Theorem uzubioo 46576

Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzubioo.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzubioo.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
uzubioo	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzubioo.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11359	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11363	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5	1	ceilcld 13983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6		1zzd 12727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7	5, 6	zaddcld 12807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9		uzubioo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 12803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	8, 10	ifcld 4529	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
12	5	zred 12803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
13	1	ceilged 13986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
14	12	ltp1d 12247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
15	1, 12, 8, 13, 14	lelttrd 11468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
16	10, 8	max2d 46467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
17	1, 8, 11, 15, 16	ltletrd 11470	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
18	11	ltpnfd 13250	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
19	2, 4, 11, 17, 18	eliood 46509	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20		uzubioo.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
21	7, 9	ifcld 4529	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22		max1 13315	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
23	10, 8, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
24	20, 9, 21, 23	eluzd 46418	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25		eleq1 2849	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
26	25	rspcev 3577	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
27	19, 24, 26	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  (,)cioo 13476  ⌈cceil 13931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-ioo 13480  df-fl 13932  df-ceil 13933

This theorem is used by:  uzubico  46577  uzubioo2  46578