MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp0 13083
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
exp0 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0
StepHypRef Expression
1 0z 11650 . . 3 0 ∈ ℤ
2 expval 13081 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
31, 2mpan2 674 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4 eqid 2806 . . 3 0 = 0
54iftruei 4286 . 2 if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
63, 5syl6eq 2856 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  ifcif 4279  {csn 4370   class class class wbr 4844   × cxp 5309  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  1c1 10218   · cmul 10222   < clt 10355  -cneg 10548   / cdiv 10965  cn 11301  cz 11639  seqcseq 13020  cexp 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5096  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fv 6105  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-neg 10550  df-z 11640  df-seq 13021  df-exp 13080
This theorem is referenced by:  0exp0e1  13084  expp1  13086  expneg  13087  expcllem  13090  mulexp  13118  expadd  13121  expmul  13124  leexp1a  13138  exple1  13139  bernneq  13209  modexp  13218  exp0d  13221  faclbnd4lem1  13296  faclbnd4lem3  13298  faclbnd4lem4  13299  cjexp  14109  absexp  14263  binom  14780  incexclem  14786  incexc  14787  climcndslem1  14799  fprodconst  14925  fallfac0  14975  bpoly0  14997  ege2le3  15036  eft0val  15058  demoivreALT  15147  pwp1fsum  15330  bits0  15365  0bits  15376  bitsinv1  15379  sadcadd  15395  smumullem  15429  numexp0  15993  psgnunilem4  18114  psgn0fv0  18128  psgnsn  18137  psgnprfval1  18139  cnfldexp  19983  expmhm  20019  expcn  22885  iblcnlem1  23767  itgcnlem  23769  dvexp  23929  dvexp2  23930  plyconst  24175  0dgr  24214  0dgrb  24215  aaliou3lem2  24311  cxp0  24629  1cubr  24782  log2ublem3  24888  basellem2  25021  basellem5  25024  lgsquad2lem2  25323  0dp2dp  29941  oddpwdc  30740  breprexp  31035  subfacval2  31490  fwddifn0  32590  stoweidlem19  40712  fmtno0  42024  pwdif  42073  bits0ALTV  42162  0dig2nn0e  42971  0dig2nn0o  42972  nn0sumshdiglemA  42978  nn0sumshdiglemB  42979  nn0sumshdiglem1  42980  nn0sumshdiglem2  42981
  Copyright terms: Public domain W3C validator