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Theorem limsupubuzlem 41858
Description: If the limsup is not +∞, then the function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuzlem.j 𝑗𝜑
limsupubuzlem.e 𝑗𝑋
limsupubuzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuzlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupubuzlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupubuzlem.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.b (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
limsupubuzlem.n 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
limsupubuzlem.w 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
limsupubuzlem.x 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
Assertion
Ref Expression
limsupubuzlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuzlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupubuzlem.x . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 limsupubuzlem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 limsupubuzlem.w . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
5 limsupubuzlem.j . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 10710 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 13331 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
10 limsupubuzlem.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 limsupubuzlem.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
13 limsupubuzlem.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
14 ceilcl 13202 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1610, 15ifcld 4515 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 16eqeltrd 2918 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1815zred 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
1910zred 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
20 max2 12570 . . . . . . . . . . 11 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2212eqcomd 2832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) = 𝑁)
2321, 22breqtrd 5089 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
249, 10, 17, 23eluzd 41547 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluzfz2 12905 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2726ne0d 4305 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
28 limsupubuzlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
3010adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31 elfzelz 12898 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
33 elfzle1 12900 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑗)
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑗)
359, 30, 32, 34eluzd 41547 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
36 limsupubuzlem.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3735, 36syl6eleqr 2929 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗𝑍)
3829, 37ffvelrnd 6848 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
395, 7, 8, 27, 38fisupclrnmpt 41536 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
404, 39eqeltrd 2918 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
412, 40ifcld 4515 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
421, 41eqeltrid 2922 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4328ffvelrnda 6847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4443adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4540ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊 ∈ ℝ)
4642ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
47 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝜑)
4810ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
4917ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5036eluzelz2 41541 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
5150ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
5236eleq2i 2909 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5352biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
54 eluzle 12245 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
5655ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀𝑗)
57 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5848, 49, 51, 56, 57elfzd 41548 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
595, 8, 38fimaxre4 41539 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑗) ≤ 𝑏)
605, 38, 59suprubrnmpt 41390 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
6160, 3breqtrrdi 5105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
6247, 58, 61syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
63 max1 12568 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6440, 2, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6564, 1breqtrrdi 5105 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝑋)
6665ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊𝑋)
6744, 45, 46, 62, 66letrd 10786 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
6813ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
69 uzssre 41534 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
7036, 69eqsstri 4005 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
7170sseli 3967 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
7271ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
7369, 24sseldi 3969 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 ceilge 13204 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
7613, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
77 max1 12568 . . . . . . . . . . . 12 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
7818, 19, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
7978, 22breqtrd 5089 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ 𝑁)
8013, 18, 73, 76, 79letrd 10786 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
8180ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑁)
82 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑗𝑁)
8374, 72ltnled 10776 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
8482, 83mpbird 258 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 < 𝑗)
8568, 74, 72, 81, 84lelttrd 10787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 < 𝑗)
8668, 72, 85ltled 10777 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑗)
8743adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
882ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
8942ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
90 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
91 limsupubuzlem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9291r19.21bi 3213 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9392adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9490, 93mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌)
95 max2 12570 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9640, 2, 95syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9796, 1breqtrrdi 5105 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
9897ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
9987, 88, 89, 94, 98letrd 10786 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10086, 99syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10167, 100pm2.61dan 809 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
102101ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
1035, 102ralrimi 3221 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
104 nfv 1908 . . 3 𝑥𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋
105 nfcv 2982 . . . . 5 𝑗𝑥
106 limsupubuzlem.e . . . . 5 𝑗𝑋
107105, 106nfeq 2996 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
108 breq2 5067 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
109107, 108ralbid 3236 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
110104, 109rspce 3616 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
11142, 103, 110syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wnfc 2966  wral 3143  wrex 3144  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cmpt 5143   Or wor 5472  ran crn 5555  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  supcsup 8893  cr 10525   < clt 10664  cle 10665  cz 11970  cuz 12232  ...cfz 12882  cceil 13151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fl 13152  df-ceil 13153
This theorem is referenced by:  limsupubuz  41859
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