Theorem exp0 13429

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11980	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 13427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4432	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2849	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425  {csn 4525   class class class wbr 5030   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤcz 11969  seqcseq 13364  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-neg 10862  df-z 11970  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  0exp0e1  13430  expp1  13432  expneg  13433  expcllem  13436  mulexp  13464  expadd  13467  expmul  13470  exp0d  13500  leexp1a  13535  exple1  13536  bernneq  13586  modexp  13595  faclbnd4lem1  13649  faclbnd4lem3  13651  faclbnd4lem4  13652  cjexp  14501  absexp  14656  binom  15177  incexclem  15183  incexc  15184  climcndslem1  15196  pwdif  15215  fprodconst  15324  fallfac0  15374  bpoly0  15396  ege2le3  15435  eft0val  15457  demoivreALT  15546  pwp1fsum  15732  bits0  15767  0bits  15778  bitsinv1  15781  sadcadd  15797  smumullem  15831  numexp0  16402  psgnunilem4  18617  psgn0fv0  18631  psgnsn  18640  psgnprfval1  18642  cnfldexp  20124  expmhm  20160  expcn  23477  iblcnlem1  24391  itgcnlem  24393  dvexp  24556  dvexp2  24557  plyconst  24803  0dgr  24842  0dgrb  24843  aaliou3lem2  24939  cxp0  25261  1cubr  25428  log2ublem3  25534  basellem2  25667  basellem5  25670  lgsquad2lem2  25969  0dp2dp  30611  oddpwdc  31722  breprexp  32014  subfacval2  32547  fwddifn0  33738  stoweidlem19  42661  fmtno0  44057  bits0ALTV  44197  0dig2nn0e  45026  0dig2nn0o  45027  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034  nn0sumshdiglem1  45035  nn0sumshdiglem2  45036