Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrer1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrer1 37552
Description: An isometry between and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
ismrer1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4633 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
21xpeq1d 5703 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
32mpteq2dv 5247 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4 ismrer1.2 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
53, 4eqtr4di 2784 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
65f1oeq1d 6830 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})))
71oveq2d 7432 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8 f1oeq3 6825 . . . . 5 ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
106, 9bitrd 278 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
11 eqid 2726 . . . 4 {𝑦} = {𝑦}
12 reex 11240 . . . 4 ℝ ∈ V
13 vex 3466 . . . 4 𝑦 ∈ V
14 eqid 2726 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
1511, 12, 13, 14mapsnf1o3 8916 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})
1610, 15vtoclg 3533 . 2 (𝐴𝑉𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}))
17 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
1817xpeq2d 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
19 snex 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐴} ∈ V
20 snex 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥} ∈ V
2119, 20xpex 7753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
2218, 4, 21fvmpt3i 7006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
2322fveq1d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
2423adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
25 snidg 4657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
26 fvconst2g 7211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2713, 25, 26sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2824, 27sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
29 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
3029xpeq2d 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
3130, 4, 21fvmpt3i 7006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
3231fveq1d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
34 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
35 fvconst2g 7211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3634, 25, 35sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3733, 36sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
3828, 37oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)) = (𝑦𝑧))
3938oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
40 resubcl 11565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
42 absresq 15302 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4439, 43eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
4541recnd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
4645abscld 15436 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
4746recnd 11283 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
4847sqcld 14157 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) ∈ ℂ)
4944, 48eqeltrd 2826 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
50 fveq2 6893 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝐴))
51 fveq2 6893 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝐴))
5250, 51oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)))
5352oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5453sumsn 15745 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5549, 54syldan 589 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5655, 44eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
5756fveq2d 6897 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)))
5845absge0d 15444 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
5946, 58sqrtsqd 15419 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
6057, 59eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
61 f1of 6835 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
6216, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
6362ffvelcdmda 7090 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6462ffvelcdmda 7090 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6563, 64anim12dan 617 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66 snfi 9073 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
67 eqid 2726 . . . . . . 7 (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
6867rrnmval 37542 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
6966, 68mp3an1 1445 . . . . 5 (((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
7065, 69syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
71 ismrer1.1 . . . . . 6 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7271remetdval 24793 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7372adantl 480 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7460, 70, 733eqtr4rd 2777 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7574ralrimivva 3191 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7671rexmet 24795 . . 3 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
7767rrnmet 37543 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
78 metxmet 24328 . . . 4 ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
7966, 77, 78mp2b 10 . . 3 (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))
80 isismty 37515 . . 3 ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))))
8176, 79, 80mp2an 690 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧))))
8216, 75, 81sylanbrc 581 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  {csn 4623  cmpt 5228   × cxp 5672  cres 5676  ccom 5678  wf 6542  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  (class class class)co 7416  m cmap 8847  Fincfn 8966  cc 11147  cr 11148  cmin 11485  2c2 12313  cexp 14075  csqrt 15233  abscabs 15234  Σcsu 15685  ∞Metcxmet 21324  Metcmet 21325   Ismty cismty 37512  ncrrn 37539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-xadd 13141  df-ico 13378  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-xmet 21332  df-met 21333  df-ismty 37513  df-rrn 37540
This theorem is referenced by:  reheibor  37553
  Copyright terms: Public domain W3C validator