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Theorem limsupre3uzlem 43966
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3uzlem.1 𝑗𝐹
limsupre3uzlem.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupre3uzlem.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupre3uzlem.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3uzlem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupre3uzlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupre3uzlem.1 . . 3 𝑗𝐹
2 limsupre3uzlem.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssre 12785 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
42, 3eqsstri 3978 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
6 limsupre3uzlem.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
71, 5, 6limsupre3 43964 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
8 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦𝑗𝑘𝑗))
98anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
109rexbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑘 → (∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
1110cbvralvw 3225 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1211biimpi 215 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
13 nfra1 3267 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
14 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
154, 14sselid 3942 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 rspa 3231 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1715, 16syldan 591 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
18 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑍
19 nfre1 3268 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
212eluzelz2 43628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
232eluzelz2 43628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
24233ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
25 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
2620, 22, 24, 25eluzd 43634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
27263adant3r 1181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗𝑍 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
28 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗𝑍 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
29 rspe 3232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑘) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝑗𝑍 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
31303exp 1119 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
3218, 19, 31rexlimd 3249 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3332imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3414, 17, 33syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3513, 34ralrimia 3241 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3612, 35syl 17 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
38 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = (⌈‘𝑦))
40 limsupre3uzlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 ceilcl 13747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
4342ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ ℤ)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦))
452, 41, 43, 44eluzd 43634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → (⌈‘𝑦) ∈ 𝑍)
4639, 45eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
47 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) = 𝑀)
4940, 2uzidd2 43641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀𝑍)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → 𝑀𝑍)
5148, 50eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
5251adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑦)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
5346, 52pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
5453adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
55 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
56 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (ℤ𝑘) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)))
5756rexeqdv 3314 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5857rspcva 3579 . . . . . . . . 9 ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
5954, 55, 58syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
60 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝜑
6118nfci 2890 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑍
6261, 19nfralw 3294 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
6360, 62nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
64 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
6563, 64nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
66 nfre1 3268 . . . . . . . . 9 𝑗𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
6740ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
68 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
7067zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
714, 53sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ ℝ)
7369zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
744, 49sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7642zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ∈ ℝ)
78 max1 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
7975, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
81 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ≤ 𝑗)
8370, 72, 73, 80, 82letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑀𝑗)
842, 67, 69, 83eluzd 43634 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
85843adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑗𝑍)
86 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ∈ ℝ)
87 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
88 ceilge 13750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
8988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ (⌈‘𝑦))
90 max2 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑦) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9175, 77, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑦) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9287, 77, 71, 89, 91letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))
9486, 72, 73, 93, 82letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦𝑗)
95943adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑦𝑗)
96 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
9795, 96jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
98 rspe 3232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
9985, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
100993exp 1119 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
101100adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
10265, 66, 101rexlimd 3249 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
10359, 102mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
104103ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
105104ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
10637, 105impbid 211 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
107106rexbidv 3175 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
10853adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍)
10960, 64nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
110 nfra1 3267 . . . . . . . . 9 𝑗𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
111109, 110nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
11294adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑦𝑗)
113 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
11484adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
115 rspa 3231 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
116113, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
117112, 116mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
118117ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
119111, 118ralrimi 3240 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
12056raleqdv 3313 . . . . . . . 8 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
121120rspcev 3581 . . . . . . 7 ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑦), (⌈‘𝑦), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
122108, 119, 121syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
123122rexlimdva2 3154 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1244sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
125124ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑘 ∈ ℝ)
126 nfra1 3267 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥
12718, 126nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
128 simp1r 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
129263adant1r 1177 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
130 rspa 3231 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
131128, 129, 130syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
1321313exp 1119 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗𝑍 → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
133127, 132ralrimi 3240 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
134133adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1358rspceaimv 3585 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
136125, 134, 135syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
137136rexlimdva2 3154 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
138123, 137impbid 211 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
139138rexbidv 3175 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
140107, 139anbi12d 631 . 2 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 (𝑦𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑦𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
1417, 140bitrd 278 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2887  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  cr 11050  *cxr 11188  cle 11190  cz 12499  cuz 12763  cceil 13696  lim supclsp 15352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-ico 13270  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-limsup 15353
This theorem is referenced by:  limsupre3uz  43967  limsupreuz  43968
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