Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrer1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrer1 35975
Description: An isometry between and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
ismrer1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4576 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
21xpeq1d 5617 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
32mpteq2dv 5180 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4 ismrer1.2 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
53, 4eqtr4di 2797 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
65f1oeq1d 6707 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})))
71oveq2d 7284 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8 f1oeq3 6702 . . . . 5 ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
106, 9bitrd 278 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
11 eqid 2739 . . . 4 {𝑦} = {𝑦}
12 reex 10946 . . . 4 ℝ ∈ V
13 vex 3434 . . . 4 𝑦 ∈ V
14 eqid 2739 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
1511, 12, 13, 14mapsnf1o3 8657 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})
1610, 15vtoclg 3503 . 2 (𝐴𝑉𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}))
17 sneq 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
1817xpeq2d 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
19 snex 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐴} ∈ V
20 snex 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥} ∈ V
2119, 20xpex 7594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
2218, 4, 21fvmpt3i 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
2322fveq1d 6770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
25 snidg 4600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
26 fvconst2g 7071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2713, 25, 26sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2824, 27sylan9eqr 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
29 sneq 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
3029xpeq2d 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
3130, 4, 21fvmpt3i 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
3231fveq1d 6770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
34 vex 3434 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
35 fvconst2g 7071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3634, 25, 35sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3733, 36sylan9eqr 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
3828, 37oveq12d 7286 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)) = (𝑦𝑧))
3938oveq1d 7283 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
40 resubcl 11268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
42 absresq 14995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4439, 43eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
4541recnd 10987 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
4645abscld 15129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
4746recnd 10987 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
4847sqcld 13843 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) ∈ ℂ)
4944, 48eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
50 fveq2 6768 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝐴))
51 fveq2 6768 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝐴))
5250, 51oveq12d 7286 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)))
5352oveq1d 7283 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5453sumsn 15439 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5549, 54syldan 590 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5655, 44eqtrd 2779 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
5756fveq2d 6772 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)))
5845absge0d 15137 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
5946, 58sqrtsqd 15112 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
6057, 59eqtrd 2779 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
61 f1of 6712 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
6216, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
6362ffvelrnda 6955 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6462ffvelrnda 6955 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6563, 64anim12dan 618 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66 snfi 8804 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
67 eqid 2739 . . . . . . 7 (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
6867rrnmval 35965 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
6966, 68mp3an1 1446 . . . . 5 (((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
7065, 69syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
71 ismrer1.1 . . . . . 6 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7271remetdval 23933 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7372adantl 481 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7460, 70, 733eqtr4rd 2790 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7574ralrimivva 3116 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7671rexmet 23935 . . 3 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
7767rrnmet 35966 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
78 metxmet 23468 . . . 4 ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
7966, 77, 78mp2b 10 . . 3 (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))
80 isismty 35938 . . 3 ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))))
8176, 79, 80mp2an 688 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧))))
8216, 75, 81sylanbrc 582 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  wral 3065  Vcvv 3430  {csn 4566  cmpt 5161   × cxp 5586  cres 5590  ccom 5592  wf 6426  1-1-ontowf1o 6429  cfv 6430  (class class class)co 7268  m cmap 8589  Fincfn 8707  cc 10853  cr 10854  cmin 11188  2c2 12011  cexp 13763  csqrt 14925  abscabs 14926  Σcsu 15378  ∞Metcxmet 20563  Metcmet 20564   Ismty cismty 35935  ncrrn 35962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-xadd 12831  df-ico 13067  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-xmet 20571  df-met 20572  df-ismty 35936  df-rrn 35963
This theorem is referenced by:  reheibor  35976
  Copyright terms: Public domain W3C validator