Theorem ismrer1 38159

Description: An isometry between ℝ and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismrer1.1	⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
ismrer1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
2	1	xpeq1d 5660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
3	2	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4		ismrer1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
5	3, 4	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
6	5	f1oeq1d 6775	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})))
7	1	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}))
8		f1oeq3 6770	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ↑m {𝑦}) = (ℝ ↑m {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
10	6, 9	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴})))
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑦} = {𝑦}
12		reex 11129	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
13		vex 3433	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
15	11, 12, 13, 14	mapsnf1o3 8843	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝑦})
16	10, 15	vtoclg 3499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}))
17		sneq 4577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
18	17	xpeq2d 5661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
19		snex 5381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝐴} ∈ V
20		snex 5381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ V
21	19, 20	xpex 7707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
22	18, 4, 21	fvmpt3i 6953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
23	22	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
25		snidg 4604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
26		fvconst2g 7157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
27	13, 25, 26	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
28	24, 27	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
29		sneq 4577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
30	29	xpeq2d 5661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
31	30, 4, 21	fvmpt3i 6953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
32	31	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
34		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
35		fvconst2g 7157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
36	34, 25, 35	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
37	33, 36	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
38	28, 37	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)) = (𝑦 − 𝑧))
39	38	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
40		resubcl 11458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ)
42		absresq 15264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) = ((𝑦 − 𝑧)↑2))
44	39, 43	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
45	41	recnd 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	sqcld 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2) ∈ ℂ)
49	44, 48	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
50		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑦)‘𝐴))
51		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))
52	50, 51	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
54	53	sumsn 15708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
55	49, 54	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹‘𝑦)‘𝐴) − ((𝐹‘𝑧)‘𝐴))↑2))
56	55, 44	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2))
57	56	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)))
58	45	absge0d 15409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
59	46, 58	sqrtsqd 15382	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦 − 𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
60	57, 59	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
61		f1of 6780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
62	16, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑m {𝐴}))
63	62	ffvelcdmda 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
64	62	ffvelcdmda 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
65	63, 64	anim12dan 620	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})))
66		snfi 8990	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
67		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m {𝐴}) = (ℝ ↑m {𝐴})
68	67	rrnmval 38149	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
69	66, 68	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (ℝ ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
70	65, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹‘𝑦)‘𝑘) − ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))↑2)))
71		ismrer1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
72	71	remetdval 24754	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
73	72	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
74	60, 70, 73	3eqtr4rd 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
75	74	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))
76	71	rexmet 24756	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
77	67	rrnmet 38150	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
78		metxmet 24299	. . . 4 ⊢ ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑m {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴})))
79	66, 77, 78	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))
80		isismty 38122	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧)))))
81	76, 79, 80	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹‘𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹‘𝑧))))
82	16, 75, 81	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037   − cmin 11377  2c2 12236  ↑cexp 14023  √csqrt 15195  abscabs 15196  Σcsu 15648  ∞Metcxmet 21337  Metcmet 21338   Ismty cismty 38119  ℝⁿcrrn 38146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ismty 38120  df-rrn 38147

This theorem is referenced by:  reheibor  38160