 401 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
1035, 102ralrimi 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
104 nfv 2009 . . 3 𝑥𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋
105 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗𝑥
106 limsupubuzlem.e . . . . 5 𝑗𝑋
107105, 106nfeq 2919 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
108 breq2 4815 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
109107, 108ralbid 3130 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
110104, 109rspce 3457 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
11142, 103, 110syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  wral 3055  wrex 3056  ifcif 4245   class class class wbr 4811  cmpt 4890   Or wor 5199  ran crn 5280  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  supcsup 8557  cr 10192   < clt 10332  cle 10333  cz 11629  cuz 11893  ...cfz 12540  cceil 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-nn 11280  df-n0 11544  df-z 11630  df-uz 11894  df-fz 12541  df-fl 12808  df-ceil 12809
This theorem is referenced by:  limsupubuz  40609
  Copyright terms: Public domain W3C validator