Theorem volmeas 31600

Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volmeas	⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 24133	. 2 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2		fvssunirn 6674	. . . . . 6 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ∪ ran sigAlgebra
3		dmvlsiga 31498	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
4	2, 3	sselii 3912	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra
5		0elsiga 31483	. . . . 5 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7		mblvol 24134	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9		ovol0 24097	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
10	8, 9	eqtri 2821	. 2 ⊢ (vol‘∅) = 0
11		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
14		nfdisj1 5009	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
15	13, 14	nfan 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
16	12, 15	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
17		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ Fin
18	16, 17	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19		elpwi 4506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
20	19	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
23	22	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ dom vol))
24	18, 23	ralrimi 3180	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
26		uniiun 4945	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
27	26	fveq2i 6648	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∪ 𝑥) = (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
28		volfiniune 31599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
29	27, 28	syl5eq 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
30	11, 24, 25, 29	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
31		bren 8501	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
32		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
33		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(vol‘𝑦)
34		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(vol‘(𝑓‘𝑛))
35		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
36		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
37		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑓
38		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓‘𝑛)))
39		simpl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
41		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑛))
42	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
43	39, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
44	43	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
45	42, 44	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
46	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45	esumf1o 31419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
47	46	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
48	19	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49		f1of 6590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
50	49	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
51	50	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑥)
52	48, 51	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
53	52	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
54		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
55		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
57		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑛)) → 𝑦 = (𝑓‘𝑛))
58	56, 57	disjrdx 30354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
59	58	biimpar 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
60	54, 55, 59	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
61		voliune 31598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
62	53, 60, 61	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
63		f1ofo 6597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
64	63, 57	iunrdx 30327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
65	64, 26	eqtr4di 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑥)
66	65	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
67	66	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
68	47, 62, 67	3eqtr2rd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
69	68	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
70	69	exlimdv 1934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
71	70	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
72	31, 71	sylan2b 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
73		brdom2 8522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
74	73	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75		isfinite2 8760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76		ensymb 8540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77		nnenom 13343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
78		entr 8544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
79	77, 78	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
80	76, 79	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
81	75, 80	orim12i 906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
82	74, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
83	82	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
84	30, 72, 83	mpjaodan 956	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
85	84	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
86	85	rgen 3116	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
87		ismeas 31568	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))))
88	4, 87	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))))
89	1, 10, 86, 88	mpbir3an 1338	1 ⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881  Disj wdisj 4995   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ran crn 5520  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490   ≺ csdm 8491  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℕcn 11625  [,]cicc 12729  vol*covol 24066  volcvol 24067  Σ^*cesum 31396  sigAlgebracsiga 31477  measurescmeas 31564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-lmod 19629  df-scaf 19630  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tmd 22677  df-tgp 22678  df-tsms 22732  df-trg 22765  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-ii 23482  df-cncf 23483  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-esum 31397  df-siga 31478  df-meas 31565

This theorem is referenced by: (None)