Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrer1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrer1 36347
Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1 𝑅 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
ismrer1.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
ismrer1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4600 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ {𝑦} = {𝐴})
21xpeq1d 5666 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ ({𝑦} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
32mpteq2dv 5211 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯})))
4 ismrer1.2 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝐴} Γ— {π‘₯}))
53, 4eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = 𝐹)
65f1oeq1d 6783 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦})))
71oveq2d 7377 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8 f1oeq3 6778 . . . . 5 ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) β†’ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
106, 9bitrd 279 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴})))
11 eqid 2733 . . . 4 {𝑦} = {𝑦}
12 reex 11150 . . . 4 ℝ ∈ V
13 vex 3451 . . . 4 𝑦 ∈ V
14 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯}))
1511, 12, 13, 14mapsnf1o3 8839 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ({𝑦} Γ— {π‘₯})):ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝑦})
1610, 15vtoclg 3527 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}))
17 sneq 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
1817xpeq2d 5667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ({𝐴} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {𝑦}))
19 snex 5392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐴} ∈ V
20 snex 5392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯} ∈ V
2119, 20xpex 7691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐴} Γ— {π‘₯}) ∈ V
2218, 4, 21fvmpt3i 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = ({𝐴} Γ— {𝑦}))
2322fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄))
25 snidg 4624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
26 fvconst2g 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) β†’ (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄) = 𝑦)
2713, 25, 26sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (({𝐴} Γ— {𝑦})β€˜π΄) = 𝑦)
2824, 27sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) = 𝑦)
29 sneq 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ {π‘₯} = {𝑧})
3029xpeq2d 5667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ({𝐴} Γ— {π‘₯}) = ({𝐴} Γ— {𝑧}))
3130, 4, 21fvmpt3i 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ({𝐴} Γ— {𝑧}))
3231fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄))
34 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
35 fvconst2g 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) β†’ (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄) = 𝑧)
3634, 25, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (({𝐴} Γ— {𝑧})β€˜π΄) = 𝑧)
3733, 36sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄) = 𝑧)
3828, 37oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄)) = (𝑦 βˆ’ 𝑧))
3938oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
40 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ)
42 absresq 15196 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) = ((𝑦 βˆ’ 𝑧)↑2))
4439, 43eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) = ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2))
4541recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
4645abscld 15330 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
4746recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ β„‚)
4847sqcld 14058 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2) ∈ β„‚)
4944, 48eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) ∈ β„‚)
50 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄))
51 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))
5250, 51oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)) = (((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄)))
5352oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5453sumsn 15639 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5549, 54syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π΄))↑2))
5655, 44eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2) = ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2))
5756fveq2d 6850 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2)))
5845absge0d 15338 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
5946, 58sqrtsqd 15313 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))↑2)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
6057, 59eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
61 f1of 6788 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(ℝ ↑m {𝐴}))
6216, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:β„βŸΆ(ℝ ↑m {𝐴}))
6362ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6462ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
6563, 64anim12dan 620 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66 snfi 8994 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
67 eqid 2733 . . . . . . 7 (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
6867rrnmval 36337 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ Fin ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
6966, 68mp3an1 1449 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
7065, 69syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {𝐴} ((((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))↑2)))
71 ismrer1.1 . . . . . 6 𝑅 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
7271remetdval 24175 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
7372adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
7460, 70, 733eqtr4rd 2784 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))
7574ralrimivva 3194 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))
7671rexmet 24177 . . 3 𝑅 ∈ (∞Metβ€˜β„)
7767rrnmet 36338 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})))
78 metxmet 23710 . . . 4 ((ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})) β†’ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴})))
7966, 77, 78mp2b 10 . . 3 (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴}))
80 isismty 36310 . . 3 ((𝑅 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (ℝnβ€˜{𝐴}) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m {𝐴}))) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§)))))
8176, 79, 80mp2an 691 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-ontoβ†’(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ℝnβ€˜{𝐴})(πΉβ€˜π‘§))))
8216, 75, 81sylanbrc 584 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝnβ€˜{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  {csn 4590   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  β„cr 11058   βˆ’ cmin 11393  2c2 12216  β†‘cexp 13976  βˆšcsqrt 15127  abscabs 15128  Ξ£csu 15579  βˆžMetcxmet 20804  Metcmet 20805   Ismty cismty 36307  β„ncrrn 36334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ismty 36308  df-rrn 36335
This theorem is referenced by:  reheibor  36348
  Copyright terms: Public domain W3C validator