Theorem exp0 14235

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14236), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12731	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -0)))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -0)))))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4492	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   < clt 11370   -cneg 11569   / cdiv 12000  ℕcn 12362  ℤcz 12720  seqcseq 14171  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-1cn 11285  ax-addrcl 11288  ax-rnegex 11298  ax-cnre 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-neg 11571  df-z 12721  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  0exp0e1  14236  expp1  14238  expneg  14239  expcllem  14242  mulexp  14271  expadd  14274  expmul  14277  exp0d  14310  leexp1a  14345  exple1  14347  bernneq  14400  modexp  14409  faclbnd4lem1  14464  faclbnd4lem3  14466  faclbnd4lem4  14467  cjexp  15346  absexp  15500  binom  16028  incexclem  16034  incexc  16035  climcndslem1  16047  pwdif  16066  fprodconst  16174  fallfac0  16223  bpoly0  16245  ege2le3  16285  eft0val  16309  demoivreALT  16398  pwp1fsum  16590  bits0  16627  0bits  16638  bitsinv1  16641  sadcadd  16657  smumullem  16691  numexp0  17282  psgnunilem4  19741  psgn0fv0  19755  psgnsn  19764  psgnprfval1  19766  cnfldexp  21741  expmhm  21772  expcn  25223  iblcnlem1  26138  itgcnlem  26140  dvexp  26303  dvexp2  26304  plyconst  26554  0dgr  26594  0dgrb  26595  aaliou3lem2  26700  cxp0  27028  1cubr  27200  log2ublem3  27306  basellem2  27439  basellem5  27442  lgsquad2lem2  27742  0dp2dp  33545  fldext2chn  34430  oddpwdc  35056  breprexp  35332  subfacval2  36119  fwddifn0  37107  stoweidlem19  47234  fmtno0  48830  bits0ALTV  48982  0dig2nn0e  49929  0dig2nn0o  49930  nn0sumshdiglemA  49936  nn0sumshdiglemB  49937  nn0sumshdiglem1  49938  nn0sumshdiglem2  49939