Theorem bitsf1ocnv 16594

Description: The bits function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 15977. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf1ocnv	⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem bitsf1ocnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
2		bitsss 16576	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0)
4		bitsfi 16587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ Fin)
5		elfpw 9327	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘𝑘) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝑘) ∈ Fin))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
8		elinel2 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
9		2nn0 12604	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 2 ∈ ℕ0)
11		elfpw 9327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
12	11	simplbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ℕ0)
13	12	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nn0expcld 14370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
15	8, 14	fsumnn0cl 15882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
17		bitsinv2 16593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)) = 𝑥)
18	17	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
19	18	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
20		fveq2 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (bits‘𝑘) = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
21	20	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (𝑥 = (bits‘𝑘) ↔ 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
22	19, 21	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → 𝑥 = (bits‘𝑘)))
23		bitsinv1 16592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛) = 𝑘)
24	23	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
25	24	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
26		sumeq1 15836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
27	26	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛)))
28	25, 27	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑥 = (bits‘𝑘) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
29	22, 28	impbid 215	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑥 = (bits‘𝑘)))
30	1, 7, 16, 29	f1ocnv2d 7666	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
31	30	simpld 500	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
32		bitsf 16577	. . . . . . . . 9 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0)
34	33	feqmptd 6945	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → bits = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)))
35	34	reseq1d 5969	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0))
36		nn0ssz 12697	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
37		resmpt 6031	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
39	35, 38	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
40	39	f1oeq1d 6811	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)))
41	31, 40	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
42	39	cnveqd 5853	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
43	30	simprd 501	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
44	42, 43	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
45	41, 44	jca 521	. 2 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
46	45	mptru 1577	1 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ↑cexp 14184  Σcsu 15833  bitscbits 16569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-dvds 16403  df-bits 16572

This theorem is used by:  bitsf1o  16595  bitsinv  16598