Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10exlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10exlem 44003
Description: The range of the given function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsup10exlem.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
limsup10exlem.2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsup10exlem (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem limsup10exlem
StepHypRef Expression
1 c0ex 11149 . . . . . . 7 0 ∈ V
21prid1 4723 . . . . . 6 0 ∈ {0, 1}
3 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
43elexi 3464 . . . . . . 7 1 ∈ V
54prid2 4724 . . . . . 6 1 ∈ {0, 1}
62, 5ifcli 4533 . . . . 5 if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
87ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
9 nfv 1917 . . . 4 𝑛𝜑
101, 4ifex 4536 . . . . 5 if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V)
12 limsup10exlem.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
139, 11, 12imassmpt 43481 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}))
148, 13mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1})
15 limsup10exlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1615ceilcld 13748 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
17 1zzd 12534 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1816, 17ifcld 4532 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
20 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
21 2teven 16237 . . . . . . 7 ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
2322iftrued 4494 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 0)
24 2nn 12226 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
26 eqid 2736 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
273a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
2815adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
2916zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
3215ceilged 13751 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
3427, 28, 30, 31, 33letrd 11312 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ (⌈‘𝐾))
35 iftrue 4492 . . . . . . . . . . 11 (1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
3635adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
3734, 36breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
383leidi 11689 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 1)
40 iffalse 4495 . . . . . . . . . . 11 (¬ 1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
4140adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
4239, 41breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
4337, 42pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
4426, 17, 18, 43eluzd 43634 . . . . . . 7 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ (ℤ‘1))
45 nnuz 12806 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
4644, 45eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℕ)
4725, 46nnmulcld 12206 . . . . 5 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℕ)
481a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ V)
4912, 23, 47, 48fvmptd2 6956 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) = 0)
5010, 12fnmpti 6644 . . . . . 6 𝐹 Fn ℕ
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
5215rexrd 11205 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
53 pnfxr 11209 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5547nnxrd 43497 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ*)
5647nnred 12168 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ)
5746nnred 12168 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ)
5833, 36breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
5915adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
603a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → ¬ 1 ≤ 𝐾)
6259, 60, 61nleltd 43677 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 1)
6359, 60, 62ltled 11303 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ 1)
6441eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 = if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6563, 64breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6658, 65pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
6746nnrpd 12955 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+)
68 2timesgt 43512 . . . . . . . . 9 (if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+ → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7015, 57, 56, 66, 69lelttrd 11313 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7115, 56, 70ltled 11303 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≤ (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
7256ltpnfd 13042 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < +∞)
7352, 54, 55, 71, 72elicod 13314 . . . . 5 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ (𝐾[,)+∞))
7451, 47, 73fnfvimad 7184 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
7549, 74eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
7618adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
77 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
78 2tp1odd 16234 . . . . . . 7 ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
7976, 77, 78syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
8079iffalsed 4497 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 1)
8147peano2nnd 12170 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℕ)
82 1xr 11214 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
8412, 80, 81, 83fvmptd2 6956 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) = 1)
8581nnxrd 43497 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ*)
8681nnred 12168 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ)
8756ltp1d 12085 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
8815, 56, 86, 70, 87lttrd 11316 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
8915, 86, 88ltled 11303 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≤ ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
9086ltpnfd 13042 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) < +∞)
9152, 54, 85, 89, 90elicod 13314 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ (𝐾[,)+∞))
9251, 81, 91fnfvimad 7184 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9384, 92eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9475, 93prssd 4782 . 2 (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
9514, 94eqssd 3961 1 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cima 5636   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,)cico 13266  cceil 13696  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  limsup10ex  44004  liminf10ex  44005
  Copyright terms: Public domain W3C validator