Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequzmptlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequzmptlem 42227
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequzmptlem.j 𝑗𝜑
limsupequzmptlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.a 𝐴 = (ℤ𝑀)
limsupequzmptlem.b 𝐵 = (ℤ𝑁)
limsupequzmptlem.c ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑉)
limsupequzmptlem.d ((𝜑𝑗𝐵) → 𝐶𝑊)
limsupequzmptlem.k 𝐾 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)
Assertion
Ref Expression
limsupequzmptlem (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptlem
StepHypRef Expression
1 limsupequzmptlem.j . 2 𝑗𝜑
2 nfmpt1 5147 . 2 𝑗(𝑗𝐴𝐶)
3 nfmpt1 5147 . 2 𝑗(𝑗𝐵𝐶)
4 limsupequzmptlem.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 limsupequzmptlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (ℤ𝑀)
65eqcomi 2833 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = 𝐴
76eleq2i 2907 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑗𝐴)
87biimpi 219 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗𝐴)
9 limsupequzmptlem.c . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9sylan2 595 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐶𝑉)
115mpteq1i 5139 . . 3 (𝑗𝐴𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐶)
121, 10, 11fnmptd 6472 . 2 (𝜑 → (𝑗𝐴𝐶) Fn (ℤ𝑀))
13 limsupequzmptlem.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
14 limsupequzmptlem.b . . . . . . 7 𝐵 = (ℤ𝑁)
1514eleq2i 2907 . . . . . 6 (𝑗𝐵𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
1615bicomi 227 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑗𝐵)
1716biimpi 219 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗𝐵)
18 limsupequzmptlem.d . . . 4 ((𝜑𝑗𝐵) → 𝐶𝑊)
1917, 18sylan2 595 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶𝑊)
2014mpteq1i 5139 . . 3 (𝑗𝐵𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐶)
211, 19, 20fnmptd 6472 . 2 (𝜑 → (𝑗𝐵𝐶) Fn (ℤ𝑁))
22 limsupequzmptlem.k . . 3 𝐾 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)
2313, 4ifcld 4493 . . 3 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
2422, 23eqeltrid 2920 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
25 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
264zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2713zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
28 max1 12566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
2926, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
3029, 22breqtrrdi 5091 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐾)
3125, 4, 24, 30eluzd 41903 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3231uzssd 41902 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
336a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑀) = 𝐴)
3432, 33sseqtrd 3991 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
3534adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
36 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
3735, 36sseldd 3952 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐴)
3837, 9syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶𝑉)
39 eqid 2824 . . . . 5 (𝑗𝐴𝐶) = (𝑗𝐴𝐶)
4039fvmpt2 6762 . . . 4 ((𝑗𝐴𝐶𝑉) → ((𝑗𝐴𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
4137, 38, 40syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗𝐴𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
42 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
43 max2 12568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
4426, 27, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
4544, 22breqtrrdi 5091 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝐾)
4642, 13, 24, 45eluzd 41903 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
4746uzssd 41902 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
4814eqcomi 2833 . . . . . . . 8 (ℤ𝑁) = 𝐵
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑁) = 𝐵)
5047, 49sseqtrd 3991 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
5150adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
5251, 36sseldd 3952 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐵)
53 eqid 2824 . . . . 5 (𝑗𝐵𝐶) = (𝑗𝐵𝐶)
5453fvmpt2 6762 . . . 4 ((𝑗𝐵𝐶𝑉) → ((𝑗𝐵𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
5552, 38, 54syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗𝐵𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
5641, 55eqtr4d 2862 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗𝐴𝐶)‘𝑗) = ((𝑗𝐵𝐶)‘𝑗))
571, 2, 3, 4, 12, 13, 21, 24, 56limsupequz 42222 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2115  wss 3918  ifcif 4448   class class class wbr 5049  cmpt 5129  cfv 6338  cr 10523  cle 10663  cz 11969  cuz 12231  lim supclsp 14818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ico 12732  df-limsup 14819
This theorem is referenced by:  limsupequzmpt  42228
  Copyright terms: Public domain W3C validator