Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrer1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrer1 36701
Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1 𝑅 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
ismrer1.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
ismrer1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4638 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ {𝑦} = {𝐴})
21xpeq1d 5705 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ ({𝑦} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
32mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯})))
4 ismrer1.2 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
53, 4eqtr4di 2790 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = 𝐹)
65f1oeq1d 6828 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦})))
71oveq2d 7424 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8 f1oeq3 6823 . . . . 5 ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) β†’ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
106, 9bitrd 278 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
11 eqid 2732 . . . 4 {𝑦} = {𝑦}
12 reex 11200 . . . 4 ℝ ∈ V
13 vex 3478 . . . 4 𝑦 ∈ V
14 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯}))
1511, 12, 13, 14mapsnf1o3 8888 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦})
1610, 15vtoclg 3556 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}))
17 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
1817xpeq2d 5706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ({𝐴} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {𝑦}))
19 snex 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐴} ∈ V
20 snex 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯} ∈ V
2119, 20xpex 7739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐴} Γ— {π‘₯}) ∈ V
2218, 4, 21fvmpt3i 7003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = ({𝐴} Γ— {𝑦}))
2322fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄))
25 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
26 fvconst2g 7202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) β†’ (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄) = 𝑦)
2713, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄) = 𝑦)
2824, 27sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = 𝑦)
29 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ {π‘₯} = {𝑧})
3029xpeq2d 5706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ({𝐴} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {𝑧}))
3130, 4, 21fvmpt3i 7003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ({𝐴} Γ— {𝑧}))
3231fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄))
34 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
35 fvconst2g 7202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) β†’ (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄) = 𝑧)
3634, 25, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄) = 𝑧)
3733, 36sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = 𝑧)
3828, 37oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄)) = (𝑦 βˆ’ 𝑧))
3938oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
40 resubcl 11523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ)
42 absresq 15248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
4439, 43eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) = ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2))
4541recnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
4645abscld 15382 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
4746recnd 11241 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ β„‚)
4847sqcld 14108 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) ∈ β„‚)
4944, 48eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) ∈ β„‚)
50 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄))
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))
5250, 51oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)) = (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄)))
5352oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5453sumsn 15691 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5549, 54syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5655, 44eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2))
5756fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2)))
5845absge0d 15390 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
5946, 58sqrtsqd 15365 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
6057, 59eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
61 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(ℝ ↑m {𝐴}))
6216, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:β„βŸΆ(ℝ ↑m {𝐴}))
6362ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6462ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6563, 64anim12dan 619 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66 snfi 9043 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
67 eqid 2732 . . . . . . 7 (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
6867rrnmval 36691 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ Fin ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
6966, 68mp3an1 1448 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
7065, 69syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
71 ismrer1.1 . . . . . 6 𝑅 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
7271remetdval 24304 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
7372adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
7460, 70, 733eqtr4rd 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))
7574ralrimivva 3200 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))
7671rexmet 24306 . . 3 𝑅 ∈ (∞Metβ€˜β„)
7767rrnmet 36692 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})))
78 metxmet 23839 . . . 4 ((ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})) β†’ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})))
7966, 77, 78mp2b 10 . . 3 (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴}))
80 isismty 36664 . . 3 ((𝑅 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴}))) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))))
8176, 79, 80mp2an 690 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§))))
8216, 75, 81sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108   βˆ’ cmin 11443  2c2 12266  β†‘cexp 14026  βˆšcsqrt 15179  abscabs 15180  Ξ£csu 15631  βˆžMetcxmet 20928  Metcmet 20929   Ismty cismty 36661  β„ncrrn 36688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ismty 36662  df-rrn 36689
This theorem is referenced by:  reheibor  36702
  Copyright terms: Public domain W3C validator