Theorem exp0 14037

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14038), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14035	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4498	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℤcz 12536  seqcseq 13973  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-neg 11415  df-z 12537  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14038  expp1  14040  expneg  14041  expcllem  14044  mulexp  14073  expadd  14076  expmul  14079  exp0d  14112  leexp1a  14147  exple1  14149  bernneq  14201  modexp  14210  faclbnd4lem1  14265  faclbnd4lem3  14267  faclbnd4lem4  14268  cjexp  15123  absexp  15277  binom  15803  incexclem  15809  incexc  15810  climcndslem1  15822  pwdif  15841  fprodconst  15951  fallfac0  16001  bpoly0  16023  ege2le3  16063  eft0val  16087  demoivreALT  16176  pwp1fsum  16368  bits0  16405  0bits  16416  bitsinv1  16419  sadcadd  16435  smumullem  16469  numexp0  17053  psgnunilem4  19434  psgn0fv0  19448  psgnsn  19457  psgnprfval1  19459  cnfldexp  21323  expmhm  21360  expcn  24770  expcnOLD  24772  iblcnlem1  25696  itgcnlem  25698  dvexp  25864  dvexp2  25865  plyconst  26118  0dgr  26157  0dgrb  26158  aaliou3lem2  26258  cxp0  26586  1cubr  26759  log2ublem3  26865  basellem2  26999  basellem5  27002  lgsquad2lem2  27303  0dp2dp  32836  fldext2chn  33725  oddpwdc  34352  breprexp  34631  subfacval2  35181  fwddifn0  36159  stoweidlem19  46024  fmtno0  47545  bits0ALTV  47684  0dig2nn0e  48605  0dig2nn0o  48606  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  nn0sumshdiglem1  48614  nn0sumshdiglem2  48615