Theorem uzubioo 45536

Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzubioo.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzubioo.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
uzubioo	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzubioo.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11200	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11204	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5	1	ceilcld 13781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6		1zzd 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7	5, 6	zaddcld 12618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9		uzubioo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 12614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	8, 10	ifcld 4531	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
12	5	zred 12614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
13	1	ceilged 13784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
14	12	ltp1d 12089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
15	1, 12, 8, 13, 14	lelttrd 11308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
16	10, 8	max2d 45427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
17	1, 8, 11, 15, 16	ltletrd 11310	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
18	11	ltpnfd 13057	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
19	2, 4, 11, 17, 18	eliood 45469	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20		uzubioo.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
21	7, 9	ifcld 4531	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22		max1 13121	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
23	10, 8, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
24	20, 9, 21, 23	eluzd 45378	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25		eleq1 2816	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
26	25	rspcev 3585	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
27	19, 24, 26	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ifcif 4484   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  (,)cioo 13282  ⌈cceil 13729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-ioo 13286  df-fl 13730  df-ceil 13731

This theorem is referenced by:  uzubico  45537  uzubioo2  45538