Theorem exp0 14102

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14103), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12621	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4537	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  -cneg 11490   / cdiv 11917  ℕcn 12263  ℤcz 12610  seqcseq 14038  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-neg 11492  df-z 12611  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14103  expp1  14105  expneg  14106  expcllem  14109  mulexp  14138  expadd  14141  expmul  14144  exp0d  14176  leexp1a  14211  exple1  14212  bernneq  14264  modexp  14273  faclbnd4lem1  14328  faclbnd4lem3  14330  faclbnd4lem4  14331  cjexp  15185  absexp  15339  binom  15862  incexclem  15868  incexc  15869  climcndslem1  15881  pwdif  15900  fprodconst  16010  fallfac0  16060  bpoly0  16082  ege2le3  16122  eft0val  16144  demoivreALT  16233  pwp1fsum  16424  bits0  16461  0bits  16472  bitsinv1  16475  sadcadd  16491  smumullem  16525  numexp0  17109  psgnunilem4  19529  psgn0fv0  19543  psgnsn  19552  psgnprfval1  19554  cnfldexp  21434  expmhm  21471  expcn  24909  expcnOLD  24911  iblcnlem1  25837  itgcnlem  25839  dvexp  26005  dvexp2  26006  plyconst  26259  0dgr  26298  0dgrb  26299  aaliou3lem2  26399  cxp0  26726  1cubr  26899  log2ublem3  27005  basellem2  27139  basellem5  27142  lgsquad2lem2  27443  0dp2dp  32875  fldext2chn  33733  oddpwdc  34335  breprexp  34626  subfacval2  35171  fwddifn0  36145  stoweidlem19  45974  fmtno0  47464  bits0ALTV  47603  0dig2nn0e  48461  0dig2nn0o  48462  nn0sumshdiglemA  48468  nn0sumshdiglemB  48469  nn0sumshdiglem1  48470  nn0sumshdiglem2  48471