MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ener 8994
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 8941 . 2 Rel ≈
2 bren 8946 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
3 vex 3470 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3470 . . . . 5 𝑥 ∈ V
5 f1ocnv 6836 . . . . 5 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
6 f1oen2g 8961 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
73, 4, 5, 6mp3an12i 1461 . . . 4 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
87exlimiv 1925 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
92, 8sylbi 216 . 2 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
10 bren 8946 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
11 bren 8946 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
12 exdistrv 1951 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
13 vex 3470 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
14 f1oco 6847 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1514ancoms 458 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
16 f1oen2g 8961 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
174, 13, 15, 16mp3an12i 1461 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1817exlimivv 1927 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1912, 18sylbir 234 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2010, 11, 19syl2anb 597 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
214enref 8978 . . 3 𝑥𝑥
224, 212th 264 . 2 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
231, 9, 20, 22iseri 8727 1 ≈ Er V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5139  ccnv 5666  ccom 5671  1-1-ontowf1o 6533   Er wer 8697  cen 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-er 8700  df-en 8937
This theorem is referenced by:  ensymb  8995  entr  8999
  Copyright terms: Public domain W3C validator