Theorem f1oeq1 6842

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶1-1onto𝐵))

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 6803	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶1-1𝐵))
2		foeq1 6822	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶onto𝐵))
3	1, 2	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐵) ↔ (𝐺:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐺:𝐴⟶onto𝐵)))
4		df-f1o 6573	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐵))
5		df-f1o 6573	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶1-1onto𝐵 ↔ (𝐺:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐺:𝐴⟶onto𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶1-1onto𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⟶1-1wf1 6563  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573

This theorem is used by:  f1oeq123d  6848  f1oeq1d  6849  f1ocnvb  6868  resin  6877  f1ovi  6896  f1oresrab  7160  fsn  7168  f1ounsn  7311  fveqf1o  7341  isoeq1  7356  f1oexbi  7974  oacomf1o  8611  mapsnd  8952  mapsnf1o3  8961  f1oen4g  9029  f1oen3g  9031  en0  9083  en0r  9085  ensn1  9086  en2sn  9107  en2prd  9113  xpcomf1o  9123  omf1o  9137  enfixsn  9143  domss2  9193  ssfiALT  9227  php3  9262  isinf  9294  oef1o  9736  cnfcom  9738  cnfcom3  9742  infxpenc  10136  ackbij2lem2  10356  ackbij2  10359  canthp1lem2  10777  pwfseqlem5  10787  seqf1olem2  14225  seqf1o  14226  hasheqf1oi  14536  hashf1rn  14537  hasheqf1od  14538  hashfacen  14640  wrd2f1tovbij  15156  s7f1o  15162  summo  15927  fsum  15930  ackbijnn  16041  prodmo  16147  fprod  16152  sadcaddlem  16671  unbenlem  17130  setcinv  18315  equivestrcsetc  18376  isgim  19526  symgval  19636  elsymgbas2  19638  symg1bas  19656  cayleyth  19680  gsumval3eu  20169  gsumval3lem1  20170  gsumval3lem2  20171  rimval  20781  islmim  21388  uvcendim  22208  coe1mul2lem2  22642  mdet0f1o  22963  resinf1o  26921  efif1olem4  26930  logf1o  26949  relogf1o  26951  dvlog  27036  2lgslem1  27778  isismt  29054  nbusgrf1o1  30008  cusgrfilem3  30095  wwlksnextbij  30548  wlksnwwlknvbij  30554  clwwlkvbij  30761  hoif  32413  rabfodom  33200  fresf1o  33323  fpwrelmapffs  33422  fzo0pmtrlast  33752  pmtridf1o  33754  cycpmconjslem2  33815  1arithidomlem1  34171  1arithidom  34173  eulerpartlem1  35110  eulerpartgbij  35115  eulerpart  35125  derangenlem  36144  subfacp1lem2a  36153  subfacp1lem3  36155  subfacp1lem5  36157  subfacp1lem6  36158  subfacp1  36159  f1omptsn  38528  poimirlem3  38809  poimirlem4  38810  poimirlem5  38811  poimirlem6  38812  poimirlem7  38813  poimirlem8  38814  poimirlem9  38815  poimirlem10  38816  poimirlem11  38817  poimirlem12  38818  poimirlem13  38819  poimirlem14  38820  poimirlem15  38821  poimirlem16  38822  poimirlem17  38823  poimirlem18  38824  poimirlem19  38825  poimirlem20  38826  poimirlem21  38827  poimirlem22  38828  poimirlem25  38831  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  poimirlem29  38835  poimirlem31  38837  isismty  39001  isrngoiso  39178  islaut  41406  ispautN  41422  aks6d1c2  43446  sticksstones4  43465  sticksstones20  43482  eldioph2lem1  44037  pwfi2f1o  44364  rfovcnvf1od  45265  clsneif1o  45365  neicvgf1o  45375  nregmodelf1o  46269  3f1oss1  48418  fundcmpsurbijinjpreimafv  48762  sprbisymrel  48854  prproropen  48863  grimidvtxedg  49256  grimcnv  49259  grimco  49260  isuspgrim0  49265  gricushgr  49288  ushggricedg  49298  uhgrimisgrgric  49302  isgrtri  49314  isubgr3stgrlem3  49339  isubgr3stgr  49346  isgrlim  49353  uspgrlim  49363  grlicref  49383  grlicsym  49384  grlictr  49386  uspgrbispr  49522  uspgrbisymrelALT  49526  1aryenef  50088  2aryenef  50099  rrx2xpreen  50163  thincciso  50919  thinccisod  50920