MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expval 14028
Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))

Proof of Theorem expval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘)
21eqeq1d 2734 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†” ๐‘ = 0))
31breq2d 5160 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (0 < ๐‘ฆ โ†” 0 < ๐‘))
4 simpl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
54sneqd 4640 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ {๐‘ฅ} = {๐ด})
65xpeq2d 5706 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (โ„• ร— {๐‘ฅ}) = (โ„• ร— {๐ด}))
76seqeq3d 13973 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด})))
87, 1fveq12d 6898 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
91negeqd 11453 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ -๐‘ฆ = -๐‘)
107, 9fveq12d 6898 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))
1110oveq2d 7424 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))
123, 8, 11ifbieq12d 4556 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ))) = if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))))
132, 12ifbieq2d 4554 . 2 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ if(๐‘ฆ = 0, 1, if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)))) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
14 df-exp 14027 . 2 โ†‘ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, 1, if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)))))
15 1ex 11209 . . 3 1 โˆˆ V
16 fvex 6904 . . . 4 (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) โˆˆ V
17 ovex 7441 . . . 4 (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)) โˆˆ V
1816, 17ifex 4578 . . 3 if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))) โˆˆ V
1915, 18ifex 4578 . 2 if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))) โˆˆ V
2013, 14, 19ovmpoa 7562 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11247  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ„คcz 12557  seqcseq 13965  โ†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-1cn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-neg 11446  df-seq 13966  df-exp 14027
This theorem is referenced by:  expnnval  14029  exp0  14030  expneg  14034
  Copyright terms: Public domain W3C validator