Theorem limsupmnfuzlem 41439

Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnfuzlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuzlem.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupmnfuzlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupmnfuzlem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupmnfuzlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssre 41100	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 3893	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupmnfuzlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1, 5, 6	limsupmnf 41434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
8		breq1 4933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
9	8	imbi1d 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
10	9	ralbidv 3147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
11	10	cbvrexv 3384	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
12	11	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
13		iftrue 4357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
14	13	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
15		limsupmnfuzlem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ceilcl 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
18	17	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖))
20	2, 16, 18, 19	eluzd 41114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ 𝑍)
21	14, 20	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
22		iffalse 4360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
23	22	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
24	15, 2	uzidd2 41122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
25	24	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
26	23, 25	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
27	21, 26	pm2.61dan 800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
28	27	3adant3 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
29		nfv 1873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
30		nfv 1873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ ℝ
31		nfra1 3169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
32	29, 30, 31	nf3an 1864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
33		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
34	4, 27	sseldi 3858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
35	34	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
36		eluzelre 12072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
37	36	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
39	17	zred 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
40	39	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
41		ceilge 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
42	41	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
43	4, 24	sseldi 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
44	43	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		max2 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
46	44, 40, 45	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
47	38, 40, 34, 42, 46	letrd 10599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
48	47	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
49		eluzle 12074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
50	49	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
51	33, 35, 37, 48, 50	letrd 10599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
52	51	3adantl3 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
53		simpl3 1173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
54	15	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzelz 12071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
56	55	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
57	44	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
58		max1 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
59	43, 39, 58	syl2an 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
60	59	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
61	57, 35, 37, 60, 50	letrd 10599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑗)
62	2, 54, 56, 61	eluzd 41114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
63	62	3adantl3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
64		rspa 3156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
65	53, 63, 64	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
66	52, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
67	66	ex 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
68	32, 67	ralrimi 3166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
69		fveq2 6501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)))
70	69	raleqdv 3355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
71	70	rspcev 3535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
72	28, 68, 71	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
73	72	3exp 1099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
74	73	rexlimdv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
75	74	imp 398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
76	12, 75	sylan2 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
77	76	ex 405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
78		rexss 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
79	4, 78	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
80	79	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
81		nfv 1873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
82		nfra1 3169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
83	81, 82	nfan 1862	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
84		simp1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑘)
86	2	eluzelz2 41107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
87	86	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
88	2	eluzelz2 41107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
89	88	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
90		simp3 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
91	85, 87, 89, 90	eluzd 41114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
92	91	3adant1r 1157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
93		rspa 3156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
94	84, 92, 93	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
95	94	3exp 1099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
96	83, 95	ralrimi 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
98	97	reximdv 3218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
99	98	imp 398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
100	80, 99	sylan2 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
101	100	ex 405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
102	77, 101	impbid 204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
103	102	ralbidv 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
104	7, 103	bitrd 271	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3831  ifcif 4351   class class class wbr 4930  ⟶wf 6186  ‘cfv 6190  ℝcr 10336  -∞cmnf 10474  ℝ^*cxr 10475   ≤ cle 10477  ℤcz 11796  ℤ_≥cuz 12061  ⌈cceil 12979  lim supclsp 14691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-ico 12563  df-fl 12980  df-ceil 12981  df-limsup 14692

This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  41440