Theorem exp0 13714

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 13715) , following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 13712	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4463	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  seqcseq 13649  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-neg 11138  df-z 12250  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  0exp0e1  13715  expp1  13717  expneg  13718  expcllem  13721  mulexp  13750  expadd  13753  expmul  13756  exp0d  13786  leexp1a  13821  exple1  13822  bernneq  13872  modexp  13881  faclbnd4lem1  13935  faclbnd4lem3  13937  faclbnd4lem4  13938  cjexp  14789  absexp  14944  binom  15470  incexclem  15476  incexc  15477  climcndslem1  15489  pwdif  15508  fprodconst  15616  fallfac0  15666  bpoly0  15688  ege2le3  15727  eft0val  15749  demoivreALT  15838  pwp1fsum  16028  bits0  16063  0bits  16074  bitsinv1  16077  sadcadd  16093  smumullem  16127  numexp0  16705  psgnunilem4  19020  psgn0fv0  19034  psgnsn  19043  psgnprfval1  19045  cnfldexp  20543  expmhm  20579  expcn  23941  iblcnlem1  24857  itgcnlem  24859  dvexp  25022  dvexp2  25023  plyconst  25272  0dgr  25311  0dgrb  25312  aaliou3lem2  25408  cxp0  25730  1cubr  25897  log2ublem3  26003  basellem2  26136  basellem5  26139  lgsquad2lem2  26438  0dp2dp  31085  oddpwdc  32221  breprexp  32513  subfacval2  33049  fwddifn0  34393  stoweidlem19  43450  fmtno0  44880  bits0ALTV  45019  0dig2nn0e  45846  0dig2nn0o  45847  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854  nn0sumshdiglem1  45855  nn0sumshdiglem2  45856