Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10exlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10exlem 44087
Description: The range of the given function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsup10exlem.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1))
limsup10exlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
limsup10exlem (๐œ‘ โ†’ (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)) = {0, 1})
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐พ   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem limsup10exlem
StepHypRef Expression
1 c0ex 11156 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
21prid1 4728 . . . . . 6 0 โˆˆ {0, 1}
3 1re 11162 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
43elexi 3467 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
54prid2 4729 . . . . . 6 1 โˆˆ {0, 1}
62, 5ifcli 4538 . . . . 5 if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) โˆˆ {0, 1}
76a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„• โˆฉ (๐พ[,)+โˆž))) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) โˆˆ {0, 1})
87ralrimiva 3144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„• โˆฉ (๐พ[,)+โˆž))if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) โˆˆ {0, 1})
9 nfv 1918 . . . 4 โ„ฒ๐‘›๐œ‘
101, 4ifex 4541 . . . . 5 if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) โˆˆ V
1110a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„• โˆฉ (๐พ[,)+โˆž))) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) โˆˆ V)
12 limsup10exlem.1 . . . 4 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1))
139, 11, 12imassmpt 43565 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)) โŠ† {0, 1} โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„• โˆฉ (๐พ[,)+โˆž))if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) โˆˆ {0, 1}))
148, 13mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)) โŠ† {0, 1})
15 limsup10exlem.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
1615ceilcld 13755 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
17 1zzd 12541 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
1816, 17ifcld 4537 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„ค)
1918adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))) โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„ค)
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))) โ†’ ๐‘› = (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)))
21 2teven 16244 . . . . . . 7 ((if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› = (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘›)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘›)
2322iftrued 4499 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) = 0)
24 2nn 12233 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
2524a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (โ„คโ‰ฅโ€˜1) = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
273a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2815adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2916zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜๐พ) โˆˆ โ„)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ (โŒˆโ€˜๐พ) โˆˆ โ„)
31 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
3215ceilged 13758 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (โŒˆโ€˜๐พ))
3332adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ โ‰ค (โŒˆโ€˜๐พ))
3427, 28, 30, 31, 33letrd 11319 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โ‰ค (โŒˆโ€˜๐พ))
35 iftrue 4497 . . . . . . . . . . 11 (1 โ‰ค ๐พ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) = (โŒˆโ€˜๐พ))
3635adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) = (โŒˆโ€˜๐พ))
3734, 36breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))
383leidi 11696 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰ค 1
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โ‰ค 1)
40 iffalse 4500 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ 1 โ‰ค ๐พ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) = 1)
4140adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) = 1)
4239, 41breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))
4337, 42pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))
4426, 17, 18, 43eluzd 43718 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
45 nnuz 12813 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
4644, 45eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„•)
4725, 46nnmulcld 12213 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) โˆˆ โ„•)
481a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ V)
4912, 23, 47, 48fvmptd2 6961 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))) = 0)
5010, 12fnmpti 6649 . . . . . 6 ๐น Fn โ„•
5150a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn โ„•)
5215rexrd 11212 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„*)
53 pnfxr 11216 . . . . . . 7 +โˆž โˆˆ โ„*
5453a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
5547nnxrd 43581 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) โˆˆ โ„*)
5647nnred 12175 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) โˆˆ โ„)
5746nnred 12175 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„)
5833, 36breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ โ‰ค if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))
5915adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
603a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
61 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ยฌ 1 โ‰ค ๐พ)
6259, 60, 61nleltd 43761 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ < 1)
6359, 60, 62ltled 11310 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ โ‰ค 1)
6441eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 = if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))
6563, 64breqtrd 5136 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ โ‰ค if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))
6658, 65pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))
6746nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„+)
68 2timesgt 43596 . . . . . . . . 9 (if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„+ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) < (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)))
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) < (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)))
7015, 57, 56, 66, 69lelttrd 11320 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)))
7115, 56, 70ltled 11310 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)))
7256ltpnfd 13049 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) < +โˆž)
7352, 54, 55, 71, 72elicod 13321 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
7451, 47, 73fnfvimad 7189 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1))) โˆˆ (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)))
7549, 74eqeltrrd 2839 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)))
7618adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1)) โ†’ if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„ค)
77 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1)) โ†’ ๐‘› = ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1))
78 2tp1odd 16241 . . . . . . 7 ((if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› = ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›)
7976, 77, 78syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›)
8079iffalsed 4502 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1)) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, 0, 1) = 1)
8147peano2nnd 12177 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1) โˆˆ โ„•)
82 1xr 11221 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„*
8382a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
8412, 80, 81, 83fvmptd2 6961 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1)) = 1)
8581nnxrd 43581 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1) โˆˆ โ„*)
8681nnred 12175 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1) โˆˆ โ„)
8756ltp1d 12092 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) < ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1))
8815, 56, 86, 70, 87lttrd 11323 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1))
8915, 86, 88ltled 11310 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1))
9086ltpnfd 13049 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1) < +โˆž)
9152, 54, 85, 89, 90elicod 13321 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
9251, 81, 91fnfvimad 7189 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜((2 ยท if(1 โ‰ค ๐พ, (โŒˆโ€˜๐พ), 1)) + 1)) โˆˆ (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)))
9384, 92eqeltrrd 2839 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)))
9475, 93prssd 4787 . 2 (๐œ‘ โ†’ {0, 1} โŠ† (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)))
9514, 94eqssd 3966 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โ€œ (๐พ[,)+โˆž)) = {0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  Vcvv 3448   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193   โ€œ cima 5641   Fn wfn 6496  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  [,)cico 13273  โŒˆcceil 13703   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fl 13704  df-ceil 13705  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  limsup10ex  44088  liminf10ex  44089
  Copyright terms: Public domain W3C validator