Theorem exp0 14103

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14104), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12603	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4495	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4488  {csn 4590   class class class wbr 5110   × cxp 5661  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   < clt 11244  -cneg 11443   / cdiv 11872  ℕcn 12234  ℤcz 12592  seqcseq 14039  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-1cn 11159  ax-addrcl 11162  ax-rnegex 11172  ax-cnre 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-neg 11445  df-z 12593  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14104  expp1  14106  expneg  14107  expcllem  14110  mulexp  14139  expadd  14142  expmul  14145  exp0d  14178  leexp1a  14213  exple1  14215  bernneq  14267  modexp  14276  faclbnd4lem1  14331  faclbnd4lem3  14333  faclbnd4lem4  14334  cjexp  15203  absexp  15357  binom  15886  incexclem  15892  incexc  15893  climcndslem1  15905  pwdif  15924  fprodconst  16034  fallfac0  16083  bpoly0  16105  ege2le3  16145  eft0val  16169  demoivreALT  16258  pwp1fsum  16450  bits0  16487  0bits  16498  bitsinv1  16501  sadcadd  16517  smumullem  16551  numexp0  17136  psgnunilem4  19568  psgn0fv0  19582  psgnsn  19591  psgnprfval1  19593  cnfldexp  21536  expmhm  21567  expcn  25012  iblcnlem1  25928  itgcnlem  25930  dvexp  26093  dvexp2  26094  plyconst  26344  0dgr  26383  0dgrb  26384  aaliou3lem2  26485  cxp0  26813  1cubr  26985  log2ublem3  27091  basellem2  27224  basellem5  27227  lgsquad2lem2  27527  0dp2dp  33206  fldext2chn  34096  oddpwdc  34722  breprexp  34998  subfacval2  35657  fwddifn0  36634  stoweidlem19  46713  fmtno0  48269  bits0ALTV  48421  0dig2nn0e  49369  0dig2nn0o  49370  nn0sumshdiglemA  49376  nn0sumshdiglemB  49377  nn0sumshdiglem1  49378  nn0sumshdiglem2  49379