Theorem limsupmnfuzlem 45755

Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnfuzlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuzlem.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupmnfuzlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupmnfuzlem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupmnfuzlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssre 12874	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 4005	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupmnfuzlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1, 5, 6	limsupmnf 45750	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
8		breq1 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
9	8	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
10	9	ralbidv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
11	10	cbvrexvw 3221	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
12	11	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
13		iftrue 4506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
15		limsupmnfuzlem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ceilcl 13859	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖))
20	2, 16, 18, 19	eluzd 45436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ 𝑍)
21	14, 20	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
22		iffalse 4509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
24	15, 2	uzidd2 45443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
26	23, 25	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
27	21, 26	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
28	27	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
29		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
30		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ ℝ
31		nfra1 3266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
32	29, 30, 31	nf3an 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
33		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
34	4, 27	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
36		eluzelre 12863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
39	17	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
41		ceilge 13862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
43	4, 24	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		max2 13203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
46	44, 40, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
47	38, 40, 34, 42, 46	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
49		eluzle 12865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
51	33, 35, 37, 48, 50	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
52	51	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
53		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
54	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzelz 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
57	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
58		max1 13201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
59	43, 39, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
61	57, 35, 37, 60, 50	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑗)
62	2, 54, 56, 61	eluzd 45436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
63	62	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
64		rspa 3231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
65	53, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
66	52, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
67	66	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
68	32, 67	ralrimi 3240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
69		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)))
70	69	raleqdv 3305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
71	70	rspcev 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
72	28, 68, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
73	72	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
74	73	rexlimdv 3139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
75	74	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
76	12, 75	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
78		rexss 4034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
79	4, 78	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
80	79	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
81		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
82		nfra1 3266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
83	81, 82	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
84		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑘)
86	2	eluzelz2 45430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
87	86	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
88	2	eluzelz2 45430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
89	88	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
90		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
91	85, 87, 89, 90	eluzd 45436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
92	91	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
93		rspa 3231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
94	84, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
95	94	3exp 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
96	83, 95	ralrimi 3240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
98	97	reximdv 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
99	98	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
100	80, 99	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
101	100	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
102	77, 101	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
103	102	ralbidv 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
104	7, 103	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ifcif 4500   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℝcr 11128  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ⌈cceil 13808  lim supclsp 15486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-ico 13368  df-fl 13809  df-ceil 13810  df-limsup 15487

This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  45756