Theorem uzubioo 41272

Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzubioo.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzubioo.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
uzubioo	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzubioo.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 10490	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 10494	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5	1	ceilcld 41155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6		1zzd 11826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7	5, 6	zaddcld 11904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 11900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9		uzubioo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 11900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	8, 10	ifcld 4395	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
12	5	zred 11900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
13	1	ceilged 41149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
14	12	ltp1d 11371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
15	1, 12, 8, 13, 14	lelttrd 10598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
16	10, 8	max2d 41163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
17	1, 8, 11, 15, 16	ltletrd 10600	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
18	11	ltpnfd 12333	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
19	2, 4, 11, 17, 18	eliood 41202	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20		uzubioo.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
21	7, 9	ifcld 4395	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22		max1 12395	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
23	10, 8, 22	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
24	20, 9, 21, 23	eluzd 41111	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25		eleq1 2854	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
26	25	rspcev 3536	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
27	19, 24, 26	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∃wrex 3090  ifcif 4350   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  1c1 10336   + caddc 10338  +∞cpnf 10471  ℝ^*cxr 10473   ≤ cle 10475  ℤcz 11793  ℤ_≥cuz 12058  (,)cioo 12554  ⌈cceil 12976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-ioo 12558  df-fl 12977  df-ceil 12978

This theorem is referenced by:  uzubico  41273  uzubioo2  41274