Theorem volmeas 34195

Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volmeas	⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 25583	. 2 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2		fvssunirn 6953	. . . . . 6 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ∪ ran sigAlgebra
3		dmvlsiga 34093	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
4	2, 3	sselii 4005	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra
5		0elsiga 34078	. . . . 5 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7		mblvol 25584	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9		ovol0 25547	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
10	8, 9	eqtri 2768	. 2 ⊢ (vol‘∅) = 0
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13		nfv 1913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
14		nfdisj1 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
15	13, 14	nfan 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
16	12, 15	nfan 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
17		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ Fin
18	16, 17	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19		elpwi 4629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
20	19	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 4009	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
23	22	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ dom vol))
24	18, 23	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
26		uniiun 5081	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
27	26	fveq2i 6923	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∪ 𝑥) = (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
28		volfiniune 34194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
29	27, 28	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
30	11, 24, 25, 29	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
31		bren 9013	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
32		nfv 1913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
33		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(vol‘𝑦)
34		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(vol‘(𝑓‘𝑛))
35		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
36		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
37		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑓
38		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓‘𝑛)))
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
41		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑛))
42	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
43	39, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
44	43	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
45	42, 44	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
46	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45	esumf1o 34014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
47	46	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
48	19	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49		f1of 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
51	50	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑥)
52	48, 51	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
53	52	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
55		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑛)) → 𝑦 = (𝑓‘𝑛))
58	56, 57	disjrdx 32613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
59	58	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
60	54, 55, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛))
61		voliune 34193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
62	53, 60, 61	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓‘𝑛)))
63		f1ofo 6869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
64	63, 57	iunrdx 32586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
65	64, 26	eqtr4di 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑥)
66	65	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛)) = (vol‘∪ 𝑥))
68	47, 62, 67	3eqtr2rd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
69	68	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
70	69	exlimdv 1932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥 → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
71	70	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
72	31, 71	sylan2b 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
73		brdom2 9042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
74	73	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75		isfinite2 9362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76		ensymb 9062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77		nnenom 14031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
78		entr 9066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
79	77, 78	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
80	76, 79	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
81	75, 80	orim12i 907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
82	74, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
83	82	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
84	30, 72, 83	mpjaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
85	84	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))
86	85	rgen 3069	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))
87		ismeas 34163	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦)))))
88	4, 87	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (vol‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(vol‘𝑦))))
89	1, 10, 86, 88	mpbir3an 1341	1 ⊢ vol ∈ (measures‘dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ran crn 5701  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℕcn 12293  [,]cicc 13410  vol*covol 25516  volcvol 25517  Σ^*cesum 33991  sigAlgebracsiga 34072  measurescmeas 34159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-abv 20832  df-lmod 20882  df-scaf 20883  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tmd 24101  df-tgp 24102  df-tsms 24156  df-trg 24189  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nrg 24619  df-nlm 24620  df-ii 24922  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-esum 33992  df-siga 34073  df-meas 34160

This theorem is referenced by: (None)