Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prproropen 44086
 Description: The set of proper pairs and the set of ordered ordered pairs, i.e., ordered pairs in which the first component is less than the second component, are equinumerous. (Contributed by AV, 15-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Assertion
Ref Expression
prproropen ((𝑉𝑊𝑅 Or 𝑉) → 𝑂𝑃)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝

Proof of Theorem prproropen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
2 pwexg 5245 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → 𝒫 𝑉 ∈ V)
31, 2rabexd 5201 . . . . 5 (𝑉𝑊𝑃 ∈ V)
43adantr 484 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑅 Or 𝑉) → 𝑃 ∈ V)
54mptexd 6969 . . 3 ((𝑉𝑊𝑅 Or 𝑉) → (𝑝𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) ∈ V)
6 prproropf1o.o . . . . 5 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
7 eqid 2798 . . . . 5 (𝑝𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
86, 1, 7prproropf1o 44085 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 → (𝑝𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃1-1-onto𝑂)
98adantl 485 . . 3 ((𝑉𝑊𝑅 Or 𝑉) → (𝑝𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃1-1-onto𝑂)
10 f1oeq1 6582 . . 3 (𝑓 = (𝑝𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) → (𝑓:𝑃1-1-onto𝑂 ↔ (𝑝𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃1-1-onto𝑂))
115, 9, 10spcedv 3547 . 2 ((𝑉𝑊𝑅 Or 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑂)
12 ensymb 8547 . . 3 (𝑂𝑃𝑃𝑂)
13 bren 8508 . . 3 (𝑃𝑂 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑂)
1412, 13bitri 278 . 2 (𝑂𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑂)
1511, 14sylibr 237 1 ((𝑉𝑊𝑅 Or 𝑉) → 𝑂𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  𝒫 cpw 4497  ⟨cop 4531   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   Or wor 5438   × cxp 5518  –1-1-onto→wf1o 6326  ‘cfv 6327   ≈ cen 8496  supcsup 8895  infcinf 8896  2c2 11687  ♯chash 13693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-hash 13694 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator