Theorem limsupequzmptlem 44744

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptlem.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptlem.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptlem.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptlem.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
limsupequzmptlem.k	⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzmptlem.j	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfmpt1 5257	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5257	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		limsupequzmptlem.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		limsupequzmptlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴
7	6	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑗 ∈ 𝐴)
8	7	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ 𝐴)
9		limsupequzmptlem.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
11	5	mpteq1i 5245	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ 𝐶)
12	1, 10, 11	fnmptd 6692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑀))
13		limsupequzmptlem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		limsupequzmptlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
15	14	eleq2i 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
16	15	bicomi 223	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑗 ∈ 𝐵)
17	16	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑗 ∈ 𝐵)
18		limsupequzmptlem.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
19	17, 18	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
20	14	mpteq1i 5245	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐶)
21	1, 19, 20	fnmptd 6692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑁))
22		limsupequzmptlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)
23	13, 4	ifcld 4575	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
24	22, 23	eqeltrid 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
26	4	zred 12672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	13	zred 12672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		max1 13170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
29	26, 27, 28	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
30	29, 22	breqtrrdi 5191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
31	25, 4, 24, 30	eluzd 44419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	uzssd 44418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴)
34	32, 33	sseqtrd 4023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
35	34	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
36		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
37	35, 36	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
38	37, 9	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
39		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
40	39	fvmpt2 7010	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
41	37, 38, 40	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
42		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
43		max2 13172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
44	26, 27, 43	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
45	44, 22	breqtrrdi 5191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐾)
46	42, 13, 24, 45	eluzd 44419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
47	46	uzssd 44418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
48	14	eqcomi 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵)
50	47, 49	sseqtrd 4023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
51	50	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
52	51, 36	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
53		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
54	53	fvmpt2 7010	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
55	52, 38, 54	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
56	41, 55	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗))
57	1, 2, 3, 4, 12, 13, 21, 24, 56	limsupequz 44739	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  ℝcr 11113   ≤ cle 11255  ℤcz 12564  ℤ_≥cuz 12828  lim supclsp 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-ico 13336  df-limsup 15421

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt  44745