Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10exlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10exlem 45787
Description: The range of the given function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsup10exlem.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
limsup10exlem.2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsup10exlem (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem limsup10exlem
StepHypRef Expression
1 c0ex 11255 . . . . . . 7 0 ∈ V
21prid1 4762 . . . . . 6 0 ∈ {0, 1}
3 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
43elexi 3503 . . . . . . 7 1 ∈ V
54prid2 4763 . . . . . 6 1 ∈ {0, 1}
62, 5ifcli 4573 . . . . 5 if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
87ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
9 nfv 1914 . . . 4 𝑛𝜑
101, 4ifex 4576 . . . . 5 if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V)
12 limsup10exlem.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
139, 11, 12imassmpt 45269 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}))
148, 13mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1})
15 limsup10exlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1615ceilcld 13883 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
17 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1816, 17ifcld 4572 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
21 2teven 16392 . . . . . . 7 ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
2322iftrued 4533 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 0)
24 2nn 12339 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
273a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
2815adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
2916zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
3215ceilged 13886 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
3427, 28, 30, 31, 33letrd 11418 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ (⌈‘𝐾))
35 iftrue 4531 . . . . . . . . . . 11 (1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
3734, 36breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
383leidi 11797 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 1)
40 iffalse 4534 . . . . . . . . . . 11 (¬ 1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
4140adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
4239, 41breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
4337, 42pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
4426, 17, 18, 43eluzd 45420 . . . . . . 7 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ (ℤ‘1))
45 nnuz 12921 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
4644, 45eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℕ)
4725, 46nnmulcld 12319 . . . . 5 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℕ)
481a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ V)
4912, 23, 47, 48fvmptd2 7024 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) = 0)
5010, 12fnmpti 6711 . . . . . 6 𝐹 Fn ℕ
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
5215rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
53 pnfxr 11315 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5547nnxrd 45285 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ*)
5647nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ)
5746nnred 12281 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ)
5833, 36breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
5915adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
603a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → ¬ 1 ≤ 𝐾)
6259, 60, 61nleltd 45463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 1)
6359, 60, 62ltled 11409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ 1)
6441eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 = if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6563, 64breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6658, 65pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6746nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+)
68 2timesgt 45300 . . . . . . . . 9 (if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+ → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7015, 57, 56, 66, 69lelttrd 11419 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7115, 56, 70ltled 11409 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≤ (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7256ltpnfd 13163 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < +∞)
7352, 54, 55, 71, 72elicod 13437 . . . . 5 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ (𝐾[,)+∞))
7451, 47, 73fnfvimad 7254 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
7549, 74eqeltrrd 2842 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
7618adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
77 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
78 2tp1odd 16389 . . . . . . 7 ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
7976, 77, 78syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
8079iffalsed 4536 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 1)
8147peano2nnd 12283 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℕ)
82 1xr 11320 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
8412, 80, 81, 83fvmptd2 7024 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) = 1)
8581nnxrd 45285 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ*)
8681nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ)
8756ltp1d 12198 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
8815, 56, 86, 70, 87lttrd 11422 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
8915, 86, 88ltled 11409 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≤ ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
9086ltpnfd 13163 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) < +∞)
9152, 54, 85, 89, 90elicod 13437 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ (𝐾[,)+∞))
9251, 81, 91fnfvimad 7254 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9384, 92eqeltrrd 2842 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9475, 93prssd 4822 . 2 (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9514, 94eqssd 4001 1 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cima 5688   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  [,)cico 13389  cceil 13831  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  limsup10ex  45788  liminf10ex  45789
  Copyright terms: Public domain W3C validator