MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expval 14052
Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))

Proof of Theorem expval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘)
21eqeq1d 2729 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†” ๐‘ = 0))
31breq2d 5154 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (0 < ๐‘ฆ โ†” 0 < ๐‘))
4 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
54sneqd 4636 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ {๐‘ฅ} = {๐ด})
65xpeq2d 5702 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (โ„• ร— {๐‘ฅ}) = (โ„• ร— {๐ด}))
76seqeq3d 13998 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด})))
87, 1fveq12d 6898 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
91negeqd 11476 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ -๐‘ฆ = -๐‘)
107, 9fveq12d 6898 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))
1110oveq2d 7430 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))
123, 8, 11ifbieq12d 4552 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ))) = if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))))
132, 12ifbieq2d 4550 . 2 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ if(๐‘ฆ = 0, 1, if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)))) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
14 df-exp 14051 . 2 โ†‘ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, 1, if(0 < ๐‘ฆ, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘ฆ), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘ฆ)))))
15 1ex 11232 . . 3 1 โˆˆ V
16 fvex 6904 . . . 4 (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) โˆˆ V
17 ovex 7447 . . . 4 (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)) โˆˆ V
1816, 17ifex 4574 . . 3 if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))) โˆˆ V
1915, 18ifex 4574 . 2 if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))) โˆˆ V
2013, 14, 19ovmpoa 7570 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135   < clt 11270  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  โ„คcz 12580  seqcseq 13990  โ†‘cexp 14050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-1cn 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-neg 11469  df-seq 13991  df-exp 14051
This theorem is referenced by:  expnnval  14053  exp0  14054  expneg  14058
  Copyright terms: Public domain W3C validator