Theorem exp0 14121

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. Under our definition, 0↑0 = 1 (0exp0e1 14122), following standard convention, for instance Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12620	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 14119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4499	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	eqtrdi 2817	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5114   × cxp 5664  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   < clt 11261  -cneg 11460   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℤcz 12609  seqcseq 14057  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-1cn 11176  ax-addrcl 11179  ax-rnegex 11189  ax-cnre 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-neg 11462  df-z 12610  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  0exp0e1  14122  expp1  14124  expneg  14125  expcllem  14128  mulexp  14157  expadd  14160  expmul  14163  exp0d  14196  leexp1a  14231  exple1  14233  bernneq  14285  modexp  14294  faclbnd4lem1  14349  faclbnd4lem3  14351  faclbnd4lem4  14352  cjexp  15227  absexp  15381  binom  15910  incexclem  15916  incexc  15917  climcndslem1  15929  pwdif  15948  fprodconst  16058  fallfac0  16107  bpoly0  16129  ege2le3  16169  eft0val  16193  demoivreALT  16282  pwp1fsum  16474  bits0  16511  0bits  16522  bitsinv1  16525  sadcadd  16541  smumullem  16575  numexp0  17160  psgnunilem4  19598  psgn0fv0  19612  psgnsn  19621  psgnprfval1  19623  cnfldexp  21592  expmhm  21623  expcn  25068  iblcnlem1  25984  itgcnlem  25986  dvexp  26149  dvexp2  26150  plyconst  26400  0dgr  26439  0dgrb  26440  aaliou3lem2  26543  cxp0  26872  1cubr  27044  log2ublem3  27150  basellem2  27283  basellem5  27286  lgsquad2lem2  27586  0dp2dp  33265  fldext2chn  34149  oddpwdc  34776  breprexp  35052  subfacval2  35700  fwddifn0  36677  stoweidlem19  46774  fmtno0  48333  bits0ALTV  48485  0dig2nn0e  49433  0dig2nn0o  49434  nn0sumshdiglemA  49440  nn0sumshdiglemB  49441  nn0sumshdiglem1  49442  nn0sumshdiglem2  49443