Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmeas 30810
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 23637 . 2 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2 fvssunirn 6440 . . . . . 6 (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ran sigAlgebra
3 dmvlsiga 30708 . . . . . 6 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
42, 3sselii 3795 . . . . 5 dom vol ∈ ran sigAlgebra
5 0elsiga 30693 . . . . 5 (dom vol ∈ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ dom vol
7 mblvol 23638 . . . 4 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9 ovol0 23601 . . 3 (vol*‘∅) = 0
108, 9eqtri 2821 . 2 (vol‘∅) = 0
11 simpr 478 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12 nfv 2010 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13 nfv 2010 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝑥 ≼ ω
14 nfdisj1 4824 . . . . . . . . . 10 𝑦Disj 𝑦𝑥 𝑦
1513, 14nfan 1999 . . . . . . . . 9 𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)
1612, 15nfan 1999 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
17 nfv 2010 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥 ∈ Fin
1816, 17nfan 1999 . . . . . . 7 𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19 elpwi 4359 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
2019ad3antrrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21 simpr 478 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2220, 21sseldd 3799 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
2322ex 402 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ dom vol))
2418, 23ralrimi 3138 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25 simplrr 797 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
26 uniiun 4763 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
2726fveq2i 6414 . . . . . . 7 (vol‘ 𝑥) = (vol‘ 𝑦𝑥 𝑦)
28 volfiniune 30809 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑦𝑥 𝑦) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
2927, 28syl5eq 2845 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
3011, 24, 25, 29syl3anc 1491 . . . . 5 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
31 bren 8204 . . . . . 6 (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
32 nfv 2010 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
33 nfcv 2941 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(vol‘𝑦)
34 nfcv 2941 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(vol‘(𝑓𝑛))
35 nfcv 2941 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
36 nfcv 2941 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
37 nfcv 2941 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑓
38 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓𝑛)))
39 simpl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40 simpr 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
41 eqidd 2800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑛))
421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
4339, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
4443sselda 3798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
4542, 44ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
4632, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45esumf1o 30628 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
4746adantlr 707 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
4819ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49 f1of 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ⟶𝑥)
5049adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
5150ffvelrnda 6585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑥)
5248, 51sseldd 3799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ dom vol)
5352ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ dom vol)
54 simpr 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
55 simplrr 797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
57 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑦 = (𝑓𝑛)) → 𝑦 = (𝑓𝑛))
5856, 57disjrdx 29921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ↔ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
5958biimpar 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
6054, 55, 59syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
61 voliune 30808 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
6253, 60, 61syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
63 f1ofo 6363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ–onto𝑥)
6463, 57iunrdx 29899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑦𝑥 𝑦)
6564, 26syl6eqr 2851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑥)
6665fveq2d 6415 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = (vol‘ 𝑥))
6766adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = (vol‘ 𝑥))
6847, 62, 673eqtr2rd 2840 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
6968ex 402 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
7069exlimdv 2029 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
7170imp 396 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
7231, 71sylan2b 588 . . . . 5 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
73 brdom2 8225 . . . . . . . 8 (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
7473biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75 isfinite2 8460 . . . . . . . 8 (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76 ensymb 8243 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77 nnenom 13034 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
78 entr 8247 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
7977, 78mpan 682 . . . . . . . . 9 (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
8076, 79sylbi 209 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
8175, 80orim12i 933 . . . . . . 7 ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8274, 81syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8382ad2antrl 720 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8430, 72, 83mpjaodan 982 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
8584ex 402 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
8685rgen 3103 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
87 ismeas 30778 . . 3 (dom vol ∈ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))))
884, 87ax-mp 5 . 2 (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))))
891, 10, 86, 88mpbir3an 1442 1 vol ∈ (measures‘dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wral 3089  wss 3769  c0 4115  𝒫 cpw 4349   cuni 4628   ciun 4710  Disj wdisj 4811   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  ran crn 5313  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6878  ωcom 7299  cen 8192  cdom 8193  csdm 8194  Fincfn 8195  cr 10223  0cc0 10224  +∞cpnf 10360  cn 11312  [,]cicc 12427  vol*covol 23570  volcvol 23571  Σ*cesum 30605  sigAlgebracsiga 30686  measurescmeas 30774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137  df-pi 15139  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-ordt 16476  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-ps 17515  df-tsr 17516  df-plusf 17556  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-subrg 19096  df-abv 19135  df-lmod 19183  df-scaf 19184  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-tmd 22204  df-tgp 22205  df-tsms 22258  df-trg 22291  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-nm 22715  df-ngp 22716  df-nrg 22718  df-nlm 22719  df-ii 23008  df-cncf 23009  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-limc 23971  df-dv 23972  df-log 24644  df-esum 30606  df-siga 30687  df-meas 30775
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator