Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzubioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzubioo 44267
Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzubioo.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzubioo.3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
uzubioo (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo
StepHypRef Expression
1 uzubioo.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
21rexrd 11261 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11265 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
51ceilcld 13805 . . . . . 6 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6 1zzd 12590 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
75, 6zaddcld 12667 . . . . 5 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
87zred 12663 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9 uzubioo.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
109zred 12663 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
118, 10ifcld 4574 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
125zred 12663 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
131ceilged 13808 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
1412ltp1d 12141 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
151, 12, 8, 13, 14lelttrd 11369 . . . 4 (𝜑𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
1610, 8max2d 44155 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
171, 8, 11, 15, 16ltletrd 11371 . . 3 (𝜑𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
1811ltpnfd 13098 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
192, 4, 11, 17, 18eliood 44198 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20 uzubioo.2 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
217, 9ifcld 4574 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22 max1 13161 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2310, 8, 22syl2anc 585 . . 3 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2420, 9, 21, 23eluzd 44106 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25 eleq1 2822 . . 3 (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
2625rspcev 3613 . 2 ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
2719, 24, 26syl2anc 585 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110  +∞cpnf 11242  *cxr 11244  cle 11246  cz 12555  cuz 12819  (,)cioo 13321  cceil 13753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-ioo 13325  df-fl 13754  df-ceil 13755
This theorem is referenced by:  uzubico  44268  uzubioo2  44269
  Copyright terms: Public domain W3C validator