Theorem uzublem 46172

Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzublem.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
uzublem.2	⊢ Ⅎ𝑗𝑋
uzublem.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzublem.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzublem.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
uzublem.6	⊢ 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
uzublem.7	⊢ 𝑋 = if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊)
uzublem.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
uzublem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
uzublem.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)𝐵 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uzublem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥, 𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥, 𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem uzublem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzublem.7	. . 3 ⊢ 𝑋 = if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊)
2		uzublem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3		uzublem.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
5		uzublem.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
6		ltso 11296	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
8		fzfid 14016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
9		uzublem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		uzublem.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
11		uzublem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12	11	eluzelz2 46145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
14	9	zred 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	leidd 11786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
16	10, 11	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		eluzle 12881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
19	9, 13, 9, 15, 18	elfzd 13549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝐾))
20	19	ne0d 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) ≠ ∅)
21		fzssuz 13600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀...𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
22	11	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
23	21, 22	sseqtri 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀...𝐾) ⊆ 𝑍
24		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
25	23, 24	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26		uzublem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
27	25, 26	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	5, 7, 8, 20, 27	fisupclrnmpt 46141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
29	4, 28	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
30	2, 29	ifcld 4533	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
31	1, 30	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
32	26	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	2	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
34	31	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
35		uzublem.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)𝐵 ≤ 𝑌)
36	35	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)𝐵 ≤ 𝑌)
37		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
38	13	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	11	eluzelz2 46145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
40	39	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
41		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑗)
42	37, 38, 40, 41	eluzd 46151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
43		rspa 3253	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)𝐵 ≤ 𝑌 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐵 ≤ 𝑌)
44	36, 42, 43	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝐵 ≤ 𝑌)
45		max2 13219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊))
46	29, 2, 45	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊))
47	46, 1	breqtrrdi 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
48	47	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝑌 ≤ 𝑋)
49	32, 33, 34, 44, 48	letrd 11373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝐵 ≤ 𝑋)
50		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑗) → ¬ 𝐾 ≤ 𝑗)
51		uzssre 12890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
52	11, 51	eqsstri 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
53	52	sseli 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
54	53	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
55	52, 10	sselid 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
56	55	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
57	54, 56	ltnled 11363	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑗))
58	50, 57	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝑗 < 𝐾)
59	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ∈ ℝ)
60	3, 29	eqeltrrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
61	3, 60	eqeltrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
62	61	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊 ∈ ℝ)
63	2, 61	ifcld 4533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
64	1, 63	eqeltrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
65	64	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ℝ)
66		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝜑)
67	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
68	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
69	11	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
70	69	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
71	70	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
72		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 < 𝐾)
73	71, 68, 72	elfzod 13698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾))
74		elfzouz 13699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	74, 22	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗 ∈ 𝑍)
76	73, 75, 39	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
77		eluzle 12881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑗)
78	70, 77	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑗)
79	78	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝑗)
80	73, 75, 53	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℝ)
81	55	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
82	80, 81, 72	ltled 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ≤ 𝐾)
83	67, 68, 76, 79, 82	elfzd 13549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
84	5, 27	ralrimia 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ)
85		fimaxre3 12167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀...𝐾) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ≤ 𝑦)
86	8, 84, 85	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ≤ 𝑦)
87	5, 27, 86	suprubrnmpt 45996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
88	66, 83, 87	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
89	88, 3	breqtrrdi 5152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ≤ 𝑊)
90		max1 13217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊))
91	29, 2, 90	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≤ if(𝑊 ≤ 𝑌, 𝑌, 𝑊))
92	91, 1	breqtrrdi 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≤ 𝑋)
93	92	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊 ≤ 𝑋)
94	59, 62, 65, 89, 93	letrd 11373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ≤ 𝑋)
95	58, 94	syldan 602	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑗) → 𝐵 ≤ 𝑋)
96	49, 95	pm2.61dan 824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ≤ 𝑋)
97	96	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝐵 ≤ 𝑋))
98	5, 97	ralrimi 3262	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑋)
99		nfv 1943	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑋
100		nfcv 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
101		uzublem.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑋
102	100, 101	nfeq 2937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 = 𝑋
103		breq2 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝑋))
104	102, 103	ralbid 3277	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑋))
105	99, 104	rspce 3569	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)
106	31, 98, 105	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   Or wor 5567  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  supcsup 9398  ℝcr 11105   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690

This theorem is used by:  uzub  46173