Theorem exp0 14083

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14084), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12599	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4507	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500  {csn 4601   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   < clt 11269  -cneg 11467   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℤcz 12588  seqcseq 14019  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-1cn 11187  ax-addrcl 11190  ax-rnegex 11200  ax-cnre 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-neg 11469  df-z 12589  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14084  expp1  14086  expneg  14087  expcllem  14090  mulexp  14119  expadd  14122  expmul  14125  exp0d  14158  leexp1a  14193  exple1  14195  bernneq  14247  modexp  14256  faclbnd4lem1  14311  faclbnd4lem3  14313  faclbnd4lem4  14314  cjexp  15169  absexp  15323  binom  15846  incexclem  15852  incexc  15853  climcndslem1  15865  pwdif  15884  fprodconst  15994  fallfac0  16044  bpoly0  16066  ege2le3  16106  eft0val  16130  demoivreALT  16219  pwp1fsum  16410  bits0  16447  0bits  16458  bitsinv1  16461  sadcadd  16477  smumullem  16511  numexp0  17095  psgnunilem4  19478  psgn0fv0  19492  psgnsn  19501  psgnprfval1  19503  cnfldexp  21367  expmhm  21404  expcn  24814  expcnOLD  24816  iblcnlem1  25741  itgcnlem  25743  dvexp  25909  dvexp2  25910  plyconst  26163  0dgr  26202  0dgrb  26203  aaliou3lem2  26303  cxp0  26631  1cubr  26804  log2ublem3  26910  basellem2  27044  basellem5  27047  lgsquad2lem2  27348  0dp2dp  32883  fldext2chn  33762  oddpwdc  34386  breprexp  34665  subfacval2  35209  fwddifn0  36182  stoweidlem19  46048  fmtno0  47554  bits0ALTV  47693  0dig2nn0e  48592  0dig2nn0o  48593  nn0sumshdiglemA  48599  nn0sumshdiglemB  48600  nn0sumshdiglem1  48601  nn0sumshdiglem2  48602