Theorem expneg 13718

Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12165	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnne0 11937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4		nncn 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6	5	negeq0d 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
7	6	necon3abid 2979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
8	3, 7	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))))
10		nnnn0 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nn0nlt0 12189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
14	11	nn0red 12224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 11474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
16	13, 15	mtbid 323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
17	16	iffalsed 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))
18	5	negnegd 11253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
20	19	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
21	9, 17, 20	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
22		nnnegz 12252	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
23		expval 13712	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
24	22, 23	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
25		expnnval 13713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
26	25	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
27	21, 24, 26	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
28		1div1e1 11595	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
29	28	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 1 = (1 / 1)
30		negeq 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
31		neg0 11197	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
32	30, 31	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
33	32	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑-𝑁) = (𝐴↑0))
34		exp0 13714	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
35	33, 34	sylan9eqr 2801	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = 1)
36		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
37	36, 34	sylan9eqr 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
38	37	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / 1))
39	29, 35, 38	3eqtr4a 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
40	27, 39	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
41	1, 40	sylan2b 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  seqcseq 13649  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  expneg2  13719  expn1  13720  expnegz  13745  efexp  15738  pcexp  16488  aaliou3lem8  25410  basellem3  26137  basellem4  26138  basellem8  26142  ex-exp  28715  dvtan  35754  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  nn0digval  45834