Theorem limsupmnfuzlem 45741

Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnfuzlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuzlem.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupmnfuzlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupmnfuzlem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2905	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupmnfuzlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssre 12900	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 4030	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupmnfuzlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1, 5, 6	limsupmnf 45736	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
8		breq1 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
9	8	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
10	9	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
11	10	cbvrexvw 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
12	11	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
13		iftrue 4531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
15		limsupmnfuzlem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ceilcl 13882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖))
20	2, 16, 18, 19	eluzd 45420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ 𝑍)
21	14, 20	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
22		iffalse 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
24	15, 2	uzidd2 45427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
26	23, 25	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
27	21, 26	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
28	27	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
29		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
30		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ ℝ
31		nfra1 3284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
32	29, 30, 31	nf3an 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
33		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
34	4, 27	sselid 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
36		eluzelre 12889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
39	17	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
41		ceilge 13885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
43	4, 24	sselid 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		max2 13229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
46	44, 40, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
47	38, 40, 34, 42, 46	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
49		eluzle 12891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
51	33, 35, 37, 48, 50	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
52	51	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
53		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
54	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
57	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
58		max1 13227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
59	43, 39, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
61	57, 35, 37, 60, 50	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑗)
62	2, 54, 56, 61	eluzd 45420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
63	62	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
64		rspa 3248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
65	53, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
66	52, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
67	66	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
68	32, 67	ralrimi 3257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
69		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)))
70	69	raleqdv 3326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
71	70	rspcev 3622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
72	28, 68, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
73	72	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
74	73	rexlimdv 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
75	74	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
76	12, 75	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
78		rexss 4059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
79	4, 78	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
80	79	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
81		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
82		nfra1 3284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
83	81, 82	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
84		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑘)
86	2	eluzelz2 45414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
87	86	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
88	2	eluzelz2 45414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
89	88	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
90		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
91	85, 87, 89, 90	eluzd 45420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
92	91	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
93		rspa 3248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
94	84, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
95	94	3exp 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
96	83, 95	ralrimi 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
98	97	reximdv 3170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
99	98	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
100	80, 99	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
101	100	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
102	77, 101	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
103	102	ralbidv 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
104	7, 103	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ⌈cceil 13831  lim supclsp 15506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-limsup 15507

This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  45742