Theorem exp0 13786

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 13787) , following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 13784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4466	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  seqcseq 13721  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-neg 11208  df-z 12320  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  0exp0e1  13787  expp1  13789  expneg  13790  expcllem  13793  mulexp  13822  expadd  13825  expmul  13828  exp0d  13858  leexp1a  13893  exple1  13894  bernneq  13944  modexp  13953  faclbnd4lem1  14007  faclbnd4lem3  14009  faclbnd4lem4  14010  cjexp  14861  absexp  15016  binom  15542  incexclem  15548  incexc  15549  climcndslem1  15561  pwdif  15580  fprodconst  15688  fallfac0  15738  bpoly0  15760  ege2le3  15799  eft0val  15821  demoivreALT  15910  pwp1fsum  16100  bits0  16135  0bits  16146  bitsinv1  16149  sadcadd  16165  smumullem  16199  numexp0  16777  psgnunilem4  19105  psgn0fv0  19119  psgnsn  19128  psgnprfval1  19130  cnfldexp  20631  expmhm  20667  expcn  24035  iblcnlem1  24952  itgcnlem  24954  dvexp  25117  dvexp2  25118  plyconst  25367  0dgr  25406  0dgrb  25407  aaliou3lem2  25503  cxp0  25825  1cubr  25992  log2ublem3  26098  basellem2  26231  basellem5  26234  lgsquad2lem2  26533  0dp2dp  31183  oddpwdc  32321  breprexp  32613  subfacval2  33149  fwddifn0  34466  stoweidlem19  43560  fmtno0  44992  bits0ALTV  45131  0dig2nn0e  45958  0dig2nn0o  45959  nn0sumshdiglemA  45965  nn0sumshdiglemB  45966  nn0sumshdiglem1  45967  nn0sumshdiglem2  45968