MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expneg 14031
Description: Value of a complex number raised to a nonpositive integer power. When ๐ด = 0 and ๐‘ is nonzero, both sides have the "value" (1 / 0); relying on that should be avoid in applications. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expneg ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12470 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 nnne0 12242 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
4 nncn 12216 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
54adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
65negeq0d 11559 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ = 0 โ†” -๐‘ = 0))
76necon3abid 2977 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ -๐‘ = 0))
83, 7mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ -๐‘ = 0)
98iffalsed 4538 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))) = if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘))))
10 nnnn0 12475 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
12 nn0nlt0 12494 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐‘ < 0)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ < 0)
1411nn0red 12529 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1514lt0neg1d 11779 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” 0 < -๐‘))
1613, 15mtbid 323 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 0 < -๐‘)
1716iffalsed 4538 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘))) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))
185negnegd 11558 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1918fveq2d 6892 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
2019oveq2d 7421 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
219, 17, 203eqtrd 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
22 nnnegz 12557 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 expval 14025 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))))
2422, 23sylan2 593 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))))
25 expnnval 14026 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
2625oveq2d 7421 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
2721, 24, 263eqtr4d 2782 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
28 1div1e1 11900 . . . . 5 (1 / 1) = 1
2928eqcomi 2741 . . . 4 1 = (1 / 1)
30 negeq 11448 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ -๐‘ = -0)
31 neg0 11502 . . . . . . 7 -0 = 0
3230, 31eqtrdi 2788 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ -๐‘ = 0)
3332oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (๐ดโ†‘0))
34 exp0 14027 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3533, 34sylan9eqr 2794 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = 1)
36 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
3736, 34sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = 1)
3837oveq2d 7421 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 / 1))
3929, 35, 383eqtr4a 2798 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
4027, 39jaodan 956 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
411, 40sylan2b 594 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ร— cxp 5673  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   < clt 11244  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  seqcseq 13962  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  expneg2  14032  expn1  14033  expnegz  14058  efexp  16040  pcexp  16788  aaliou3lem8  25849  basellem3  26576  basellem4  26577  basellem8  26581  ex-exp  29692  dvtan  36526  irrapxlem5  41549  pellexlem2  41553  nn0digval  47239
  Copyright terms: Public domain W3C validator