Theorem expneg 14068

Description: Value of a complex number raised to a nonpositive integer power. When 𝐴 = 0 and 𝑁 is nonzero, both sides have the "value" (1 / 0); relying on that should be avoid in applications. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12469	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnne0 12233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4		nncn 12204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	negeq0d 11520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
7	6	necon3abid 2983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
8	3, 7	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 4481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))))
10		nnnn0 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nn0nlt0 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
14	11	nn0red 12529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 11742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
16	13, 15	mtbid 326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
17	16	iffalsed 4481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))
18	5	negnegd 11519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	fveq2d 6856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
20	19	oveq2d 7397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
21	9, 17, 20	3eqtrd 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
22		nnnegz 12557	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
23		expval 14062	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
24	22, 23	sylan2 601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
25		expnnval 14063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
26	25	oveq2d 7397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
27	21, 24, 26	3eqtr4d 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
28		1div1e1 11867	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
29	28	eqcomi 2761	. . . 4 ⊢ 1 = (1 / 1)
30		negeq 11408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
31		neg0 11463	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
32	30, 31	eqtrdi 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
33	32	oveq2d 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑-𝑁) = (𝐴↑0))
34		exp0 14064	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
35	33, 34	sylan9eqr 2809	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = 1)
36		oveq2 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
37	36, 34	sylan9eqr 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
38	37	oveq2d 7397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / 1))
39	29, 35, 38	3eqtr4a 2813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
40	27, 39	jaodan 968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
41	1, 40	sylan2b 602	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ifcif 4470  {csn 4572   class class class wbr 5090   × cxp 5634  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   · cmul 11064   < clt 11202  -cneg 11401   / cdiv 11830  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  seqcseq 14000  ↑cexp 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-seq 14001  df-exp 14061

This theorem is referenced by:  expneg2  14069  expn1  14070  expnegz  14095  efexp  16105  pcexp  16867  aaliou3lem8  26375  basellem3  27113  basellem4  27114  basellem8  27118  ex-exp  30587  dvtan  38107  irrapxlem5  43341  pellexlem2  43345  nn0digval  49160