Theorem uzubioo 45585

Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzubioo.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzubioo.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
uzubioo	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzubioo.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11312	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11316	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5	1	ceilcld 13884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6		1zzd 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7	5, 6	zaddcld 12728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9		uzubioo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 12724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	8, 10	ifcld 4571	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
12	5	zred 12724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
13	1	ceilged 13887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
14	12	ltp1d 12199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
15	1, 12, 8, 13, 14	lelttrd 11420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
16	10, 8	max2d 45474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
17	1, 8, 11, 15, 16	ltletrd 11422	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
18	11	ltpnfd 13164	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
19	2, 4, 11, 17, 18	eliood 45516	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20		uzubioo.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
21	7, 9	ifcld 4571	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22		max1 13228	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
23	10, 8, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
24	20, 9, 21, 23	eluzd 45425	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25		eleq1 2828	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
26	25	rspcev 3621	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
27	19, 24, 26	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  ifcif 4524   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  1c1 11157   + caddc 11159  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  (,)cioo 13388  ⌈cceil 13832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-ioo 13392  df-fl 13833  df-ceil 13834

This theorem is referenced by:  uzubico  45586  uzubioo2  45587