Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzublem 44950
Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzublem.1 𝑗𝜑
uzublem.2 𝑗𝑋
uzublem.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzublem.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzublem.5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
uzublem.6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
uzublem.7 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
uzublem.8 (𝜑𝐾𝑍)
uzublem.9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
uzublem.10 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
Assertion
Ref Expression
uzublem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem uzublem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzublem.7 . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 uzublem.5 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 uzublem.6 . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
5 uzublem.1 . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 11326 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 13974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
9 uzublem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 uzublem.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑍)
11 uzublem.4 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
1211eluzelz2 44923 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑍𝐾 ∈ ℤ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
149zred 12699 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1514leidd 11812 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑀)
1610, 11eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzle 12868 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐾)
199, 13, 9, 15, 18elfzd 13527 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝐾))
2019ne0d 4335 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ≠ ∅)
21 fzssuz 13577 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)
2211eqcomi 2734 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = 𝑍
2321, 22sseqtri 4013 . . . . . . . 8 (𝑀...𝐾) ⊆ 𝑍
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
2523, 24sselid 3974 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗𝑍)
26 uzublem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2725, 26sylan2 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ)
285, 7, 8, 20, 27fisupclrnmpt 44918 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
294, 28eqeltrd 2825 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
302, 29ifcld 4576 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
311, 30eqeltrid 2829 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3226adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵 ∈ ℝ)
332ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
3431ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
35 uzublem.10 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
3635ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
37 eqid 2725 . . . . . . . 8 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
3813ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾 ∈ ℤ)
3911eluzelz2 44923 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
4039ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
41 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
4237, 38, 40, 41eluzd 44929 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
43 rspa 3235 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐵𝑌)
4436, 42, 43syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑌)
45 max2 13201 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
4629, 2, 45syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
4746, 1breqtrrdi 5191 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
4847ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
4932, 33, 34, 44, 48letrd 11403 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑋)
50 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → ¬ 𝐾𝑗)
51 uzssre 12877 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5211, 51eqsstri 4011 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℝ
5352sseli 3972 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
5453ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
5552, 10sselid 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
5655ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
5754, 56ltnled 11393 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → (𝑗 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑗))
5850, 57mpbird 256 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝑗 < 𝐾)
5926adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ∈ ℝ)
603, 29eqeltrrid 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
613, 60eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
6261ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊 ∈ ℝ)
632, 61ifcld 4576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
641, 63eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6564ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ℝ)
66 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝜑)
679ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
6813ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6911eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7069biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7170ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
72 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 < 𝐾)
7371, 68, 72elfzod 44920 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾))
74 elfzouz 13671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7574, 22eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗𝑍)
7673, 75, 393syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
77 eluzle 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
7870, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
7978ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀𝑗)
8073, 75, 533syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℝ)
8155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
8280, 81, 72ltled 11394 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗𝐾)
8367, 68, 76, 79, 82elfzd 13527 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
845, 27ralrimia 3245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ)
85 fimaxre3 12193 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀...𝐾) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵𝑦)
868, 84, 85syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵𝑦)
875, 27, 86suprubrnmpt 44767 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
8866, 83, 87syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
8988, 3breqtrrdi 5191 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵𝑊)
90 max1 13199 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9129, 2, 90syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9291, 1breqtrrdi 5191 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝑋)
9392ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊𝑋)
9459, 62, 65, 89, 93letrd 11403 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵𝑋)
9558, 94syldan 589 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑋)
9649, 95pm2.61dan 811 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵𝑋)
9796ex 411 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵𝑋))
985, 97ralrimi 3244 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋)
99 nfv 1909 . . 3 𝑥𝑗𝑍 𝐵𝑋
100 nfcv 2891 . . . . 5 𝑗𝑥
101 uzublem.2 . . . . 5 𝑗𝑋
102100, 101nfeq 2905 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
103 breq2 5153 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥𝐵𝑋))
104102, 103ralbid 3260 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋))
10599, 104rspce 3595 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
10631, 98, 105syl2anc 582 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2875  wral 3050  wrex 3059  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232   Or wor 5589  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  supcsup 9465  cr 11139   < clt 11280  cle 11281  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  ..^cfzo 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663
This theorem is referenced by:  uzub  44951
  Copyright terms: Public domain W3C validator