MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ercgrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ercgrg 28023
Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ercgrg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ercgrg (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (cgrGβ€˜πΊ) Er (𝑃 ↑pm ℝ))

Proof of Theorem ercgrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑔 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cgrg 28017 . . . 4 cgrG = (𝑔 ∈ V ↦ {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑pm ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘Ž = dom 𝑏 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘Žβˆ€π‘— ∈ dom π‘Ž((π‘Žβ€˜π‘–)(distβ€˜π‘”)(π‘Žβ€˜π‘—)) = ((π‘β€˜π‘–)(distβ€˜π‘”)(π‘β€˜π‘—))))})
21relmptopab 7658 . . 3 Rel (cgrGβ€˜πΊ)
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ Rel (cgrGβ€˜πΊ))
4 ercgrg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
74, 5, 6iscgrg 28018 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—))))))
87biimpa 477 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))))
98simpld 495 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
109ancomd 462 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
118simprd 496 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—))))
1211simpld 495 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
1312eqcomd 2738 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ dom 𝑦 = dom π‘₯)
14 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ (𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦))
15 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝑦)
1612adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
1715, 16eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑖 ∈ dom π‘₯)
18 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
1918, 16eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ 𝑗 ∈ dom π‘₯)
2011simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2120r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2221r19.21bi 3248 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2314, 17, 19, 22syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
2423eqcomd 2738 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑦 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
2524ralrimivva 3200 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
2613, 25jca 512 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (dom 𝑦 = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))
274, 5, 6iscgrg 28018 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (𝑦(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯ ↔ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))))
2827adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ (𝑦(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯ ↔ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))))
2910, 26, 28mpbir2and 711 . 2 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯)
309simpld 495 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
3130adantrr 715 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
324, 5, 6iscgrg 28018 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧 ↔ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))))
3332biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))))
3433adantrl 714 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))))
3534simpld 495 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
3635simprd 496 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
3731, 36jca 512 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
388adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))))
3938simprd 496 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (dom π‘₯ = dom 𝑦 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—))))
4039simpld 495 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
4134simprd 496 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (dom 𝑦 = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))
4241simpld 495 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ dom 𝑦 = dom 𝑧)
4340, 42eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑧)
4439simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
4544r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
4645r19.21bi 3248 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
4746anasss 467 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)))
48 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ (𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)))
49 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑖 ∈ dom π‘₯)
5040adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ dom π‘₯ = dom 𝑦)
5149, 50eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝑦)
52 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑗 ∈ dom π‘₯)
5352, 50eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
5441simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘¦βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5554r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ dom 𝑦((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5655r19.21bi 3248 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑦) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5748, 51, 53, 56syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘¦β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5847, 57eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) ∧ (𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
5958ralrimivva 3200 . . . 4 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—)))
6043, 59jca 512 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (dom π‘₯ = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))
614, 5, 6iscgrg 28018 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))))
6261adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom 𝑧 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘§β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘§β€˜π‘—))))))
6337, 60, 62mpbir2and 711 . 2 ((𝐺 ∈ TarskiG ∧ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑦 ∧ 𝑦(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)) β†’ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)𝑧)
64 pm4.24 564 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
65 eqid 2732 . . . . . 6 dom π‘₯ = dom π‘₯
66 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ dom π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ dom π‘₯) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
6766rgen2 3197 . . . . . 6 βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))
6865, 67pm3.2i 471 . . . . 5 (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))
6968biantru 530 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))))
7064, 69bitri 274 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)))))
714, 5, 6iscgrg 28018 . . 3 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯ ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom π‘₯ = dom π‘₯ ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π‘₯βˆ€π‘— ∈ dom π‘₯((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—)) = ((π‘₯β€˜π‘–)(distβ€˜πΊ)(π‘₯β€˜π‘—))))))
7270, 71bitr4id 289 . 2 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ↔ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)π‘₯))
733, 29, 63, 72iserd 8731 1 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (cgrGβ€˜πΊ) Er (𝑃 ↑pm ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Rel wrel 5681  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   Er wer 8702   ↑pm cpm 8823  β„cr 11111  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27933  cgrGccgrg 28016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-er 8705  df-cgrg 28017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator