Theorem limsup10exlem 46544

Description: The range of the given function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsup10exlem.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
limsup10exlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsup10exlem	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem limsup10exlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpr01 11216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
2		1elpr01 11219	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
3	1, 2	ifcli 4537	. . . . 5 ⊢ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
5	4	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1})
6		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		c0ex 11215	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8		1re 11223	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	elexi 3479	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
10	7, 9	ifex 4540	. . . . 5 ⊢ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ V)
12		limsup10exlem.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
13	6, 11, 12	imassmpt 46035	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ ∩ (𝐾[,)+∞))if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ {0, 1}))
14	5, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) ⊆ {0, 1})
15		limsup10exlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	ceilcld 13894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
17		1zzd 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18	16, 17	ifcld 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
21		2teven 16435	. . . . . . 7 ⊢ ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → 2 ∥ 𝑛)
23	22	iftrued 4497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 0)
24		2nn 12329	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
26		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
27	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
28	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
29	16	zred 12716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
31		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
32	15	ceilged 13897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
34	27, 28, 30, 31, 33	letrd 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ (⌈‘𝐾))
35		iftrue 4495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = (⌈‘𝐾))
37	34, 36	breqtrrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
38	8	leidi 11763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 1)
40		iffalse 4498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 1 ≤ 𝐾 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) = 1)
42	39, 41	breqtrrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
43	37, 42	pm2.61dan 825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
44	26, 17, 18, 43	eluzd 46181	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ (ℤ≥‘1))
45		nnuz 12917	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
46	44, 45	eleqtrrdi 2876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℕ)
47	25, 46	nnmulcld 12304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℕ)
48	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
49	12, 23, 47, 48	fvmptd2 7002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) = 0)
50	10, 12	fnmpti 6682	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Fn ℕ
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ)
52	15	rexrd 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ*)
53		pnfxr 11278	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
55	47	nnxrd 46051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ*)
56	47	nnred 12263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ ℝ)
57	46	nnred 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ)
58	33, 36	breqtrrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
59	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
60	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 ∈ ℝ)
61		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → ¬ 1 ≤ 𝐾)
62	59, 60, 61	nleltd 46224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 1)
63	59, 60, 62	ltled 11373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ 1)
64	41	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 1 = if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
65	63, 64	breqtrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
66	58, 65	pm2.61dan 825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))
67	46	nnrpd 13074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+)
68		2timesgt 46065	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℝ+ → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
70	15, 57, 56, 66, 69	lelttrd 11383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
71	15, 56, 70	ltled 11373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)))
72	56	ltpnfd 13162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < +∞)
73	52, 54, 55, 71, 72	elicod 13438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) ∈ (𝐾[,)+∞))
74	51, 47, 73	fnfvimad 7239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1))) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
75	49, 74	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
76	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ)
77		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
78		2tp1odd 16432	. . . . . . 7 ⊢ ((if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
79	76, 77, 78	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑛)
80	79	iffalsed 4500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) = 1)
81	47	peano2nnd 12265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℕ)
82		1xr 11283	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
84	12, 80, 81, 83	fvmptd2 7002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) = 1)
85	81	nnxrd 46051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ*)
86	81	nnred 12263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ ℝ)
87	56	ltp1d 12160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
88	15, 56, 86, 70, 87	lttrd 11386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
89	15, 86, 88	ltled 11373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1))
90	86	ltpnfd 13162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) < +∞)
91	52, 54, 85, 89, 90	elicod 13438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1) ∈ (𝐾[,)+∞))
92	51, 81, 91	fnfvimad 7239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((2 · if(1 ≤ 𝐾, (⌈‘𝐾), 1)) + 1)) ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
93	84, 92	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
94	75, 93	prssd 4790	. 2 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)))
95	14, 94	eqssd 3955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐾[,)+∞)) = {0, 1})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {cpr 4593   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  +∞cpnf 11255  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℕcn 12248  2c2 12310  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  [,)cico 13390  ⌈cceil 13842   ∥ cdvds 16332

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fl 13843  df-ceil 13844  df-dvds 16333

This theorem is used by:  limsup10ex  46545  liminf10ex  46546