MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom2 9646
Description: Any nonzero ordinal ๐ต is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom2.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ง,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom2
StepHypRef Expression
1 cnfcom.s . . . . 5 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
2 cnfcom.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cnfcom.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
4 cnfcom.f . . . . 5 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.g . . . . 5 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
6 cnfcom.h . . . . 5 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
7 cnfcom.t . . . . 5 ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
8 cnfcom.m . . . . 5 ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
9 cnfcom.k . . . . 5 ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
10 ovex 7394 . . . . . . . . . 10 (๐น supp โˆ…) โˆˆ V
115oion 9480 . . . . . . . . . 10 ((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ dom ๐บ โˆˆ On)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 dom ๐บ โˆˆ On
1312elexi 3466 . . . . . . . 8 dom ๐บ โˆˆ V
1413uniex 7682 . . . . . . 7 โˆช dom ๐บ โˆˆ V
1514sucid 6403 . . . . . 6 โˆช dom ๐บ โˆˆ suc โˆช dom ๐บ
16 cnfcom.w . . . . . . 7 ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
17 cnfcom2.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17cnfcom2lem 9645 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
1915, 18eleqtrrid 2841 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19cnfcom 9644 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜โˆช dom ๐บ))))
2116oveq2i 7372 . . . . . 6 (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) = (ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ))
2216fveq2i 6849 . . . . . 6 (๐นโ€˜๐‘Š) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜โˆช dom ๐บ))
2321, 22oveq12i 7373 . . . . 5 ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)) = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)))
24 f1oeq3 6778 . . . . 5 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)) = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜โˆช dom ๐บ))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)) โ†” (๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)))))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)) โ†” (๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜โˆช dom ๐บ))))
2620, 25sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)))
2718fveq2d 6850 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ) = (๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ))
2827f1oeq1d 6783 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ€˜dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)) โ†” (๐‘‡โ€˜suc โˆช dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))))
2926, 28mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)))
30 omelon 9590 . . . . . . 7 ฯ‰ โˆˆ On
3130a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
321, 31, 2cantnff1o 9640 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
33 f1ocnv 6800 . . . . . . . . 9 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
34 f1of 6788 . . . . . . . . 9 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
3635, 3ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
374, 36eqeltrid 2838 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
388oveq1i 7371 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ +o ๐‘ง) = (((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (๐‘€ +o ๐‘ง) = (((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
4039mpoeq3ia 7439 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
41 eqid 2733 . . . . . . . 8 โˆ… = โˆ…
42 seqomeq12 8404 . . . . . . . 8 (((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
4340, 41, 42mp2an 691 . . . . . . 7 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
446, 43eqtri 2761 . . . . . 6 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
451, 31, 2, 5, 37, 44cantnfval 9612 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
464fveq2i 6849 . . . . 5 ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐น) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต))
4745, 46eqtr3di 2788 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜dom ๐บ) = ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)))
4818fveq2d 6850 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜dom ๐บ) = (๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ))
49 f1ocnvfv2 7227 . . . . 5 (((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด)) โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
5032, 3, 49syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜(โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)) = ๐ต)
5147, 48, 503eqtr3d 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ) = ๐ต)
5251f1oeq2d 6784 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ€˜dom ๐บ):(๐ปโ€˜suc โˆช dom ๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)) โ†” (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))))
5329, 52mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โˆช cun 3912  โˆ…c0 4286  โˆช cuni 4869   โ†ฆ cmpt 5192   E cep 5540  โ—กccnv 5636  dom cdm 5637  Oncon0 6321  suc csuc 6323  โŸถwf 6496  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6499  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  ฯ‰com 7806   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cnfcom3  9648
  Copyright terms: Public domain W3C validator