Theorem exp0 14075

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14076), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12576	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4486	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4479  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   < clt 11213  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℕcn 12207  ℤcz 12565  seqcseq 14011  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-1cn 11128  ax-addrcl 11131  ax-rnegex 11141  ax-cnre 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-neg 11414  df-z 12566  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14076  expp1  14078  expneg  14079  expcllem  14082  mulexp  14111  expadd  14114  expmul  14117  exp0d  14150  leexp1a  14185  exple1  14187  bernneq  14239  modexp  14248  faclbnd4lem1  14303  faclbnd4lem3  14305  faclbnd4lem4  14306  cjexp  15160  absexp  15314  binom  15843  incexclem  15849  incexc  15850  climcndslem1  15862  pwdif  15881  fprodconst  15991  fallfac0  16041  bpoly0  16063  ege2le3  16103  eft0val  16127  demoivreALT  16216  pwp1fsum  16408  bits0  16445  0bits  16456  bitsinv1  16459  sadcadd  16475  smumullem  16509  numexp0  17094  psgnunilem4  19520  psgn0fv0  19534  psgnsn  19543  psgnprfval1  19545  cnfldexp  21437  expmhm  21468  expcn  24914  iblcnlem1  25830  itgcnlem  25832  dvexp  25995  dvexp2  25996  plyconst  26246  0dgr  26285  0dgrb  26286  aaliou3lem2  26384  cxp0  26712  1cubr  26884  log2ublem3  26990  basellem2  27123  basellem5  27126  lgsquad2lem2  27426  0dp2dp  33047  fldext2chn  33986  oddpwdc  34612  breprexp  34891  subfacval2  35501  fwddifn0  36478  stoweidlem19  46557  fmtno0  48113  bits0ALTV  48265  0dig2nn0e  49198  0dig2nn0o  49199  nn0sumshdiglemA  49205  nn0sumshdiglemB  49206  nn0sumshdiglem1  49207  nn0sumshdiglem2  49208