Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzubioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzubioo 45520
Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzubioo.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzubioo.3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
uzubioo (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo
StepHypRef Expression
1 uzubioo.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
21rexrd 11309 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11313 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
51ceilcld 13880 . . . . . 6 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6 1zzd 12646 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
75, 6zaddcld 12724 . . . . 5 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
87zred 12720 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9 uzubioo.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
109zred 12720 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
118, 10ifcld 4577 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
125zred 12720 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
131ceilged 13883 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
1412ltp1d 12196 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
151, 12, 8, 13, 14lelttrd 11417 . . . 4 (𝜑𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
1610, 8max2d 45408 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
171, 8, 11, 15, 16ltletrd 11419 . . 3 (𝜑𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
1811ltpnfd 13161 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
192, 4, 11, 17, 18eliood 45451 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20 uzubioo.2 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
217, 9ifcld 4577 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22 max1 13224 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2310, 8, 22syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2420, 9, 21, 23eluzd 45359 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25 eleq1 2827 . . 3 (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
2625rspcev 3622 . 2 ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
2719, 24, 26syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  (,)cioo 13384  cceil 13828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ioo 13388  df-fl 13829  df-ceil 13830
This theorem is referenced by:  uzubico  45521  uzubioo2  45522
  Copyright terms: Public domain W3C validator