Theorem exp0 14092

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14093), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12593	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4490	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ifcif 4483  {csn 4585   class class class wbr 5105   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   < clt 11231  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℤcz 12582  seqcseq 14028  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-1cn 11146  ax-addrcl 11149  ax-rnegex 11159  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-neg 11432  df-z 12583  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  0exp0e1  14093  expp1  14095  expneg  14096  expcllem  14099  mulexp  14128  expadd  14131  expmul  14134  exp0d  14167  leexp1a  14202  exple1  14204  bernneq  14256  modexp  14265  faclbnd4lem1  14320  faclbnd4lem3  14322  faclbnd4lem4  14323  cjexp  15191  absexp  15345  binom  15874  incexclem  15880  incexc  15881  climcndslem1  15893  pwdif  15912  fprodconst  16022  fallfac0  16072  bpoly0  16094  ege2le3  16134  eft0val  16158  demoivreALT  16247  pwp1fsum  16439  bits0  16476  0bits  16487  bitsinv1  16490  sadcadd  16506  smumullem  16540  numexp0  17125  psgnunilem4  19558  psgn0fv0  19572  psgnsn  19581  psgnprfval1  19583  cnfldexp  21515  expmhm  21546  expcn  24992  iblcnlem1  25908  itgcnlem  25910  dvexp  26073  dvexp2  26074  plyconst  26324  0dgr  26363  0dgrb  26364  aaliou3lem2  26465  cxp0  26793  1cubr  26965  log2ublem3  27071  basellem2  27204  basellem5  27207  lgsquad2lem2  27507  0dp2dp  33141  fldext2chn  34035  oddpwdc  34661  breprexp  34937  subfacval2  35550  fwddifn0  36527  stoweidlem19  46591  fmtno0  48147  bits0ALTV  48299  0dig2nn0e  49243  0dig2nn0o  49244  nn0sumshdiglemA  49250  nn0sumshdiglemB  49251  nn0sumshdiglem1  49252  nn0sumshdiglem2  49253