Theorem volmeas 34914

Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volmeas	⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 25859	. 2 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2		fvssunirn 6921	. . . . . 6 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ∪ ran sigAlgebra
3		dmvlsiga 34811	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
4	2, 3	sselii 3906	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra
5		0elsiga 34796	. . . . 5 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7		mblvol 25860	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9		ovol0 25823	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
10	8, 9	eqtri 2783	. 2 ⊢ (vol‘∅) = 0
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13		nfv 1946	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
14		nfdisj1 5083	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
15	13, 14	nfan 1931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
16	12, 15	nfan 1931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
17		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ Fin
18	16, 17	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19		elpwi 4563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
20	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 3910	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
23	22	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ dom vol))
24	18, 23	ralrimi 3260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
26		uniiun 5016	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
27	26	fveq2i 6893	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∪ 𝑥) = (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
28		volfiniune 34913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
29	27, 28	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
30	11, 24, 25, 29	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
31		bren 8991	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
32		nfv 1946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
33		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(vol‘𝑦)
34		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(vol‘(𝑓‘𝑛))
35		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
36		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
37		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑓
38		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓‘𝑛)))
39		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
41		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑛))
42	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
43	39, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
44	43	sselda 3909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
45	42, 44	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
46	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45	esumf1o 34732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
47	46	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
48	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49		f1of 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
51	50	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑥)
52	48, 51	sseldd 3910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
53	52	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
54		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
55		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
56		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
57		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑛)) → 𝑦 = (𝑓‘𝑛))
58	56, 57	disjrdx 33236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
59	58	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
60	54, 55, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
61		voliune 34912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
62	53, 60, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
63		f1ofo 6837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
64	63, 57	iunrdx 33209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
65	64, 26	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑥)
66	65	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
68	47, 62, 67	3eqtr2rd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
69	68	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
70	69	exlimdv 1965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
71	70	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
72	31, 71	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
73		brdom2 9017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
74	73	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75		isfinite2 9298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76		ensymb 9037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77		nnenom 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
78		entr 9041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
79	77, 78	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
80	76, 79	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
81	75, 80	orim12i 922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
82	74, 81	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
83	82	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
84	30, 72, 83	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
85	84	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
86	85	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
87		ismeas 34882	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))))
88	4, 87	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))))
89	1, 10, 86, 88	mpbir3an 1360	1 ⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ωcom 7881   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979   ≺ csdm 8980  Fincfn 8981  ℝcr 11206  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℕcn 12342  [,]cicc 13486  vol*covol 25792  volcvol 25793  Σ^*cesum 34709  sigAlgebracsiga 34790  measurescmeas 34878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cc 10520  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-plusf 18824  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-abv 21075  df-lmod 21146  df-scaf 21147  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-tmd 24400  df-tgp 24401  df-tsms 24455  df-trg 24488  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-nm 24910  df-ngp 24911  df-nrg 24913  df-nlm 24914  df-ii 25207  df-cncf 25208  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-esum 34710  df-siga 34791  df-meas 34879

This theorem is used by: (None)