Theorem limsupequzmptlem 46303

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptlem.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptlem.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptlem.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptlem.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
limsupequzmptlem.k	⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzmptlem.j	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfmpt1 5200	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5200	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		limsupequzmptlem.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		limsupequzmptlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴
7	6	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑗 ∈ 𝐴)
8	7	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ 𝐴)
9		limsupequzmptlem.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
11	5	mpteq1i 5192	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ 𝐶)
12	1, 10, 11	fnmptd 6663	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑀))
13		limsupequzmptlem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		limsupequzmptlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
15	14	eleq2i 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
16	15	bicomi 226	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑗 ∈ 𝐵)
17	16	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑗 ∈ 𝐵)
18		limsupequzmptlem.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
19	17, 18	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
20	14	mpteq1i 5192	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐶)
21	1, 19, 20	fnmptd 6663	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑁))
22		limsupequzmptlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)
23	13, 4	ifcld 4528	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
24	22, 23	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
26	4	zred 12678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	13	zred 12678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		max1 13189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
29	26, 27, 28	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
30	29, 22	breqtrrdi 5143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
31	25, 4, 24, 30	eluzd 45984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	uzssd 45983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴)
34	32, 33	sseqtrd 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
35	34	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
36		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
37	35, 36	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
38	37, 9	syldan 600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
39		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
40	39	fvmpt2 6988	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
41	37, 38, 40	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
42		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
43		max2 13191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
44	26, 27, 43	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
45	44, 22	breqtrrdi 5143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐾)
46	42, 13, 24, 45	eluzd 45984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
47	46	uzssd 45983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
48	14	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵)
50	47, 49	sseqtrd 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
51	50	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
52	51, 36	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
53		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
54	53	fvmpt2 6988	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
55	52, 38, 54	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
56	41, 55	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗))
57	1, 2, 3, 4, 12, 13, 21, 24, 56	limsupequz 46298	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561  Ⅎwnf 1804   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ifcif 4481   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6522  ℝcr 11073   ≤ cle 11218  ℤcz 12569  ℤ_≥cuz 12840  lim supclsp 15498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-q 12951  df-ico 13356  df-limsup 15499

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt  46304