MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnnval 14032
Description: Value of exponentiation to positive integer powers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnnval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))

Proof of Theorem expnnval
StepHypRef Expression
1 nnz 12580 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 expval 14031 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
31, 2sylan2 592 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))))
4 nnne0 12247 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
54neneqd 2939 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
65iffalsed 4534 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))) = if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))))
7 nngt0 12244 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
87iftrued 4531 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘))) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
96, 8eqtrd 2766 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
109adantl 481 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐‘ = 0, 1, if(0 < ๐‘, (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘), (1 / (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜-๐‘)))) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
113, 10eqtrd 2766 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249  -cneg 11446   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„คcz 12559  seqcseq 13969  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-z 12560  df-seq 13970  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  exp1  14035  expp1  14036  expneg  14037  fprodconst  15925
  Copyright terms: Public domain W3C validator