Theorem ismrer1 37845

Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismrer1.1	⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
ismrer1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
2	1	xpeq1d 5714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
3	2	mpteq2dv 5244	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4		ismrer1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
5	3, 4	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
6	5	f1oeq1d 6843	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})))
7	1	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8		f1oeq3 6838	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
10	6, 9	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑦} = {𝑦}
12		reex 11246	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
13		vex 3484	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
15	11, 12, 13, 14	mapsnf1o3 8935	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})
16	10, 15	vtoclg 3554	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}))
17		sneq 4636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
18	17	xpeq2d 5715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
19		snex 5436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝐴} ∈ V
20		snex 5436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ V
21	19, 20	xpex 7773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
22	18, 4, 21	fvmpt3i 7021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
23	22	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
25		snidg 4660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
26		fvconst2g 7222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
27	13, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
28	24, 27	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
29		sneq 4636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
30	29	xpeq2d 5715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
31	30, 4, 21	fvmpt3i 7021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
32	31	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
34		vex 3484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
35		fvconst2g 7222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
36	34, 25, 35	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
37	33, 36	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
38	28, 37	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
39	38	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
40		resubcl 11573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
42		absresq 15341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
44	39, 43	eqtr4d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
45	41	recnd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	sqcld 14184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) ∈ ℂ)
49	44, 48	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
50		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑦)‘𝐴))
51		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))
52	50, 51	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
54	53	sumsn 15782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
55	49, 54	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
56	55, 44	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
57	56	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)))
58	45	absge0d 15483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
59	46, 58	sqrtsqd 15458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
60	57, 59	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
61		f1of 6848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
62	16, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
63	62	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
64	62	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
65	63, 64	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66		snfi 9083	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
67		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
68	67	rrnmval 37835	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
69	66, 68	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
70	65, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
71		ismrer1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
72	71	remetdval 24810	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
73	72	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
74	60, 70, 73	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
75	74	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
76	71	rexmet 24812	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
77	67	rrnmet 37836	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
78		metxmet 24344	. . . 4 ⊢ ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
79	66, 77, 78	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))
80		isismty 37808	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))))
81	76, 79, 80	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧))))
82	16, 75, 81	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℂcc 11153  ℝcr 11154   − cmin 11492  2c2 12321  ↑cexp 14102  √csqrt 15272  abscabs 15273  Σcsu 15722  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350   Ismty cismty 37805  ℝⁿcrrn 37832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ismty 37806  df-rrn 37833

This theorem is referenced by:  reheibor  37846