Theorem limsupre3uzlem 45656

Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre3uzlem.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupre3uzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupre3uzlem.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupre3uzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupre3uzlem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupre3uzlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupre3uzlem.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupre3uzlem.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssre 12925	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 4043	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupre3uzlem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1, 5, 6	limsupre3 45654	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))))
8		breq1 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 ≤ 𝑗 ↔ 𝑘 ≤ 𝑗))
9	8	anbi1d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10	9	rexbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
11	10	cbvralvw 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
12	11	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
13		nfra1 3290	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	4, 14	sselid 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		rspa 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
17	15, 16	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
18		nfv 1913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
19		nfre1 3291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
20		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑘)
21	2	eluzelz2 45318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
23	2	eluzelz2 45318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
25		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	20, 22, 24, 25	eluzd 45324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
27	26	3adant3r 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		simp3r 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
29		rspe 3255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
30	27, 28, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
31	30	3exp 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
32	18, 19, 31	rexlimd 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	14, 17, 33	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	13, 34	ralrimia 3264	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
36	12, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
38		iftrue 4554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
40		limsupre3uzlem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42		ceilcl 13893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
43	42	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦))
45	2, 41, 43, 44	eluzd 45324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ 𝑍)
46	39, 45	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
47		iffalse 4557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
49	40, 2	uzidd2 45331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
51	48, 50	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
52	51	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
53	46, 52	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
54	53	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
55		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
56		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)))
57	56	rexeqdv 3335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
58	57	rspcva 3633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
59	54, 55, 58	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
60		nfv 1913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
61	18	nfci 2896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑍
62	61, 19	nfralw 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
63	60, 62	nfan 1898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
64		nfv 1913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
65	63, 64	nfan 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
66		nfre1 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
67	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
68		eluzelz 12913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
70	67	zred 12747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
71	4, 53	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
73	69	zred 12747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
74	4, 49	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
76	42	zred 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
78		max1 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
79	75, 77, 78	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
81		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
83	70, 72, 73, 80, 82	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑗)
84	2, 67, 69, 83	eluzd 45324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
85	84	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
86		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
88		ceilge 13896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
89	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
90		max2 13249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
91	75, 77, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
92	87, 77, 71, 89, 91	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
94	86, 72, 73, 93, 82	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ 𝑗)
95	94	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑦 ≤ 𝑗)
96		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
97	95, 96	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
98		rspe 3255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
99	85, 97, 98	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
100	99	3exp 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
101	100	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
102	65, 66, 101	rexlimd 3272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
103	59, 102	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
104	103	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
105	104	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
106	37, 105	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
107	106	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
108	53	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
109	60, 64	nfan 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
110		nfra1 3290	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
111	109, 110	nfan 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
112	94	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ 𝑗)
113		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
114	84	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
115		rspa 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
116	113, 114, 115	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
117	112, 116	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
118	117	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
119	111, 118	ralrimi 3263	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
120	56	raleqdv 3334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
121	120	rspcev 3635	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
122	108, 119, 121	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
123	122	rexlimdva2 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
124	4	sseli 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
125	124	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑘 ∈ ℝ)
126		nfra1 3290	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
127	18, 126	nfan 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
128		simp1r 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
129	26	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
130		rspa 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
131	128, 129, 130	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
132	131	3exp 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
133	127, 132	ralrimi 3263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
134	133	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
135	8	rspceaimv 3641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
136	125, 134, 135	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
137	136	rexlimdva2 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
138	123, 137	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
139	138	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
140	107, 139	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
141	7, 140	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ifcif 4548   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ⌈cceil 13842  lim supclsp 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-ico 13413  df-fl 13843  df-ceil 13844  df-limsup 15517

This theorem is referenced by:  limsupre3uz  45657  limsupreuz  45658