MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expneg 14035
Description: Value of a complex number raised to a nonpositive integer power. When ๐ด = 0 and ๐‘ is nonzero, both sides have the "value" (1 / 0); relying on that should be avoid in applications. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expneg ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12474 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 nnne0 12246 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
32adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
4 nncn 12220 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
54adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
65negeq0d 11563 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ = 0 โ†” -๐‘ = 0))
76necon3abid 2978 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†” ยฌ -๐‘ = 0))
83, 7mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ -๐‘ = 0)
98iffalsed 4540 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))) = if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘))))
10 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1110adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
12 nn0nlt0 12498 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐‘ < 0)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ < 0)
1411nn0red 12533 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1514lt0neg1d 11783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” 0 < -๐‘))
1613, 15mtbid 324 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 0 < -๐‘)
1716iffalsed 4540 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘))) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))
185negnegd 11562 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1918fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
2019oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
219, 17, 203eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
22 nnnegz 12561 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 expval 14029 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))))
2422, 23sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = if(-๐‘ = 0, 1, if(0 < -๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜--๐‘)))))
25 expnnval 14030 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
2625oveq2d 7425 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘)))
2721, 24, 263eqtr4d 2783 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
28 1div1e1 11904 . . . . 5 (1 / 1) = 1
2928eqcomi 2742 . . . 4 1 = (1 / 1)
30 negeq 11452 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ -๐‘ = -0)
31 neg0 11506 . . . . . . 7 -0 = 0
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ -๐‘ = 0)
3332oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (๐ดโ†‘0))
34 exp0 14031 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3533, 34sylan9eqr 2795 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = 1)
36 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
3736, 34sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = 1)
3837oveq2d 7425 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 / 1))
3929, 35, 383eqtr4a 2799 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
4027, 39jaodan 957 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
411, 40sylan2b 595 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  expneg2  14036  expn1  14037  expnegz  14062  efexp  16044  pcexp  16792  aaliou3lem8  25858  basellem3  26587  basellem4  26588  basellem8  26592  ex-exp  29703  dvtan  36538  irrapxlem5  41564  pellexlem2  41568  nn0digval  47286
  Copyright terms: Public domain W3C validator