Theorem volmeas 33229

Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volmeas	⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 25046	. 2 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2		fvssunirn 6925	. . . . . 6 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ∪ ran sigAlgebra
3		dmvlsiga 33127	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
4	2, 3	sselii 3980	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra
5		0elsiga 33112	. . . . 5 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7		mblvol 25047	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9		ovol0 25010	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
10	8, 9	eqtri 2761	. 2 ⊢ (vol‘∅) = 0
11		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
14		nfdisj1 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
15	13, 14	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
16	12, 15	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
17		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ Fin
18	16, 17	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19		elpwi 4610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
20	19	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
23	22	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ dom vol))
24	18, 23	ralrimi 3255	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
26		uniiun 5062	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
27	26	fveq2i 6895	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∪ 𝑥) = (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
28		volfiniune 33228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
29	27, 28	eqtrid 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
30	11, 24, 25, 29	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
31		bren 8949	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
32		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
33		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(vol‘𝑦)
34		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(vol‘(𝑓‘𝑛))
35		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
36		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
37		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑓
38		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓‘𝑛)))
39		simpl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
41		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑛))
42	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
43	39, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
44	43	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
45	42, 44	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
46	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45	esumf1o 33048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
47	46	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
48	19	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49		f1of 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
50	49	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
51	50	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑥)
52	48, 51	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
53	52	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
54		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
55		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
57		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑛)) → 𝑦 = (𝑓‘𝑛))
58	56, 57	disjrdx 31822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
59	58	biimpar 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
60	54, 55, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
61		voliune 33227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
62	53, 60, 61	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
63		f1ofo 6841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
64	63, 57	iunrdx 31795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
65	64, 26	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑥)
66	65	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
67	66	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
68	47, 62, 67	3eqtr2rd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
69	68	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
70	69	exlimdv 1937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
71	70	imp 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
72	31, 71	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
73		brdom2 8978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
74	73	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75		isfinite2 9301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76		ensymb 8998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77		nnenom 13945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
78		entr 9002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
79	77, 78	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
80	76, 79	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
81	75, 80	orim12i 908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
82	74, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
83	82	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
84	30, 72, 83	mpjaodan 958	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
85	84	ex 414	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
86	85	rgen 3064	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
87		ismeas 33197	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))))
88	4, 87	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))))
89	1, 10, 86, 88	mpbir3an 1342	1 ⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4909  ∪ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ωcom 7855   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939  ℝcr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  ℕcn 12212  [,]cicc 13327  vol*covol 24979  volcvol 24980  Σ^*cesum 33025  sigAlgebracsiga 33106  measurescmeas 33193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-esum 33026  df-siga 33107  df-meas 33194

This theorem is referenced by: (None)