Theorem exp0 14002

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14003), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12513	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4488	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5632  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045   < clt 11180  -cneg 11379   / cdiv 11808  ℕcn 12159  ℤcz 12502  seqcseq 13938  ↑cexp 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-1cn 11098  ax-addrcl 11101  ax-rnegex 11111  ax-cnre 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-neg 11381  df-z 12503  df-seq 13939  df-exp 13999

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14003  expp1  14005  expneg  14006  expcllem  14009  mulexp  14038  expadd  14041  expmul  14044  exp0d  14077  leexp1a  14112  exple1  14114  bernneq  14166  modexp  14175  faclbnd4lem1  14230  faclbnd4lem3  14232  faclbnd4lem4  14233  cjexp  15087  absexp  15241  binom  15767  incexclem  15773  incexc  15774  climcndslem1  15786  pwdif  15805  fprodconst  15915  fallfac0  15965  bpoly0  15987  ege2le3  16027  eft0val  16051  demoivreALT  16140  pwp1fsum  16332  bits0  16369  0bits  16380  bitsinv1  16383  sadcadd  16399  smumullem  16433  numexp0  17017  psgnunilem4  19443  psgn0fv0  19457  psgnsn  19466  psgnprfval1  19468  cnfldexp  21376  expmhm  21408  expcn  24836  expcnOLD  24838  iblcnlem1  25762  itgcnlem  25764  dvexp  25930  dvexp2  25931  plyconst  26184  0dgr  26223  0dgrb  26224  aaliou3lem2  26324  cxp0  26652  1cubr  26825  log2ublem3  26931  basellem2  27065  basellem5  27068  lgsquad2lem2  27369  0dp2dp  33007  fldext2chn  33912  oddpwdc  34538  breprexp  34817  subfacval2  35409  fwddifn0  36386  stoweidlem19  46406  fmtno0  47929  bits0ALTV  48068  0dig2nn0e  49001  0dig2nn0o  49002  nn0sumshdiglemA  49008  nn0sumshdiglemB  49009  nn0sumshdiglem1  49010  nn0sumshdiglem2  49011