Theorem ismrer1 37867

Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismrer1.1	⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
ismrer1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
2	1	xpeq1d 5688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
3	2	mpteq2dv 5220	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4		ismrer1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
5	3, 4	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
6	5	f1oeq1d 6818	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})))
7	1	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8		f1oeq3 6813	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
10	6, 9	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑦} = {𝑦}
12		reex 11225	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
13		vex 3468	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
15	11, 12, 13, 14	mapsnf1o3 8914	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})
16	10, 15	vtoclg 3538	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}))
17		sneq 4616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
18	17	xpeq2d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
19		snex 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝐴} ∈ V
20		snex 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ V
21	19, 20	xpex 7752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
22	18, 4, 21	fvmpt3i 6996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
23	22	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
25		snidg 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
26		fvconst2g 7199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
27	13, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
28	24, 27	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
29		sneq 4616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
30	29	xpeq2d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
31	30, 4, 21	fvmpt3i 6996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
32	31	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
34		vex 3468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
35		fvconst2g 7199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
36	34, 25, 35	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
37	33, 36	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
38	28, 37	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
39	38	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
40		resubcl 11552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
42		absresq 15326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
44	39, 43	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
45	41	recnd 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	sqcld 14167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) ∈ ℂ)
49	44, 48	eqeltrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
50		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑦)‘𝐴))
51		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))
52	50, 51	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
54	53	sumsn 15767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
55	49, 54	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
56	55, 44	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
57	56	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)))
58	45	absge0d 15468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
59	46, 58	sqrtsqd 15443	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
60	57, 59	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
61		f1of 6823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
62	16, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
63	62	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
64	62	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
65	63, 64	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66		snfi 9062	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
67		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
68	67	rrnmval 37857	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
69	66, 68	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
70	65, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
71		ismrer1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
72	71	remetdval 24733	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
73	72	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
74	60, 70, 73	3eqtr4rd 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
75	74	ralrimivva 3188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
76	71	rexmet 24735	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
77	67	rrnmet 37858	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
78		metxmet 24278	. . . 4 ⊢ ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
79	66, 77, 78	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))
80		isismty 37830	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))))
81	76, 79, 80	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧))))
82	16, 75, 81	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℂcc 11132  ℝcr 11133   − cmin 11471  2c2 12300  ↑cexp 14084  √csqrt 15257  abscabs 15258  Σcsu 15707  ∞Metcxmet 21305  Metcmet 21306   Ismty cismty 37827  ℝⁿcrrn 37854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-ico 13373  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-xmet 21313  df-met 21314  df-ismty 37828  df-rrn 37855

This theorem is referenced by:  reheibor  37868