Theorem limsupre3uzlem 42841

Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre3uzlem.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupre3uzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupre3uzlem.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupre3uzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupre3uzlem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupre3uzlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupre3uzlem.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupre3uzlem.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssre 12349	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 3912	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupre3uzlem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1, 5, 6	limsupre3 42839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))))
8		breq1 5034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 ≤ 𝑗 ↔ 𝑘 ≤ 𝑗))
9	8	anbi1d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10	9	rexbidv 3208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
11	10	cbvralvw 3350	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
12	11	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
13		nfra1 3132	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
14		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	4, 14	sseldi 3876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		rspa 3120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
17	15, 16	syldan 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
18		nfv 1921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
19		nfre1 3217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
20		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑘)
21	2	eluzelz2 42504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
23	2	eluzelz2 42504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
25		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	20, 22, 24, 25	eluzd 42510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
27	26	3adant3r 1182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
29		rspe 3215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
30	27, 28, 29	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
31	30	3exp 1120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
32	18, 19, 31	rexlimd 3228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	14, 17, 33	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	13, 34	ralrimia 3397	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
36	12, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
38		iftrue 4421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
39	38	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
40		limsupre3uzlem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42		ceilcl 13306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
43	42	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
44		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦))
45	2, 41, 43, 44	eluzd 42510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ 𝑍)
46	39, 45	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
47		iffalse 4424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
48	47	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
49	40, 2	uzidd2 42517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
51	48, 50	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
52	51	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
53	46, 52	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
54	53	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
55		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
56		fveq2 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)))
57	56	rexeqdv 3318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
58	57	rspcva 3525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
59	54, 55, 58	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
60		nfv 1921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
61	18	nfci 2883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑍
62	61, 19	nfralw 3139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
63	60, 62	nfan 1906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
64		nfv 1921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
65	63, 64	nfan 1906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
66		nfre1 3217	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
67	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
68		eluzelz 12337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
69	68	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
70	67	zred 12171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
71	4, 53	sseldi 3876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
72	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
73	69	zred 12171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
74	4, 49	sseldi 3876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
75	74	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
76	42	zred 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
77	76	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
78		max1 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
79	75, 77, 78	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
80	79	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
81		eluzle 12340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
82	81	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
83	70, 72, 73, 80, 82	letrd 10878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑗)
84	2, 67, 69, 83	eluzd 42510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
85	84	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
86		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
88		ceilge 13308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
89	88	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
90		max2 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
91	75, 77, 90	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
92	87, 77, 71, 89, 91	letrd 10878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
93	92	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
94	86, 72, 73, 93, 82	letrd 10878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ 𝑗)
95	94	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑦 ≤ 𝑗)
96		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
97	95, 96	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
98		rspe 3215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
99	85, 97, 98	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
100	99	3exp 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
101	100	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
102	65, 66, 101	rexlimd 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
103	59, 102	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
104	103	ralrimiva 3097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
105	104	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
106	37, 105	impbid 215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
107	106	rexbidv 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
108	53	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
109	60, 64	nfan 1906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
110		nfra1 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
111	109, 110	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
112	94	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ 𝑗)
113		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
114	84	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
115		rspa 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
116	113, 114, 115	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
117	112, 116	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
118	117	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
119	111, 118	ralrimi 3129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
120	56	raleqdv 3317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
121	120	rspcev 3527	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
122	108, 119, 121	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
123	122	rexlimdva2 3198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
124	4	sseli 3874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
125	124	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑘 ∈ ℝ)
126		nfra1 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
127	18, 126	nfan 1906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
128		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
129	26	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
130		rspa 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
131	128, 129, 130	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
132	131	3exp 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
133	127, 132	ralrimi 3129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
134	133	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
135	8	rspceaimv 3532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
136	125, 134, 135	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
137	136	rexlimdva2 3198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
138	123, 137	impbid 215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
139	138	rexbidv 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
140	107, 139	anbi12d 634	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
141	7, 140	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2880  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3844  ifcif 4415   class class class wbr 5031  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  ℝcr 10617  ℝ^*cxr 10755   ≤ cle 10757  ℤcz 12065  ℤ_≥cuz 12327  ⌈cceil 13255  lim supclsp 14920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-sup 8982  df-inf 8983  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-ico 12830  df-fl 13256  df-ceil 13257  df-limsup 14921

This theorem is referenced by:  limsupre3uz  42842  limsupreuz  42843