Theorem exp0 13182

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11739	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 13180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 681	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4314	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	syl6eq 2830	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307  {csn 4398   class class class wbr 4886   × cxp 5353  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   < clt 10411  -cneg 10607   / cdiv 11032  ℕcn 11374  ℤcz 11728  seqcseq 13119  ↑cexp 13178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138  ax-1cn 10330  ax-addrcl 10333  ax-rnegex 10343  ax-cnre 10345

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-neg 10609  df-z 11729  df-seq 13120  df-exp 13179

This theorem is referenced by:  0exp0e1  13183  expp1  13185  expneg  13186  expcllem  13189  mulexp  13217  expadd  13220  expmul  13223  leexp1a  13237  exple1  13238  bernneq  13309  modexp  13318  exp0d  13321  faclbnd4lem1  13398  faclbnd4lem3  13400  faclbnd4lem4  13401  cjexp  14297  absexp  14451  binom  14966  incexclem  14972  incexc  14973  climcndslem1  14985  fprodconst  15111  fallfac0  15161  bpoly0  15183  ege2le3  15222  eft0val  15244  demoivreALT  15333  pwp1fsum  15521  bits0  15556  0bits  15567  bitsinv1  15570  sadcadd  15586  smumullem  15620  numexp0  16184  psgnunilem4  18301  psgn0fv0  18315  psgnsn  18324  psgnprfval1  18326  cnfldexp  20175  expmhm  20211  expcn  23083  iblcnlem1  23991  itgcnlem  23993  dvexp  24153  dvexp2  24154  plyconst  24399  0dgr  24438  0dgrb  24439  aaliou3lem2  24535  cxp0  24853  1cubr  25020  log2ublem3  25127  basellem2  25260  basellem5  25263  lgsquad2lem2  25562  0dp2dp  30179  oddpwdc  31014  breprexp  31313  subfacval2  31768  fwddifn0  32860  stoweidlem19  41163  fmtno0  42473  pwdif  42522  bits0ALTV  42615  0dig2nn0e  43421  0dig2nn0o  43422  nn0sumshdiglemA  43428  nn0sumshdiglemB  43429  nn0sumshdiglem1  43430  nn0sumshdiglem2  43431