Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzubioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzubioo 44954
Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzubioo.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzubioo.3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
uzubioo (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo
StepHypRef Expression
1 uzubioo.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
21rexrd 11300 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11304 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
51ceilcld 13846 . . . . . 6 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6 1zzd 12629 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
75, 6zaddcld 12706 . . . . 5 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
87zred 12702 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9 uzubioo.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
109zred 12702 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
118, 10ifcld 4576 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
125zred 12702 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
131ceilged 13849 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
1412ltp1d 12180 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
151, 12, 8, 13, 14lelttrd 11408 . . . 4 (𝜑𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
1610, 8max2d 44842 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
171, 8, 11, 15, 16ltletrd 11410 . . 3 (𝜑𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
1811ltpnfd 13139 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
192, 4, 11, 17, 18eliood 44885 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20 uzubioo.2 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
217, 9ifcld 4576 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22 max1 13202 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2310, 8, 22syl2anc 582 . . 3 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2420, 9, 21, 23eluzd 44793 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25 eleq1 2816 . . 3 (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
2625rspcev 3609 . 2 ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
2719, 24, 26syl2anc 582 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3066  ifcif 4530   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  cr 11143  1c1 11145   + caddc 11147  +∞cpnf 11281  *cxr 11283  cle 11285  cz 12594  cuz 12858  (,)cioo 13362  cceil 13794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-ioo 13366  df-fl 13795  df-ceil 13796
This theorem is referenced by:  uzubico  44955  uzubioo2  44956
  Copyright terms: Public domain W3C validator