Theorem ismrer1 38039

Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismrer1.1	⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
ismrer1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
2	1	xpeq1d 5653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
3	2	mpteq2dv 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4		ismrer1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
5	3, 4	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
6	5	f1oeq1d 6769	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})))
7	1	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8		f1oeq3 6764	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
10	6, 9	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑦} = {𝑦}
12		reex 11117	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
13		vex 3444	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
15	11, 12, 13, 14	mapsnf1o3 8833	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})
16	10, 15	vtoclg 3511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}))
17		sneq 4590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
18	17	xpeq2d 5654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
19		snex 5381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝐴} ∈ V
20		snex 5381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ V
21	19, 20	xpex 7698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
22	18, 4, 21	fvmpt3i 6946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
23	22	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
25		snidg 4617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
26		fvconst2g 7148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
27	13, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
28	24, 27	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
29		sneq 4590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
30	29	xpeq2d 5654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
31	30, 4, 21	fvmpt3i 6946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
32	31	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
34		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
35		fvconst2g 7148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
36	34, 25, 35	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
37	33, 36	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
38	28, 37	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
39	38	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
40		resubcl 11445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
42		absresq 15225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
44	39, 43	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
45	41	recnd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	sqcld 14067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) ∈ ℂ)
49	44, 48	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
50		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑦)‘𝐴))
51		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))
52	50, 51	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
54	53	sumsn 15669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
55	49, 54	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
56	55, 44	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
57	56	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)))
58	45	absge0d 15370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
59	46, 58	sqrtsqd 15343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
60	57, 59	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
61		f1of 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
62	16, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
63	62	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
64	62	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
65	63, 64	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66		snfi 8980	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
67		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
68	67	rrnmval 38029	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
69	66, 68	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
70	65, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
71		ismrer1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
72	71	remetdval 24733	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
73	72	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
74	60, 70, 73	3eqtr4rd 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
75	74	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
76	71	rexmet 24735	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
77	67	rrnmet 38030	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
78		metxmet 24278	. . . 4 ⊢ ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
79	66, 77, 78	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))
80		isismty 38002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))))
81	76, 79, 80	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧))))
82	16, 75, 81	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  {csn 4580   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℂcc 11024  ℝcr 11025   − cmin 11364  2c2 12200  ↑cexp 13984  √csqrt 15156  abscabs 15157  Σcsu 15609  ∞Metcxmet 21294  Metcmet 21295   Ismty cismty 37999  ℝⁿcrrn 38026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-xmet 21302  df-met 21303  df-ismty 38000  df-rrn 38027

This theorem is referenced by:  reheibor  38040