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Theorem limsupre3uzlem 40605
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3uzlem.1 𝑗𝐹
limsupre3uzlem.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupre3uzlem.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupre3uzlem.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3uzlem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupre3uzlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupre3uzlem.1 . . 3 𝑗𝐹
2 limsupre3uzlem.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssre 40257 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
42, 3eqsstri 3795 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
6 limsupre3uzlem.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
71, 5, 6limsupre3 40603 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
8 breq1 4812 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦𝑗𝑘𝑗))
98anbi1d 623 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
109rexbidv 3199 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑘 → (∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
1110cbvralv 3319 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1211biimpi 207 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
13 nfra1 3088 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
14 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
154, 14sseldi 3759 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 rspa 3077 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1715, 16syldan 585 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
18 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑍
19 nfre1 3151 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
20 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
212eluzelz2 40264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
22213ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
232eluzelz2 40264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
24233ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
25 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
2620, 22, 24, 25eluzd 40272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
27263adant3r 1231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗𝑍 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
28 simp3r 1259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗𝑍 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
29 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3027, 28, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝑗𝑍 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
31303exp 1148 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
3218, 19, 31rexlimd 3173 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3332imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3414, 17, 33syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3513, 34ralrimia 39964 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3612, 35syl 17 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
38 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
3938adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
40 limsupre3uzlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4140ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 ceilcl 12851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
4342ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
44 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦))
452, 41, 43, 44eluzd 40272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ 𝑍)
4639, 45eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
47 iffalse 4252 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
4940, 2uzidd2 40280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀𝑍)
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀𝑍)
5148, 50eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
5251adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
5346, 52pm2.61dan 847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
5453adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
55 simplr 785 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
56 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (ℤ𝑘) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)))
5756rexeqdv 3293 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5857rspcva 3459 . . . . . . . . 9 ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
5954, 55, 58syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
60 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝜑
6118nfci 2897 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑍
6261, 19nfral 3092 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
6360, 62nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
64 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
6563, 64nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
66 nfre1 3151 . . . . . . . . 9 𝑗𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
6740ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
68 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6968adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
7067zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
714, 53sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
7369zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
744, 49sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7642zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
78 max1 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
7975, 77, 78syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
8079adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
81 eluzle 11899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
8281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
8370, 72, 73, 80, 82letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀𝑗)
842, 67, 69, 83eluzd 40272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
85843adant3 1162 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑗𝑍)
86 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ∈ ℝ)
87 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
88 ceilge 12853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
8988adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
90 max2 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9175, 77, 90syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9287, 77, 71, 89, 91letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9486, 72, 73, 93, 82letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦𝑗)
95943adant3 1162 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑦𝑗)
96 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
9795, 96jca 507 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
98 rspe 3149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
9985, 97, 98syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
100993exp 1148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
101100adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
10265, 66, 101rexlimd 3173 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
10359, 102mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
104103ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
105104ex 401 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
10637, 105impbid 203 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
107106rexbidv 3199 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
10853adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
10960, 64nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
110 nfra1 3088 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
111109, 110nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑗((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
11294adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦𝑗)
113 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
11484adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
115 rspa 3077 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
116113, 114, 115syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
117112, 116mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
118117ex 401 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
119111, 118ralrimi 3104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
12056raleqdv 3292 . . . . . . . . 9 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
121120rspcev 3461 . . . . . . . 8 ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
122108, 119, 121syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
123122ex 401 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
124123rexlimdva 3178 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1254sseli 3757 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
126125ad2antlr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑘 ∈ ℝ)
127 nfra1 3088 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥
12818, 127nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
129 simp1r 1255 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
130263adant1r 1223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
131 rspa 3077 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
132129, 130, 131syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
1331323exp 1148 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗𝑍 → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
134128, 133ralrimi 3104 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
135134adantll 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1368rspceaimv 3469 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
137126, 135, 136syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
138137ex 401 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
139138rexlimdva 3178 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
140124, 139impbid 203 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
141140rexbidv 3199 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
142107, 141anbi12d 624 . 2 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
1437, 142bitrd 270 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  wf 6064  cfv 6068  cr 10188  *cxr 10327  cle 10329  cz 11624  cuz 11886  cceil 12800  lim supclsp 14486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-ico 12383  df-fl 12801  df-ceil 12802  df-limsup 14487
This theorem is referenced by:  limsupre3uz  40606  limsupreuz  40607
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