Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrer1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrer1 36754
Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1 𝑅 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
ismrer1.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
ismrer1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4639 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ {𝑦} = {𝐴})
21xpeq1d 5706 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ ({𝑦} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
32mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯})))
4 ismrer1.2 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
53, 4eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = 𝐹)
65f1oeq1d 6829 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦})))
71oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8 f1oeq3 6824 . . . . 5 ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) β†’ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
106, 9bitrd 279 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
11 eqid 2733 . . . 4 {𝑦} = {𝑦}
12 reex 11201 . . . 4 ℝ ∈ V
13 vex 3479 . . . 4 𝑦 ∈ V
14 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯}))
1511, 12, 13, 14mapsnf1o3 8889 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦})
1610, 15vtoclg 3557 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}))
17 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
1817xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ({𝐴} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {𝑦}))
19 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐴} ∈ V
20 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯} ∈ V
2119, 20xpex 7740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐴} Γ— {π‘₯}) ∈ V
2218, 4, 21fvmpt3i 7004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = ({𝐴} Γ— {𝑦}))
2322fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄))
25 snidg 4663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
26 fvconst2g 7203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) β†’ (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄) = 𝑦)
2713, 25, 26sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄) = 𝑦)
2824, 27sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = 𝑦)
29 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ {π‘₯} = {𝑧})
3029xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ({𝐴} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {𝑧}))
3130, 4, 21fvmpt3i 7004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ({𝐴} Γ— {𝑧}))
3231fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄))
34 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
35 fvconst2g 7203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) β†’ (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄) = 𝑧)
3634, 25, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄) = 𝑧)
3733, 36sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = 𝑧)
3828, 37oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄)) = (𝑦 βˆ’ 𝑧))
3938oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
40 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ)
42 absresq 15249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
4439, 43eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) = ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2))
4541recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
4645abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
4746recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ β„‚)
4847sqcld 14109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) ∈ β„‚)
4944, 48eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) ∈ β„‚)
50 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄))
51 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))
5250, 51oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)) = (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄)))
5352oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5453sumsn 15692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5549, 54syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5655, 44eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2))
5756fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2)))
5845absge0d 15391 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
5946, 58sqrtsqd 15366 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
6057, 59eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
61 f1of 6834 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(ℝ ↑m {𝐴}))
6216, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:β„βŸΆ(ℝ ↑m {𝐴}))
6362ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6462ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6563, 64anim12dan 620 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66 snfi 9044 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
67 eqid 2733 . . . . . . 7 (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
6867rrnmval 36744 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ Fin ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
6966, 68mp3an1 1449 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
7065, 69syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
71 ismrer1.1 . . . . . 6 𝑅 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
7271remetdval 24305 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
7372adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
7460, 70, 733eqtr4rd 2784 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))
7574ralrimivva 3201 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))
7671rexmet 24307 . . 3 𝑅 ∈ (∞Metβ€˜β„)
7767rrnmet 36745 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})))
78 metxmet 23840 . . . 4 ((ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})) β†’ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})))
7966, 77, 78mp2b 10 . . 3 (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴}))
80 isismty 36717 . . 3 ((𝑅 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴}))) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))))
8176, 79, 80mp2an 691 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§))))
8216, 75, 81sylanbrc 584 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  abscabs 15181  Ξ£csu 15632  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930   Ismty cismty 36714  β„ncrrn 36741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ismty 36715  df-rrn 36742
This theorem is referenced by:  reheibor  36755
  Copyright terms: Public domain W3C validator