Theorem volmeas 34409

Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volmeas	⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 25498	. 2 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2		fvssunirn 6873	. . . . . 6 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ∪ ran sigAlgebra
3		dmvlsiga 34307	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
4	2, 3	sselii 3932	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra
5		0elsiga 34292	. . . . 5 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7		mblvol 25499	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9		ovol0 25462	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
10	8, 9	eqtri 2760	. 2 ⊢ (vol‘∅) = 0
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
14		nfdisj1 5081	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
15	13, 14	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
16	12, 15	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
17		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ Fin
18	16, 17	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19		elpwi 4563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
20	19	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
23	22	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ dom vol))
24	18, 23	ralrimi 3236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
26		uniiun 5016	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
27	26	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∪ 𝑥) = (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
28		volfiniune 34408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
29	27, 28	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
30	11, 24, 25, 29	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
31		bren 8905	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
32		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
33		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(vol‘𝑦)
34		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(vol‘(𝑓‘𝑛))
35		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
36		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
37		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑓
38		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓‘𝑛)))
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
41		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑛))
42	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
43	39, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
44	43	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
45	42, 44	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
46	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45	esumf1o 34228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
47	46	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
48	19	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49		f1of 6782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
51	50	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑥)
52	48, 51	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
53	52	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
55		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑛)) → 𝑦 = (𝑓‘𝑛))
58	56, 57	disjrdx 32678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
59	58	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
60	54, 55, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
61		voliune 34407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
62	53, 60, 61	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
63		f1ofo 6789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
64	63, 57	iunrdx 32650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
65	64, 26	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑥)
66	65	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
68	47, 62, 67	3eqtr2rd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
69	68	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
70	69	exlimdv 1935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
71	70	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
72	31, 71	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
73		brdom2 8931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
74	73	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75		isfinite2 9210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76		ensymb 8951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77		nnenom 13915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
78		entr 8955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
79	77, 78	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
80	76, 79	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
81	75, 80	orim12i 909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
82	74, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
83	82	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
84	30, 72, 83	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
85	84	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
86	85	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
87		ismeas 34377	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))))
88	4, 87	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))))
89	1, 10, 86, 88	mpbir3an 1343	1 ⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948  Disj wdisj 5067   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ωcom 7818   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℕcn 12157  [,]cicc 13276  vol*covol 25431  volcvol 25432  Σ^*cesum 34205  sigAlgebracsiga 34286  measurescmeas 34373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-ordt 17434  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-plusf 18576  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-abv 20754  df-lmod 20825  df-scaf 20826  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-tmd 24028  df-tgp 24029  df-tsms 24083  df-trg 24116  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-nm 24538  df-ngp 24539  df-nrg 24541  df-nlm 24542  df-ii 24838  df-cncf 24839  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-esum 34206  df-siga 34287  df-meas 34374

This theorem is referenced by: (None)