MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ener 8604
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 8562 . 2 Rel ≈
2 bren 8566 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
3 vex 3402 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3402 . . . . 5 𝑥 ∈ V
5 f1ocnv 6632 . . . . 5 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
6 f1oen2g 8574 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
73, 4, 5, 6mp3an12i 1466 . . . 4 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
87exlimiv 1937 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
92, 8sylbi 220 . 2 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
10 bren 8566 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
11 bren 8566 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
12 exdistrv 1963 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
13 vex 3402 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
14 f1oco 6642 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1514ancoms 462 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
16 f1oen2g 8574 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
174, 13, 15, 16mp3an12i 1466 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1817exlimivv 1939 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1912, 18sylbir 238 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2010, 11, 19syl2anb 601 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
214enref 8590 . . 3 𝑥𝑥
224, 212th 267 . 2 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
231, 9, 20, 22iseri 8349 1 ≈ Er V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  wex 1786  wcel 2114  Vcvv 3398   class class class wbr 5030  ccnv 5524  ccom 5529  1-1-ontowf1o 6338   Er wer 8319  cen 8554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-er 8322  df-en 8558
This theorem is referenced by:  ensymb  8605  entr  8609
  Copyright terms: Public domain W3C validator