Theorem limsupequzmptlem 43524

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptlem.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptlem.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptlem.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptlem.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptlem.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
limsupequzmptlem.k	⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzmptlem.j	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfmpt1 5194	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5194	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		limsupequzmptlem.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		limsupequzmptlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴
7	6	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑗 ∈ 𝐴)
8	7	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ 𝐴)
9		limsupequzmptlem.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
11	5	mpteq1i 5182	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ 𝐶)
12	1, 10, 11	fnmptd 6611	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑀))
13		limsupequzmptlem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		limsupequzmptlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
15	14	eleq2i 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
16	15	bicomi 223	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑗 ∈ 𝐵)
17	16	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑗 ∈ 𝐵)
18		limsupequzmptlem.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
19	17, 18	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
20	14	mpteq1i 5182	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐶)
21	1, 19, 20	fnmptd 6611	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn (ℤ≥‘𝑁))
22		limsupequzmptlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)
23	13, 4	ifcld 4516	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
24	22, 23	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
26	4	zred 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	13	zred 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		max1 12998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
30	29, 22	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
31	25, 4, 24, 30	eluzd 43203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	uzssd 43202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = 𝐴)
34	32, 33	sseqtrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
35	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐴)
36		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
37	35, 36	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
38	37, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
39		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
40	39	fvmpt2 6925	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
41	37, 38, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
42		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
43		max2 13000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
44	26, 27, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
45	44, 22	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐾)
46	42, 13, 24, 45	eluzd 43203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
47	46	uzssd 43202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
48	14	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) = 𝐵)
50	47, 49	sseqtrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
51	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ 𝐵)
52	51, 36	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐵)
53		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
54	53	fvmpt2 6925	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
55	52, 38, 54	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗) = 𝐶)
56	41, 55	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑗) = ((𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑗))
57	1, 2, 3, 4, 12, 13, 21, 24, 56	limsupequz 43519	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896  ifcif 4470   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5169  ‘cfv 6465  ℝcr 10949   ≤ cle 11089  ℤcz 12398  ℤ_≥cuz 12661  lim supclsp 15255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-q 12768  df-ico 13164  df-limsup 15256

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt  43525