MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expneg 13981
Description: Value of a complex number raised to a nonpositive integer power. When ๐ด = 0 and ๐‘ is nonzero, both sides have the "value" (1 / 0); relying on that should be avoid in applications. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expneg ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12420 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 nnne0 12192 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
32adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
4 nncn 12166 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
54adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
65negeq0d 11509 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ = 0 โ†” -๐‘ = 0))
76necon3abid 2977 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ -๐‘ = 0))
83, 7mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ -๐‘ = 0)
98iffalsed 4498 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))) = if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘))))
10 nnnn0 12425 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1110adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
12 nn0nlt0 12444 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐‘ < 0)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ < 0)
1411nn0red 12479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1514lt0neg1d 11729 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” 0 < -๐‘))
1613, 15mtbid 324 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 0 < -๐‘)
1716iffalsed 4498 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘))) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))
185negnegd 11508 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1918fveq2d 6847 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
2019oveq2d 7374 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
219, 17, 203eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
22 nnnegz 12507 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 expval 13975 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))))
2422, 23sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))))
25 expnnval 13976 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
2625oveq2d 7374 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
2721, 24, 263eqtr4d 2783 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
28 1div1e1 11850 . . . . 5 (1 / 1) = 1
2928eqcomi 2742 . . . 4 1 = (1 / 1)
30 negeq 11398 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ -๐‘ = -0)
31 neg0 11452 . . . . . . 7 -0 = 0
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ -๐‘ = 0)
3332oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (๐ดโ†‘0))
34 exp0 13977 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3533, 34sylan9eqr 2795 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = 1)
36 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
3736, 34sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = 1)
3837oveq2d 7374 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 / 1))
3929, 35, 383eqtr4a 2799 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
4027, 39jaodan 957 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
411, 40sylan2b 595 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194  -cneg 11391   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-seq 13913  df-exp 13974
This theorem is referenced by:  expneg2  13982  expn1  13983  expnegz  14008  efexp  15988  pcexp  16736  aaliou3lem8  25721  basellem3  26448  basellem4  26449  basellem8  26453  ex-exp  29436  dvtan  36174  irrapxlem5  41192  pellexlem2  41196  nn0digval  46772
  Copyright terms: Public domain W3C validator