MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expval 14029
Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))

Proof of Theorem expval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘)
21eqeq1d 2735 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†” ๐‘ = 0))
31breq2d 5161 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (0 < ๐‘ฆ โ†” 0 < ๐‘))
4 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
54sneqd 4641 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ {๐‘ฅ} = {๐ด})
65xpeq2d 5707 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (โ„• ร— {๐‘ฅ}) = (โ„• ร— {๐ด}))
76seqeq3d 13974 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด})))
87, 1fveq12d 6899 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
91negeqd 11454 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ -๐‘ฆ = -๐‘)
107, 9fveq12d 6899 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))
1110oveq2d 7425 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))
123, 8, 11ifbieq12d 4557 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ))) = if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))))
132, 12ifbieq2d 4555 . 2 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ if(๐‘ฆ = 0, 1, if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)))) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
14 df-exp 14028 . 2 โ†‘ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, 1, if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)))))
15 1ex 11210 . . 3 1 โˆˆ V
16 fvex 6905 . . . 4 (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) โˆˆ V
17 ovex 7442 . . . 4 (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)) โˆˆ V
1816, 17ifex 4579 . . 3 if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))) โˆˆ V
1915, 18ifex 4579 . 2 if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))) โˆˆ V
2013, 14, 19ovmpoa 7563 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-1cn 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-neg 11447  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  expnnval  14030  exp0  14031  expneg  14035
  Copyright terms: Public domain W3C validator