Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequzmptlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequzmptlem 44444
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequzmptlem.j 𝑗𝜑
limsupequzmptlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.a 𝐴 = (ℤ𝑀)
limsupequzmptlem.b 𝐵 = (ℤ𝑁)
limsupequzmptlem.c ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑉)
limsupequzmptlem.d ((𝜑𝑗𝐵) → 𝐶𝑊)
limsupequzmptlem.k 𝐾 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)
Assertion
Ref Expression
limsupequzmptlem (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptlem
StepHypRef Expression
1 limsupequzmptlem.j . 2 𝑗𝜑
2 nfmpt1 5257 . 2 𝑗(𝑗𝐴𝐶)
3 nfmpt1 5257 . 2 𝑗(𝑗𝐵𝐶)
4 limsupequzmptlem.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 limsupequzmptlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (ℤ𝑀)
65eqcomi 2742 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = 𝐴
76eleq2i 2826 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑗𝐴)
87biimpi 215 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗𝐴)
9 limsupequzmptlem.c . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9sylan2 594 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐶𝑉)
115mpteq1i 5245 . . 3 (𝑗𝐴𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐶)
121, 10, 11fnmptd 6692 . 2 (𝜑 → (𝑗𝐴𝐶) Fn (ℤ𝑀))
13 limsupequzmptlem.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
14 limsupequzmptlem.b . . . . . . 7 𝐵 = (ℤ𝑁)
1514eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝑗𝐵𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
1615bicomi 223 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑗𝐵)
1716biimpi 215 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗𝐵)
18 limsupequzmptlem.d . . . 4 ((𝜑𝑗𝐵) → 𝐶𝑊)
1917, 18sylan2 594 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶𝑊)
2014mpteq1i 5245 . . 3 (𝑗𝐵𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐶)
211, 19, 20fnmptd 6692 . 2 (𝜑 → (𝑗𝐵𝐶) Fn (ℤ𝑁))
22 limsupequzmptlem.k . . 3 𝐾 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)
2313, 4ifcld 4575 . . 3 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
2422, 23eqeltrid 2838 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
264zred 12666 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2713zred 12666 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
28 max1 13164 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
3029, 22breqtrrdi 5191 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐾)
3125, 4, 24, 30eluzd 44119 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3231uzssd 44118 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
336a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑀) = 𝐴)
3432, 33sseqtrd 4023 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
3534adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
36 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
3735, 36sseldd 3984 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐴)
3837, 9syldan 592 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶𝑉)
39 eqid 2733 . . . . 5 (𝑗𝐴𝐶) = (𝑗𝐴𝐶)
4039fvmpt2 7010 . . . 4 ((𝑗𝐴𝐶𝑉) → ((𝑗𝐴𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
4137, 38, 40syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗𝐴𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
42 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
43 max2 13166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
4426, 27, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
4544, 22breqtrrdi 5191 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝐾)
4642, 13, 24, 45eluzd 44119 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
4746uzssd 44118 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
4814eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (ℤ𝑁) = 𝐵
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑁) = 𝐵)
5047, 49sseqtrd 4023 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
5150adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
5251, 36sseldd 3984 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐵)
53 eqid 2733 . . . . 5 (𝑗𝐵𝐶) = (𝑗𝐵𝐶)
5453fvmpt2 7010 . . . 4 ((𝑗𝐵𝐶𝑉) → ((𝑗𝐵𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
5552, 38, 54syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗𝐵𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
5641, 55eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗𝐴𝐶)‘𝑗) = ((𝑗𝐵𝐶)‘𝑗))
571, 2, 3, 4, 12, 13, 21, 24, 56limsupequz 44439 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6544  cr 11109  cle 11249  cz 12558  cuz 12822  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-ico 13330  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  limsupequzmpt  44445
  Copyright terms: Public domain W3C validator