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Theorem cnfcom2 9693
Description: Any nonzero ordinal 𝐵 is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom2.1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom2 (𝜑 → (𝑇‘dom 𝐺):𝐵1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom2
StepHypRef Expression
1 cnfcom.s . . . . 5 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
2 cnfcom.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cnfcom.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
4 cnfcom.f . . . . 5 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.g . . . . 5 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
6 cnfcom.h . . . . 5 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
7 cnfcom.t . . . . 5 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
8 cnfcom.m . . . . 5 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
9 cnfcom.k . . . . 5 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
10 ovex 7437 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp ∅) ∈ V
115oion 9527 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 ∈ On
1312elexi 3494 . . . . . . . 8 dom 𝐺 ∈ V
1413uniex 7726 . . . . . . 7 dom 𝐺 ∈ V
1514sucid 6443 . . . . . 6 dom 𝐺 ∈ suc dom 𝐺
16 cnfcom.w . . . . . . 7 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
17 cnfcom2.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17cnfcom2lem 9692 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
1915, 18eleqtrrid 2841 . . . . 5 (𝜑 dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19cnfcom 9691 . . . 4 (𝜑 → (𝑇‘suc dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o (𝐺 dom 𝐺)) ·o (𝐹‘(𝐺 dom 𝐺))))
2116oveq2i 7415 . . . . . 6 (ω ↑o 𝑊) = (ω ↑o (𝐺 dom 𝐺))
2216fveq2i 6891 . . . . . 6 (𝐹𝑊) = (𝐹‘(𝐺 dom 𝐺))
2321, 22oveq12i 7416 . . . . 5 ((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)) = ((ω ↑o (𝐺 dom 𝐺)) ·o (𝐹‘(𝐺 dom 𝐺)))
24 f1oeq3 6820 . . . . 5 (((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)) = ((ω ↑o (𝐺 dom 𝐺)) ·o (𝐹‘(𝐺 dom 𝐺))) → ((𝑇‘suc dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)) ↔ (𝑇‘suc dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o (𝐺 dom 𝐺)) ·o (𝐹‘(𝐺 dom 𝐺)))))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((𝑇‘suc dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)) ↔ (𝑇‘suc dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o (𝐺 dom 𝐺)) ·o (𝐹‘(𝐺 dom 𝐺))))
2620, 25sylibr 233 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘suc dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)))
2718fveq2d 6892 . . . 4 (𝜑 → (𝑇‘dom 𝐺) = (𝑇‘suc dom 𝐺))
2827f1oeq1d 6825 . . 3 (𝜑 → ((𝑇‘dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)) ↔ (𝑇‘suc dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))))
2926, 28mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑇‘dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)))
30 omelon 9637 . . . . . . 7 ω ∈ On
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ω ∈ On)
321, 31, 2cantnff1o 9687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
33 f1ocnv 6842 . . . . . . . . 9 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
34 f1of 6830 . . . . . . . . 9 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
3635, 3ffvelcdmd 7083 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
374, 36eqeltrid 2838 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑆)
388oveq1i 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑀 +o 𝑧) = (((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝑀 +o 𝑧) = (((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧))
4039mpoeq3ia 7482 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)) = (𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧))
41 eqid 2733 . . . . . . . 8 ∅ = ∅
42 seqomeq12 8449 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)) = (𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)) ∧ ∅ = ∅) → seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅))
4340, 41, 42mp2an 691 . . . . . . 7 seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
446, 43eqtri 2761 . . . . . 6 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
451, 31, 2, 5, 37, 44cantnfval 9659 . . . . 5 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
464fveq2i 6891 . . . . 5 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
4745, 46eqtr3di 2788 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘dom 𝐺) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)))
4818fveq2d 6892 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘dom 𝐺) = (𝐻‘suc dom 𝐺))
49 f1ocnvfv2 7270 . . . . 5 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5032, 3, 49syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5147, 48, 503eqtr3d 2781 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘suc dom 𝐺) = 𝐵)
5251f1oeq2d 6826 . 2 (𝜑 → ((𝑇‘dom 𝐺):(𝐻‘suc dom 𝐺)–1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)) ↔ (𝑇‘dom 𝐺):𝐵1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))))
5329, 52mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑇‘dom 𝐺):𝐵1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cun 3945  c0 4321   cuni 4907  cmpt 5230   E cep 5578  ccnv 5674  dom cdm 5675  Oncon0 6361  suc csuc 6363  wf 6536  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  ωcom 7850   supp csupp 8141  seqωcseqom 8442   +o coa 8458   ·o comu 8459  o coe 8460  OrdIsocoi 9500   CNF ccnf 9652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-seqom 8443  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-oexp 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-cnf 9653
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