MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf1ocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsf1ocnv 16481
Description: The bits function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 15864. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1ocnv ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem bitsf1ocnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
2 bitsss 16463 . . . . . . . . 9 (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0)
4 bitsfi 16474 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ Fin)
5 elfpw 9394 . . . . . . . 8 ((bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘𝑘) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝑘) ∈ Fin))
63, 4, 5sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
76adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
8 elinel2 4202 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
9 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑥) → 2 ∈ ℕ0)
11 elfpw 9394 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ ℕ0𝑥 ∈ Fin))
1211simplbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ℕ0)
1312sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1410, 13nn0expcld 14285 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑥) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
158, 14fsumnn0cl 15772 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
17 bitsinv2 16480 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)) = 𝑥)
1817eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
1918ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
20 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) → (bits‘𝑘) = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
2120eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) → (𝑥 = (bits‘𝑘) ↔ 𝑥 = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛))))
2219, 21syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) → 𝑥 = (bits‘𝑘)))
23 bitsinv1 16479 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛) = 𝑘)
2423eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
2524ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
26 sumeq1 15725 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (bits‘𝑘) → Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
2726eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑥 = (bits‘𝑘) → (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛)))
2825, 27syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑥 = (bits‘𝑘) → 𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
2922, 28impbid 212 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑥 = (bits‘𝑘)))
301, 7, 16, 29f1ocnv2d 7686 . . . . 5 (⊤ → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛))))
3130simpld 494 . . . 4 (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
32 bitsf 16464 . . . . . . . . 9 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0)
3433feqmptd 6977 . . . . . . 7 (⊤ → bits = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)))
3534reseq1d 5996 . . . . . 6 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0))
36 nn0ssz 12636 . . . . . . 7 0 ⊆ ℤ
37 resmpt 6055 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
3935, 38eqtrdi 2793 . . . . 5 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
4039f1oeq1d 6843 . . . 4 (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)))
4131, 40mpbird 257 . . 3 (⊤ → (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
4239cnveqd 5886 . . . 4 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
4330simprd 495 . . . 4 (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
4442, 43eqtrd 2777 . . 3 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
4541, 44jca 511 . 2 (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛))))
4645mptru 1547 1 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cmpt 5225  ccnv 5684  cres 5687  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cexp 14102  Σcsu 15722  bitscbits 16456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-bits 16459
This theorem is referenced by:  bitsf1o  16482  bitsinv  16485
  Copyright terms: Public domain W3C validator