Theorem limsupmnfuzlem 45731

Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnfuzlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuzlem.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupmnfuzlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupmnfuzlem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupmnfuzlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssre 12822	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 3996	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupmnfuzlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1, 5, 6	limsupmnf 45726	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
8		breq1 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
9	8	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
10	9	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
11	10	cbvrexvw 3217	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
12	11	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
13		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
15		limsupmnfuzlem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ceilcl 13811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖))
20	2, 16, 18, 19	eluzd 45412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ 𝑍)
21	14, 20	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
22		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
24	15, 2	uzidd2 45419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
26	23, 25	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
27	21, 26	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
28	27	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
29		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
30		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ ℝ
31		nfra1 3262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
32	29, 30, 31	nf3an 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
33		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
34	4, 27	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
36		eluzelre 12811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
39	17	zred 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
41		ceilge 13814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
43	4, 24	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		max2 13154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
46	44, 40, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
47	38, 40, 34, 42, 46	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
49		eluzle 12813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
51	33, 35, 37, 48, 50	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
52	51	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ 𝑗)
53		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
54	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzelz 12810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
57	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
58		max1 13152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
59	43, 39, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
61	57, 35, 37, 60, 50	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑗)
62	2, 54, 56, 61	eluzd 45412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
63	62	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
64		rspa 3227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
65	53, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
66	52, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
67	66	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
68	32, 67	ralrimi 3236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
69		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)))
70	69	raleqdv 3301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
71	70	rspcev 3591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
72	28, 68, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
73	72	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
74	73	rexlimdv 3133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
75	74	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑖 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
76	12, 75	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
78		rexss 4025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
79	4, 78	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
80	79	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
81		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
82		nfra1 3262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
83	81, 82	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
84		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑘)
86	2	eluzelz2 45406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
87	86	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
88	2	eluzelz2 45406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
89	88	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
90		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
91	85, 87, 89, 90	eluzd 45412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
92	91	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
93		rspa 3227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
94	84, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
95	94	3exp 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
96	83, 95	ralrimi 3236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
98	97	reximdv 3149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
99	98	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
100	80, 99	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
101	100	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
102	77, 101	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
103	102	ralbidv 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
104	7, 103	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ⌈cceil 13760  lim supclsp 15443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-ico 13319  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-limsup 15444

This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  45732