MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ener 8787
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 8738 . 2 Rel ≈
2 bren 8743 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
3 vex 3436 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3436 . . . . 5 𝑥 ∈ V
5 f1ocnv 6728 . . . . 5 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
6 f1oen2g 8756 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
73, 4, 5, 6mp3an12i 1464 . . . 4 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
87exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
92, 8sylbi 216 . 2 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
10 bren 8743 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
11 bren 8743 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
12 exdistrv 1959 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
13 vex 3436 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
14 f1oco 6739 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1514ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
16 f1oen2g 8756 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
174, 13, 15, 16mp3an12i 1464 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1817exlimivv 1935 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
1912, 18sylbir 234 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2010, 11, 19syl2anb 598 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
214enref 8773 . . 3 𝑥𝑥
224, 212th 263 . 2 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
231, 9, 20, 22iseri 8525 1 ≈ Er V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  wex 1782  wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ccnv 5588  ccom 5593  1-1-ontowf1o 6432   Er wer 8495  cen 8730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734
This theorem is referenced by:  ensymb  8788  entr  8792
  Copyright terms: Public domain W3C validator