Theorem limsupequzmptlem 46177

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptlem.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptlem.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptlem.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptlem.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
limsupequzmptlem.k	⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzmptlem.j	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfmpt1 5185	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5185	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		limsupequzmptlem.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		limsupequzmptlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴
7	6	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑗 ∈ 𝐴)
8	7	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ 𝐴)
9		limsupequzmptlem.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
11	5	mpteq1i 5177	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ 𝐶)
12	1, 10, 11	fnmptd 6634	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑀))
13		limsupequzmptlem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		limsupequzmptlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
15	14	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
16	15	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑗 ∈ 𝐵)
17	16	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑗 ∈ 𝐵)
18		limsupequzmptlem.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
19	17, 18	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
20	14	mpteq1i 5177	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐶)
21	1, 19, 20	fnmptd 6634	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑁))
22		limsupequzmptlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)
23	13, 4	ifcld 4514	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
24	22, 23	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
26	4	zred 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	13	zred 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		max1 13131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
30	29, 22	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
31	25, 4, 24, 30	eluzd 45858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	uzssd 45857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴)
34	32, 33	sseqtrd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
36		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
37	35, 36	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
38	37, 9	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
39		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
40	39	fvmpt2 6954	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
41	37, 38, 40	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
42		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
43		max2 13133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
44	26, 27, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
45	44, 22	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐾)
46	42, 13, 24, 45	eluzd 45858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
47	46	uzssd 45857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
48	14	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵)
50	47, 49	sseqtrd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
52	51, 36	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
53		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
54	53	fvmpt2 6954	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
55	52, 38, 54	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
56	41, 55	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗))
57	1, 2, 3, 4, 12, 13, 21, 24, 56	limsupequz 46172	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  ℝcr 11031   ≤ cle 11174  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  lim supclsp 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-ico 13298  df-limsup 15427

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt  46178