Theorem expneg 14252

Description: Value of a complex number raised to a nonpositive integer power. When 𝐴 = 0 and 𝑁 is nonzero, both sides have the "value" (1 / 0); relying on that should be avoid in applications. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12648	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnne0 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4		nncn 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	negeq0d 11700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
7	6	necon3abid 2995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 4496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁))))
10		nnnn0 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nn0nlt0 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
14	11	nn0red 12708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 11925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
16	13, 15	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
17	16	iffalsed 4496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))
18	5	negnegd 11699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → - -𝑁 = 𝑁)
19	18	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
20	19	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
21	9, 17, 20	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
22		nnnegz 12736	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
23		expval 14246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑ -𝑁) = if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))))
24	22, 23	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑ -𝑁) = if( -𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ -𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘ - -𝑁)))))
25		expnnval 14247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
26	25	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
27	21, 24, 26	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
28		1div1e1 12047	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
29	28	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 1 = (1 / 1)
30		negeq 11588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
31		neg0 11643	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
32	30, 31	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
33	32	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑ -𝑁) = (𝐴↑0))
34		exp0 14248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
35	33, 34	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑ -𝑁) = 1)
36		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
37	36, 34	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
38	37	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / 1))
39	29, 35, 38	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
40	27, 39	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
41	1, 40	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑ -𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  seqcseq 14184  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  expneg2  14253  expn1  14254  expnegz  14279  efexp  16313  pcexp  17081  aaliou3lem8  26729  basellem3  27467  basellem4  27468  basellem8  27472  ex-exp  31108  dvtan  38856  irrapxlem5  44099  pellexlem2  44103  nn0digval  50043