MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ener 9015
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 8962 . 2 Rel ≈
2 bren 8967 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
3 vex 3474 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3474 . . . . 5 𝑥 ∈ V
5 f1ocnv 6845 . . . . 5 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
6 f1oen2g 8982 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
73, 4, 5, 6mp3an12i 1462 . . . 4 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
87exlimiv 1926 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
92, 8sylbi 216 . 2 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
10 bren 8967 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
11 bren 8967 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
12 exdistrv 1952 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
13 vex 3474 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
14 f1oco 6856 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1514ancoms 458 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
16 f1oen2g 8982 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
174, 13, 15, 16mp3an12i 1462 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1817exlimivv 1928 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1912, 18sylbir 234 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2010, 11, 19syl2anb 597 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
214enref 8999 . . 3 𝑥𝑥
224, 212th 264 . 2 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
231, 9, 20, 22iseri 8745 1 ≈ Er V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wex 1774  wcel 2099  Vcvv 3470   class class class wbr 5142  ccnv 5671  ccom 5676  1-1-ontowf1o 6541   Er wer 8715  cen 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-er 8718  df-en 8958
This theorem is referenced by:  ensymb  9016  entr  9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator