Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmeas 33298
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas vol ∈ (measuresβ€˜dom vol)

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables 𝑓 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 25053 . 2 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
2 fvssunirn 6924 . . . . . 6 (sigAlgebraβ€˜β„) βŠ† βˆͺ ran sigAlgebra
3 dmvlsiga 33196 . . . . . 6 dom vol ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
42, 3sselii 3979 . . . . 5 dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra
5 0elsiga 33181 . . . . 5 (dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ dom vol)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 βˆ… ∈ dom vol
7 mblvol 25054 . . . 4 (βˆ… ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…)
9 ovol0 25017 . . 3 (vol*β€˜βˆ…) = 0
108, 9eqtri 2760 . 2 (volβ€˜βˆ…) = 0
11 simpr 485 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
12 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol
13 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 π‘₯ β‰Ό Ο‰
14 nfdisj1 5127 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
1513, 14nfan 1902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
1612, 15nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
17 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ Fin
1816, 17nfan 1902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin)
19 elpwi 4609 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
2019ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
21 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
2220, 21sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ dom vol)
2322ex 413 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ dom vol))
2418, 23ralrimi 3254 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
25 simplrr 776 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
26 uniiun 5061 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
2726fveq2i 6894 . . . . . . 7 (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = (volβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
28 volfiniune 33297 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
2927, 28eqtrid 2784 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
3011, 24, 25, 29syl3anc 1371 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
31 bren 8951 . . . . . 6 (β„• β‰ˆ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
32 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛(π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
33 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛(volβ€˜π‘¦)
34 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›))
35 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛π‘₯
36 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛ℕ
37 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛𝑓
38 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (volβ€˜π‘¦) = (volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
39 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
41 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘›))
421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
4339, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
4443sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ dom vol)
4542, 44ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (volβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
4632, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45esumf1o 33117 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4746adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4819ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
49 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
5150ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ π‘₯)
5248, 51sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ dom vol)
5352ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ∈ dom vol)
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
55 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ 𝑦 = (π‘“β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 = (π‘“β€˜π‘›))
5856, 57disjrdx 31860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ↔ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
5958biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
6054, 55, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
61 voliune 33296 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6253, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
63 f1ofo 6840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
6463, 57iunrdx 31833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
6564, 26eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ π‘₯)
6665fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = (volβ€˜βˆͺ π‘₯))
6766adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = (volβ€˜βˆͺ π‘₯))
6847, 62, 673eqtr2rd 2779 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
6968ex 413 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))
7069exlimdv 1936 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))
7170imp 407 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
7231, 71sylan2b 594 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ β„• β‰ˆ π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
73 brdom2 8980 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ (π‘₯ β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ β‰ˆ Ο‰))
7473biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘₯ β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ β‰ˆ Ο‰))
75 isfinite2 9303 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰Ί Ο‰ β†’ π‘₯ ∈ Fin)
76 ensymb 9000 . . . . . . . . 9 (π‘₯ β‰ˆ Ο‰ ↔ Ο‰ β‰ˆ π‘₯)
77 nnenom 13947 . . . . . . . . . 10 β„• β‰ˆ Ο‰
78 entr 9004 . . . . . . . . . 10 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ π‘₯) β†’ β„• β‰ˆ π‘₯)
7977, 78mpan 688 . . . . . . . . 9 (Ο‰ β‰ˆ π‘₯ β†’ β„• β‰ˆ π‘₯)
8076, 79sylbi 216 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰ˆ Ο‰ β†’ β„• β‰ˆ π‘₯)
8175, 80orim12i 907 . . . . . . 7 ((π‘₯ β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ β‰ˆ Ο‰) β†’ (π‘₯ ∈ Fin ∨ β„• β‰ˆ π‘₯))
8274, 81syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘₯ ∈ Fin ∨ β„• β‰ˆ π‘₯))
8382ad2antrl 726 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ Fin ∨ β„• β‰ˆ π‘₯))
8430, 72, 83mpjaodan 957 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
8584ex 413 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))
8685rgen 3063 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
87 ismeas 33266 . . 3 (dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (vol ∈ (measuresβ€˜dom vol) ↔ (vol:dom vol⟢(0[,]+∞) ∧ (volβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))))
884, 87ax-mp 5 . 2 (vol ∈ (measuresβ€˜dom vol) ↔ (vol:dom vol⟢(0[,]+∞) ∧ (volβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))))
891, 10, 86, 88mpbir3an 1341 1 vol ∈ (measuresβ€˜dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939   β‰Ί csdm 8940  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  β„•cn 12214  [,]cicc 13329  vol*covol 24986  volcvol 24987  Ξ£*cesum 33094  sigAlgebracsiga 33175  measurescmeas 33262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-ordt 17449  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-subrg 20321  df-abv 20429  df-lmod 20477  df-scaf 20478  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-tmd 23583  df-tgp 23584  df-tsms 23638  df-trg 23671  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nrg 24101  df-nlm 24102  df-ii 24400  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-esum 33095  df-siga 33176  df-meas 33263
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator