Theorem limsupequzmptlem 46559

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptlem.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptlem.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptlem.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptlem.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
limsupequzmptlem.k	⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzmptlem.j	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		limsupequzmptlem.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		limsupequzmptlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴
7	6	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑗 ∈ 𝐴)
8	7	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ 𝐴)
9		limsupequzmptlem.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
11	5	mpteq1i 5196	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ 𝐶)
12	1, 10, 11	fnmptd 6674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑀))
13		limsupequzmptlem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		limsupequzmptlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
15	14	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
16	15	bicomi 227	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑗 ∈ 𝐵)
17	16	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑗 ∈ 𝐵)
18		limsupequzmptlem.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
19	17, 18	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
20	14	mpteq1i 5196	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐶)
21	1, 19, 20	fnmptd 6674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑁))
22		limsupequzmptlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)
23	13, 4	ifcld 4529	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
24	22, 23	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
26	4	zred 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	13	zred 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		max1 13240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
30	29, 22	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
31	25, 4, 24, 30	eluzd 46240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	uzssd 46239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴)
34	32, 33	sseqtrd 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
36		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
37	35, 36	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
38	37, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
39		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
40	39	fvmpt2 6999	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
41	37, 38, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
42		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
43		max2 13242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
44	26, 27, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
45	44, 22	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐾)
46	42, 13, 24, 45	eluzd 46240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
47	46	uzssd 46239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
48	14	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵)
50	47, 49	sseqtrd 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
51	50	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
52	51, 36	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
53		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
54	53	fvmpt2 6999	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
55	52, 38, 54	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
56	41, 55	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗))
57	1, 2, 3, 4, 12, 13, 21, 24, 56	limsupequz 46554	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  ℝcr 11126   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  lim supclsp 15560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-ico 13407  df-limsup 15561

This theorem is used by:  limsupequzmpt  46560