Theorem limsupre3uzlem 46375

Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre3uzlem.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupre3uzlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupre3uzlem.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupre3uzlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupre3uzlem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupre3uzlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupre3uzlem.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupre3uzlem.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssre 12884	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 3991	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupre3uzlem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1, 5, 6	limsupre3 46373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))))
8		breq1 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 ≤ 𝑗 ↔ 𝑘 ≤ 𝑗))
9	8	anbi1d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10	9	rexbidv 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
11	10	cbvralvw 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
12	11	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
13		nfra1 3295	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
14		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	4, 14	sselid 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		rspa 3260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
17	15, 16	syldan 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
18		nfv 1941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
19		nfre1 3296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
20		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑘)
21	2	eluzelz2 46043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
23	2	eluzelz2 46043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
25		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	20, 22, 24, 25	eluzd 46049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
27	26	3adant3r 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		simp3r 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
29		rspe 3261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
30	27, 28, 29	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
31	30	3exp 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
32	18, 19, 31	rexlimd 3278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	14, 17, 33	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	13, 34	ralrimia 3270	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
36	12, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
38		iftrue 4498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
39	38	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
40		limsupre3uzlem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42		ceilcl 13875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
43	42	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦))
45	2, 41, 43, 44	eluzd 46049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ 𝑍)
46	39, 45	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
47		iffalse 4501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
48	47	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
49	40, 2	uzidd2 46056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
51	48, 50	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
52	51	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
53	46, 52	pm2.61dan 824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
54	53	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
55		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
56		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)))
57	56	rexeqdv 3330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
58	57	rspcva 3588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
59	54, 55, 58	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
60		nfv 1941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
61	18	nfci 2919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑍
62	61, 19	nfralw 3318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
63	60, 62	nfan 1926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
64		nfv 1941	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
65	63, 64	nfan 1926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
66		nfre1 3296	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
67	40	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
68		eluzelz 12872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
69	68	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
70	67	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
71	4, 53	sselid 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
72	71	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
73	69	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
74	4, 49	sselid 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
75	74	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
76	42	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
77	76	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
78		max1 13211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
79	75, 77, 78	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
80	79	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
81		eluzle 12875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
82	81	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
83	70, 72, 73, 80, 82	letrd 11367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑗)
84	2, 67, 69, 83	eluzd 46049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
85	84	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
86		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
88		ceilge 13878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
89	88	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
90		max2 13213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
91	75, 77, 90	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
92	87, 77, 71, 89, 91	letrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
93	92	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
94	86, 72, 73, 93, 82	letrd 11367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ 𝑗)
95	94	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑦 ≤ 𝑗)
96		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
97	95, 96	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
98		rspe 3261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
99	85, 97, 98	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
100	99	3exp 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
101	100	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
102	65, 66, 101	rexlimd 3278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
103	59, 102	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
104	103	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
105	104	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
106	37, 105	impbid 215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
107	106	rexbidv 3195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
108	53	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
109	60, 64	nfan 1926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
110		nfra1 3295	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
111	109, 110	nfan 1926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
112	94	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ 𝑗)
113		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
114	84	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
115		rspa 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
116	113, 114, 115	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
117	112, 116	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
118	117	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
119	111, 118	ralrimi 3269	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
120	56	raleqdv 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
121	120	rspcev 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
122	108, 119, 121	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
123	122	rexlimdva2 3174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
124	4	sseli 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
125	124	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑘 ∈ ℝ)
126		nfra1 3295	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
127	18, 126	nfan 1926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
128		simp1r 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
129	26	3adant1r 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
130		rspa 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
131	128, 129, 130	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
132	131	3exp 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
133	127, 132	ralrimi 3269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
134	133	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
135	8	rspceaimv 3596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
136	125, 134, 135	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
137	136	rexlimdva2 3174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
138	123, 137	impbid 215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
139	138	rexbidv 3195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
140	107, 139	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑦 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
141	7, 140	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ⌈cceil 13824  lim supclsp 15521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-ico 13378  df-fl 13825  df-ceil 13826  df-limsup 15522

This theorem is referenced by:  limsupre3uz  46376  limsupreuz  46377