Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trgcgr 26308
 Description: Triangle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcgrg.m = (dist‘𝐺)
trgcgrg.r = (cgrG‘𝐺)
trgcgrg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
trgcgrg.a (𝜑𝐴𝑃)
trgcgrg.b (𝜑𝐵𝑃)
trgcgrg.c (𝜑𝐶𝑃)
trgcgrg.d (𝜑𝐷𝑃)
trgcgrg.e (𝜑𝐸𝑃)
trgcgrg.f (𝜑𝐹𝑃)
trgcgr.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
trgcgr.2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
trgcgr.3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
Assertion
Ref Expression
trgcgr (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem trgcgr
StepHypRef Expression
1 trgcgr.1 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
2 trgcgr.2 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
3 trgcgr.3 . 2 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
4 trgcgrg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 trgcgrg.m . . 3 = (dist‘𝐺)
6 trgcgrg.r . . 3 = (cgrG‘𝐺)
7 trgcgrg.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 trgcgrg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 trgcgrg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
10 trgcgrg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
11 trgcgrg.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
12 trgcgrg.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
13 trgcgrg.f . . 3 (𝜑𝐹𝑃)
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13trgcgrg 26307 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))))
151, 2, 3, 14mpbir3and 1339 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ⟨“cs3 14195  Basecbs 16474  distcds 16565  TarskiGcstrkg 26222  cgrGccgrg 26302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26240  df-trkgcb 26242  df-trkg 26245  df-cgrg 26303 This theorem is referenced by:  tgcgrxfr  26310  cgr3id  26311  cgr3swap12  26315  cgr3swap23  26316  trgcgrcom  26320  cgr3tr  26321  motcgr3  26337  lnext  26359  mirbtwni  26463  mirtrcgr  26475  symquadlem  26481  midexlem  26484  footexALT  26510  footexlem1  26511  footexlem2  26512  trgcopy  26596  cgracgr  26610  cgraswap  26612  cgracom  26614  cgratr  26615  flatcgra  26616  dfcgra2  26622  tgsas  26647  tgasa1  26650  tgsss1  26652  iseqlgd  26660
 Copyright terms: Public domain W3C validator