Theorem uzubioo 42780

Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzubioo.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzubioo.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzubioo.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
uzubioo	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem uzubioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzubioo.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 10883	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 10887	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5	1	ceilcld 42665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℤ)
6		1zzd 12208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7	5, 6	zaddcld 12286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
8	7	zred 12282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
9		uzubioo.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 12282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	8, 10	ifcld 4485	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
12	5	zred 12282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) ∈ ℝ)
13	1	ceilged 42659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (⌈‘𝑋))
14	12	ltp1d 11762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘𝑋) < ((⌈‘𝑋) + 1))
15	1, 12, 8, 13, 14	lelttrd 10990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < ((⌈‘𝑋) + 1))
16	10, 8	max2d 42673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘𝑋) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
17	1, 8, 11, 15, 16	ltletrd 10992	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
18	11	ltpnfd 12713	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) < +∞)
19	2, 4, 11, 17, 18	eliood 42711	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞))
20		uzubioo.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
21	7, 9	ifcld 4485	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
22		max1 12775	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌈‘𝑋) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
23	10, 8, 22	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀))
24	20, 9, 21, 23	eluzd 42622	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
25		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍))
26	25	rspcev 3537	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ (𝑋(,)+∞) ∧ if(𝑀 ≤ ((⌈‘𝑋) + 1), ((⌈‘𝑋) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍) → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)
27	19, 24, 26	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑋(,)+∞)𝑘 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  ifcif 4439   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  1c1 10730   + caddc 10732  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   ≤ cle 10868  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  (,)cioo 12935  ⌈cceil 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-ioo 12939  df-fl 13367  df-ceil 13368

This theorem is referenced by:  uzubico  42781  uzubioo2  42782