Theorem expneg 14216

Description: Value of a complex number raised to a nonpositive integer power. When 𝐴 = 0 and 𝑁 is nonzero, both sides have the "value" (1 / 0); relying on that should be avoid in applications. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12612	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnne0 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4		nncn 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	negeq0d 11665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
7	6	necon3abid 2991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 4492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁))))
10		nnnn0 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nn0nlt0 12636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
14	11	nn0red 12672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 11889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
16	13, 15	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
17	16	iffalsed 4492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))
18	5	negnegd 11664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → - -𝑁 = 𝑁)
19	18	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
20	19	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
21	9, 17, 20	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
22		nnnegz 12700	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
23		expval 14210	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑ -𝑁) = if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))))
24	22, 23	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑ -𝑁) = if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))))
25		expnnval 14211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
26	25	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
27	21, 24, 26	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
28		1div1e1 12011	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
29	28	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ 1 = (1 / 1)
30		negeq 11553	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
31		neg0 11608	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
32	30, 31	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
33	32	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑ -𝑁) = (𝐴↑0))
34		exp0 14212	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
35	33, 34	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑ -𝑁) = 1)
36		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
37	36, 34	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
38	37	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / 1))
39	29, 35, 38	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
40	27, 39	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
41	1, 40	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ifcif 4481  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   -cneg 11546   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  seqcseq 14148  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  expneg2  14217  expn1  14218  expnegz  14243  efexp  16275  pcexp  17043  aaliou3lem8  26678  basellem3  27416  basellem4  27417  basellem8  27421  ex-exp  31057  dvtan  38682  irrapxlem5  43927  pellexlem2  43931  nn0digval  49806