Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrer1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrer1 34261
 Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
ismrer1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4408 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
21xpeq1d 5384 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
32mpteq2dv 4980 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4 ismrer1.2 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
53, 4syl6eqr 2832 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
6 f1oeq1 6380 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦})))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦})))
81oveq2d 6938 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑𝑚 {𝑦}) = (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
9 f1oeq3 6382 . . . . 5 ((ℝ ↑𝑚 {𝑦}) = (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
117, 10bitrd 271 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
12 eqid 2778 . . . 4 {𝑦} = {𝑦}
13 reex 10363 . . . 4 ℝ ∈ V
14 vex 3401 . . . 4 𝑦 ∈ V
15 eqid 2778 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
1612, 13, 14, 15mapsnf1o3 8192 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦})
1711, 16vtoclg 3467 . 2 (𝐴𝑉𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
18 sneq 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
1918xpeq2d 5385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
20 snex 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐴} ∈ V
21 snex 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥} ∈ V
2220, 21xpex 7240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
2319, 4, 22fvmpt3i 6547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
2423fveq1d 6448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
2524adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
26 snidg 4428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
27 fvconst2g 6739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2814, 26, 27sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2925, 28sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
30 sneq 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
3130xpeq2d 5385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
3231, 4, 22fvmpt3i 6547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
3332fveq1d 6448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
3433adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
35 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
36 fvconst2g 6739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3735, 26, 36sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3834, 37sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
3929, 38oveq12d 6940 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)) = (𝑦𝑧))
4039oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
41 resubcl 10687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
4241adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
43 absresq 14449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4540, 44eqtr4d 2817 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
4642recnd 10405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
4746abscld 14583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
4847recnd 10405 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
4948sqcld 13325 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) ∈ ℂ)
5045, 49eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
51 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝐴))
52 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝐴))
5351, 52oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)))
5453oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5554sumsn 14882 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5650, 55syldan 585 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5756, 45eqtrd 2814 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
5857fveq2d 6450 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)))
5946absge0d 14591 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
6047, 59sqrtsqd 14566 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
6158, 60eqtrd 2814 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
62 f1of 6391 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6317, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6463ffvelrnda 6623 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6563ffvelrnda 6623 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6664, 65anim12dan 612 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
67 snfi 8326 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
68 eqid 2778 . . . . . . 7 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) = (ℝ ↑𝑚 {𝐴})
6968rrnmval 34251 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
7067, 69mp3an1 1521 . . . . 5 (((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
7166, 70syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
72 ismrer1.1 . . . . . 6 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7372remetdval 23000 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7473adantl 475 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7561, 71, 743eqtr4rd 2825 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7675ralrimivva 3153 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7772rexmet 23002 . . 3 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
7868rrnmet 34252 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
79 metxmet 22547 . . . 4 ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
8067, 78, 79mp2b 10 . . 3 (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
81 isismty 34224 . . 3 ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))))
8277, 80, 81mp2an 682 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧))))
8317, 76, 82sylanbrc 578 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398  {csn 4398   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353   ↾ cres 5357   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  ℂcc 10270  ℝcr 10271   − cmin 10606  2c2 11430  ↑cexp 13178  √csqrt 14380  abscabs 14381  Σcsu 14824  ∞Metcxmet 20127  Metcmet 20128   Ismty cismty 34221  ℝncrrn 34248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-xadd 12258  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-xmet 20135  df-met 20136  df-ismty 34222  df-rrn 34249 This theorem is referenced by:  reheibor  34262
 Copyright terms: Public domain W3C validator