Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzubioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzubioo 45585
Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzubioo.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzubioo.3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
uzubioo (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo
StepHypRef Expression
1 uzubioo.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
21rexrd 11312 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11316 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
51ceilcld 13884 . . . . . 6 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6 1zzd 12650 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
75, 6zaddcld 12728 . . . . 5 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
87zred 12724 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9 uzubioo.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
109zred 12724 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
118, 10ifcld 4571 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
125zred 12724 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
131ceilged 13887 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
1412ltp1d 12199 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
151, 12, 8, 13, 14lelttrd 11420 . . . 4 (𝜑𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
1610, 8max2d 45474 . . . 4 (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
171, 8, 11, 15, 16ltletrd 11422 . . 3 (𝜑𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
1811ltpnfd 13164 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
192, 4, 11, 17, 18eliood 45516 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20 uzubioo.2 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
217, 9ifcld 4571 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22 max1 13228 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2310, 8, 22syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
2420, 9, 21, 23eluzd 45425 . 2 (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25 eleq1 2828 . . 3 (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
2625rspcev 3621 . 2 ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
2719, 24, 26syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159  +∞cpnf 11293  *cxr 11295  cle 11297  cz 12615  cuz 12879  (,)cioo 13388  cceil 13832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-ioo 13392  df-fl 13833  df-ceil 13834
This theorem is referenced by:  uzubico  45586  uzubioo2  45587
  Copyright terms: Public domain W3C validator