MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ercgrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ercgrg 27768
Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ercgrg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ercgrg (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (cgrGβ€˜πΊ) Er (𝑃 ↑pm ℝ))

Proof of Theorem ercgrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑔 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cgrg 27762 . . . 4 cgrG = (𝑔 ∈ V ↦ {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑pm ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘Ž = dom 𝑏 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘Žβˆ€π‘— ∈ dom π‘Ž((π‘Žβ€˜π‘–)(distβ€˜π‘”)(π‘Žβ€˜π‘—)) = ((π‘β€˜π‘–)(distβ€˜π‘”)(π‘β€˜π‘—))))})
21relmptopab 7656 . . 3 Rel (cgrGβ€˜πΊ)
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ Rel (cgrGβ€˜πΊ))
4 ercgrg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
74, 5, 6iscgrg 27763 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—))))))
87biimpa 478 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))))
98simpld 496 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
109ancomd 463 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
118simprd 497 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—))))
1211simpld 496 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
1312eqcomd 2739 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ dom 𝑦 = dom π‘₯)
14 simpl 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ (𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦))
15 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝑦)
1612adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
1715, 16eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑖 ∈ dom π‘₯)
18 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
1918, 16eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ dom π‘₯)
2011simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2120r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2221r19.21bi 3249 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2314, 17, 19, 22syl21anc 837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2423eqcomd 2739 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
2524ralrimivva 3201 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
2613, 25jca 513 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (dom 𝑦 = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))
274, 5, 6iscgrg 27763 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (𝑦(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯ ↔ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))))
2827adantr 482 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (𝑦(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯ ↔ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))))
2910, 26, 28mpbir2and 712 . 2 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯)
309simpld 496 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
3130adantrr 716 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
324, 5, 6iscgrg 27763 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧 ↔ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))))
3332biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))))
3433adantrl 715 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))))
3534simpld 496 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
3635simprd 497 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
3731, 36jca 513 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
388adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))))
3938simprd 497 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—))))
4039simpld 496 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
4134simprd 497 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))
4241simpld 496 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ dom 𝑦 = dom 𝑧)
4340, 42eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑧)
4439simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
4544r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
4645r19.21bi 3249 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
4746anasss 468 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
48 simpl 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ (𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)))
49 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑖 ∈ dom π‘₯)
5040adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
5149, 50eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝑦)
52 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑗 ∈ dom π‘₯)
5352, 50eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
5441simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5554r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5655r19.21bi 3249 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5748, 51, 53, 56syl21anc 837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5847, 57eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5958ralrimivva 3201 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
6043, 59jca 513 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (dom π‘₯ = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))
614, 5, 6iscgrg 27763 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))))
6261adantr 482 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))))
6337, 60, 62mpbir2and 712 . 2 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)
64 pm4.24 565 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
65 eqid 2733 . . . . . 6 dom π‘₯ = dom π‘₯
66 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
6766rgen2 3198 . . . . . 6 βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))
6865, 67pm3.2i 472 . . . . 5 (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
6968biantru 531 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))))
7064, 69bitri 275 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))))
714, 5, 6iscgrg 27763 . . 3 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯ ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))))
7270, 71bitr4id 290 . 2 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ↔ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯))
733, 29, 63, 72iserd 8729 1 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (cgrGβ€˜πΊ) Er (𝑃 ↑pm ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700   ↑pm cpm 8821  β„cr 11109  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  cgrGccgrg 27761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-cgrg 27762
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator