Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmeas 34232
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 25564 . 2 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2 fvssunirn 6939 . . . . . 6 (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ran sigAlgebra
3 dmvlsiga 34130 . . . . . 6 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
42, 3sselii 3980 . . . . 5 dom vol ∈ ran sigAlgebra
5 0elsiga 34115 . . . . 5 (dom vol ∈ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ dom vol
7 mblvol 25565 . . . 4 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9 ovol0 25528 . . 3 (vol*‘∅) = 0
108, 9eqtri 2765 . 2 (vol‘∅) = 0
11 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝑥 ≼ ω
14 nfdisj1 5124 . . . . . . . . . 10 𝑦Disj 𝑦𝑥 𝑦
1513, 14nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)
1612, 15nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
17 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥 ∈ Fin
1816, 17nfan 1899 . . . . . . 7 𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19 elpwi 4607 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
2019ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2220, 21sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
2322ex 412 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ dom vol))
2418, 23ralrimi 3257 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25 simplrr 778 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
26 uniiun 5058 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
2726fveq2i 6909 . . . . . . 7 (vol‘ 𝑥) = (vol‘ 𝑦𝑥 𝑦)
28 volfiniune 34231 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑦𝑥 𝑦) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
2927, 28eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
3011, 24, 25, 29syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
31 bren 8995 . . . . . 6 (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
32 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
33 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(vol‘𝑦)
34 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(vol‘(𝑓𝑛))
35 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
36 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
37 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑓
38 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓𝑛)))
39 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
41 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑛))
421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
4339, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
4443sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
4542, 44ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
4632, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45esumf1o 34051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
4746adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
4819ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ⟶𝑥)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
5150ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑥)
5248, 51sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ dom vol)
5352ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ dom vol)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
55 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑦 = (𝑓𝑛)) → 𝑦 = (𝑓𝑛))
5856, 57disjrdx 32604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ↔ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
5958biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
6054, 55, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
61 voliune 34230 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
6253, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
63 f1ofo 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ–onto𝑥)
6463, 57iunrdx 32576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑦𝑥 𝑦)
6564, 26eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑥)
6665fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = (vol‘ 𝑥))
6766adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = (vol‘ 𝑥))
6847, 62, 673eqtr2rd 2784 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
6968ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
7069exlimdv 1933 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
7170imp 406 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
7231, 71sylan2b 594 . . . . 5 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
73 brdom2 9022 . . . . . . . 8 (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
7473biimpi 216 . . . . . . 7 (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75 isfinite2 9334 . . . . . . . 8 (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76 ensymb 9042 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77 nnenom 14021 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
78 entr 9046 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
7977, 78mpan 690 . . . . . . . . 9 (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
8076, 79sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
8175, 80orim12i 909 . . . . . . 7 ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8274, 81syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8382ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8430, 72, 83mpjaodan 961 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
8584ex 412 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
8685rgen 3063 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
87 ismeas 34200 . . 3 (dom vol ∈ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))))
884, 87ax-mp 5 . 2 (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))))
891, 10, 86, 88mpbir3an 1342 1 vol ∈ (measures‘dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  cn 12266  [,]cicc 13390  vol*covol 25497  volcvol 25498  Σ*cesum 34028  sigAlgebracsiga 34109  measurescmeas 34196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029  df-siga 34110  df-meas 34197
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator