Theorem exp0 13990

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 13991), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12500	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 13988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4485	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168  -cneg 11366   / cdiv 11795  ℕcn 12146  ℤcz 12489  seqcseq 13926  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-neg 11368  df-z 12490  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  0exp0e1  13991  expp1  13993  expneg  13994  expcllem  13997  mulexp  14026  expadd  14029  expmul  14032  exp0d  14065  leexp1a  14100  exple1  14102  bernneq  14154  modexp  14163  faclbnd4lem1  14218  faclbnd4lem3  14220  faclbnd4lem4  14221  cjexp  15075  absexp  15229  binom  15755  incexclem  15761  incexc  15762  climcndslem1  15774  pwdif  15793  fprodconst  15903  fallfac0  15953  bpoly0  15975  ege2le3  16015  eft0val  16039  demoivreALT  16128  pwp1fsum  16320  bits0  16357  0bits  16368  bitsinv1  16371  sadcadd  16387  smumullem  16421  numexp0  17005  psgnunilem4  19394  psgn0fv0  19408  psgnsn  19417  psgnprfval1  19419  cnfldexp  21329  expmhm  21361  expcn  24779  expcnOLD  24781  iblcnlem1  25705  itgcnlem  25707  dvexp  25873  dvexp2  25874  plyconst  26127  0dgr  26166  0dgrb  26167  aaliou3lem2  26267  cxp0  26595  1cubr  26768  log2ublem3  26874  basellem2  27008  basellem5  27011  lgsquad2lem2  27312  0dp2dp  32862  fldext2chn  33694  oddpwdc  34321  breprexp  34600  subfacval2  35159  fwddifn0  36137  stoweidlem19  46001  fmtno0  47525  bits0ALTV  47664  0dig2nn0e  48598  0dig2nn0o  48599  nn0sumshdiglemA  48605  nn0sumshdiglemB  48606  nn0sumshdiglem1  48607  nn0sumshdiglem2  48608