Theorem exp0 14027

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14028), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12535	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14025	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4473	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  {csn 4567   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℤcz 12524  seqcseq 13963  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-neg 11380  df-z 12525  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14028  expp1  14030  expneg  14031  expcllem  14034  mulexp  14063  expadd  14066  expmul  14069  exp0d  14102  leexp1a  14137  exple1  14139  bernneq  14191  modexp  14200  faclbnd4lem1  14255  faclbnd4lem3  14257  faclbnd4lem4  14258  cjexp  15112  absexp  15266  binom  15795  incexclem  15801  incexc  15802  climcndslem1  15814  pwdif  15833  fprodconst  15943  fallfac0  15993  bpoly0  16015  ege2le3  16055  eft0val  16079  demoivreALT  16168  pwp1fsum  16360  bits0  16397  0bits  16408  bitsinv1  16411  sadcadd  16427  smumullem  16461  numexp0  17046  psgnunilem4  19472  psgn0fv0  19486  psgnsn  19495  psgnprfval1  19497  cnfldexp  21385  expmhm  21416  expcn  24839  iblcnlem1  25755  itgcnlem  25757  dvexp  25920  dvexp2  25921  plyconst  26171  0dgr  26210  0dgrb  26211  aaliou3lem2  26309  cxp0  26634  1cubr  26806  log2ublem3  26912  basellem2  27045  basellem5  27048  lgsquad2lem2  27348  0dp2dp  32968  fldext2chn  33872  oddpwdc  34498  breprexp  34777  subfacval2  35369  fwddifn0  36346  stoweidlem19  46447  fmtno0  48003  bits0ALTV  48155  0dig2nn0e  49088  0dig2nn0o  49089  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096  nn0sumshdiglem1  49097  nn0sumshdiglem2  49098