Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmeas 32887
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas vol ∈ (measuresβ€˜dom vol)

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables 𝑓 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 24909 . 2 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
2 fvssunirn 6876 . . . . . 6 (sigAlgebraβ€˜β„) βŠ† βˆͺ ran sigAlgebra
3 dmvlsiga 32785 . . . . . 6 dom vol ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
42, 3sselii 3942 . . . . 5 dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra
5 0elsiga 32770 . . . . 5 (dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ dom vol)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 βˆ… ∈ dom vol
7 mblvol 24910 . . . 4 (βˆ… ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…)
9 ovol0 24873 . . 3 (vol*β€˜βˆ…) = 0
108, 9eqtri 2761 . 2 (volβ€˜βˆ…) = 0
11 simpr 486 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
12 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol
13 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 π‘₯ β‰Ό Ο‰
14 nfdisj1 5085 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
1513, 14nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
1612, 15nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
17 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ Fin
1816, 17nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin)
19 elpwi 4568 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
2019ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
21 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
2220, 21sseldd 3946 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ dom vol)
2322ex 414 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ dom vol))
2418, 23ralrimi 3239 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
25 simplrr 777 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
26 uniiun 5019 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
2726fveq2i 6846 . . . . . . 7 (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = (volβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
28 volfiniune 32886 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
2927, 28eqtrid 2785 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
3011, 24, 25, 29syl3anc 1372 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
31 bren 8896 . . . . . 6 (β„• β‰ˆ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
32 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛(π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
33 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛(volβ€˜π‘¦)
34 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›))
35 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛π‘₯
36 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛ℕ
37 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛𝑓
38 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (volβ€˜π‘¦) = (volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
39 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
41 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘›))
421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
4339, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
4443sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ dom vol)
4542, 44ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (volβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
4632, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45esumf1o 32706 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4746adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4819ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
49 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
5150ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ π‘₯)
5248, 51sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ dom vol)
5352ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ∈ dom vol)
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
55 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯)
57 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ 𝑦 = (π‘“β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 = (π‘“β€˜π‘›))
5856, 57disjrdx 31555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ↔ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
5958biimpar 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
6054, 55, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›))
61 voliune 32885 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6253, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(volβ€˜(π‘“β€˜π‘›)))
63 f1ofo 6792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
6463, 57iunrdx 31528 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
6564, 26eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ π‘₯)
6665fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = (volβ€˜βˆͺ π‘₯))
6766adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›)) = (volβ€˜βˆͺ π‘₯))
6847, 62, 673eqtr2rd 2780 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
6968ex 414 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))
7069exlimdv 1937 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))
7170imp 408 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
7231, 71sylan2b 595 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ β„• β‰ˆ π‘₯) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
73 brdom2 8925 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ (π‘₯ β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ β‰ˆ Ο‰))
7473biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘₯ β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ β‰ˆ Ο‰))
75 isfinite2 9248 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰Ί Ο‰ β†’ π‘₯ ∈ Fin)
76 ensymb 8945 . . . . . . . . 9 (π‘₯ β‰ˆ Ο‰ ↔ Ο‰ β‰ˆ π‘₯)
77 nnenom 13891 . . . . . . . . . 10 β„• β‰ˆ Ο‰
78 entr 8949 . . . . . . . . . 10 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ π‘₯) β†’ β„• β‰ˆ π‘₯)
7977, 78mpan 689 . . . . . . . . 9 (Ο‰ β‰ˆ π‘₯ β†’ β„• β‰ˆ π‘₯)
8076, 79sylbi 216 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰ˆ Ο‰ β†’ β„• β‰ˆ π‘₯)
8175, 80orim12i 908 . . . . . . 7 ((π‘₯ β‰Ί Ο‰ ∨ π‘₯ β‰ˆ Ο‰) β†’ (π‘₯ ∈ Fin ∨ β„• β‰ˆ π‘₯))
8274, 81syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘₯ ∈ Fin ∨ β„• β‰ˆ π‘₯))
8382ad2antrl 727 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ Fin ∨ β„• β‰ˆ π‘₯))
8430, 72, 83mpjaodan 958 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
8584ex 414 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))
8685rgen 3063 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))
87 ismeas 32855 . . 3 (dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (vol ∈ (measuresβ€˜dom vol) ↔ (vol:dom vol⟢(0[,]+∞) ∧ (volβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦)))))
884, 87ax-mp 5 . 2 (vol ∈ (measuresβ€˜dom vol) ↔ (vol:dom vol⟢(0[,]+∞) ∧ (volβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom vol((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(volβ€˜π‘¦))))
891, 10, 86, 88mpbir3an 1342 1 vol ∈ (measuresβ€˜dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  βˆͺ ciun 4955  Disj wdisj 5071   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰ˆ cen 8883   β‰Ό cdom 8884   β‰Ί csdm 8885  Fincfn 8886  β„cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  β„•cn 12158  [,]cicc 13273  vol*covol 24842  volcvol 24843  Ξ£*cesum 32683  sigAlgebracsiga 32764  measurescmeas 32851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-ordt 17388  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-plusf 18501  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-lmod 20338  df-scaf 20339  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32684  df-siga 32765  df-meas 32852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator