Theorem exp0 14188

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14189), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12685	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14186	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4489	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   < clt 11324  -cneg 11523   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℤcz 12674  seqcseq 14124  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-1cn 11239  ax-addrcl 11242  ax-rnegex 11252  ax-cnre 11254

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-neg 11525  df-z 12675  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  0exp0e1  14189  expp1  14191  expneg  14192  expcllem  14195  mulexp  14224  expadd  14227  expmul  14230  exp0d  14263  leexp1a  14298  exple1  14300  bernneq  14353  modexp  14362  faclbnd4lem1  14417  faclbnd4lem3  14419  faclbnd4lem4  14420  cjexp  15297  absexp  15451  binom  15979  incexclem  15985  incexc  15986  climcndslem1  15998  pwdif  16017  fprodconst  16125  fallfac0  16174  bpoly0  16196  ege2le3  16236  eft0val  16260  demoivreALT  16349  pwp1fsum  16541  bits0  16578  0bits  16589  bitsinv1  16592  sadcadd  16608  smumullem  16642  numexp0  17233  psgnunilem4  19691  psgn0fv0  19705  psgnsn  19714  psgnprfval1  19716  cnfldexp  21691  expmhm  21722  expcn  25173  iblcnlem1  26088  itgcnlem  26090  dvexp  26253  dvexp2  26254  plyconst  26504  0dgr  26544  0dgrb  26545  aaliou3lem2  26652  cxp0  26980  1cubr  27152  log2ublem3  27258  basellem2  27391  basellem5  27394  lgsquad2lem2  27694  0dp2dp  33457  fldext2chn  34342  oddpwdc  34969  breprexp  35245  subfacval2  35921  fwddifn0  36899  stoweidlem19  46973  fmtno0  48569  bits0ALTV  48721  0dig2nn0e  49668  0dig2nn0o  49669  nn0sumshdiglemA  49675  nn0sumshdiglemB  49676  nn0sumshdiglem1  49677  nn0sumshdiglem2  49678