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Theorem limsupmnfuzlem 45741
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnfuzlem.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuzlem.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupmnfuzlem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupmnfuzlem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2905 . . 3 𝑗𝐹
2 limsupmnfuzlem.2 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssre 12900 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
42, 3eqsstri 4030 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
6 limsupmnfuzlem.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
71, 5, 6limsupmnf 45736 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
8 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑗𝑖𝑗))
98imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
109ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
1110cbvrexvw 3238 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1211biimpi 216 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
13 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
15 limsupmnfuzlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 ceilcl 13882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
1817ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖))
202, 16, 18, 19eluzd 45420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ 𝑍)
2114, 20eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
22 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
2415, 2uzidd2 45427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀𝑍)
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀𝑍)
2623, 25eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
2721, 26pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
28273adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
29 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝜑
30 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑖 ∈ ℝ
31 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3229, 30, 31nf3an 1901 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
33 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
344, 27sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
36 eluzelre 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
3917zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
41 ceilge 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
434, 24sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
45 max2 13229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4644, 40, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4738, 40, 34, 42, 46letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
49 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
5133, 35, 37, 48, 50letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖𝑗)
52513adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖𝑗)
53 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5415ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
5744adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
58 max1 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
5943, 39, 58syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
6157, 35, 37, 60, 50letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀𝑗)
622, 54, 56, 61eluzd 45420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
63623adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
64 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6553, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6652, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
6766ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6832, 67ralrimi 3257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
69 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (ℤ𝑘) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)))
7069raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7170rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7228, 68, 71syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
73723exp 1120 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ → (∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
7473rexlimdv 3153 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7574imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7612, 75sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7776ex 412 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
78 rexss 4059 . . . . . . . 8 (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
794, 78ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
8079biimpi 216 . . . . . 6 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
81 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑍
82 nfra1 3284 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥
8381, 82nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
84 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
85 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
862eluzelz2 45414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
87863ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
882eluzelz2 45414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
89883ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
90 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
9185, 87, 89, 90eluzd 45420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
92913adant1r 1178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
93 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
9484, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
95943exp 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗𝑍 → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9683, 95ralrimi 3257 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
9796a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9897reximdv 3170 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9998imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
10080, 99sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
101100ex 412 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
10277, 101impbid 212 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
103102ralbidv 3178 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1047, 103bitrd 279 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  cr 11154  -∞cmnf 11293  *cxr 11294  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  cceil 13831  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  45742
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