Theorem bitsf1ocnv 16390

Description: The bits function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 15779. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf1ocnv	⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem bitsf1ocnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
2		bitsss 16372	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0)
4		bitsfi 16383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ Fin)
5		elfpw 9358	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘𝑘) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝑘) ∈ Fin))
6	3, 4, 5	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
8		elinel2 4196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
9		2nn0 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 2 ∈ ℕ0)
11		elfpw 9358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
12	11	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ℕ0)
13	12	sselda 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nn0expcld 14214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
15	8, 14	fsumnn0cl 15687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
17		bitsinv2 16389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)) = 𝑥)
18	17	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
19	18	ad2antll 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
20		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (bits‘𝑘) = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
21	20	eqeq2d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (𝑥 = (bits‘𝑘) ↔ 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
22	19, 21	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → 𝑥 = (bits‘𝑘)))
23		bitsinv1 16388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛) = 𝑘)
24	23	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
25	24	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
26		sumeq1 15640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
27	26	eqeq2d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛)))
28	25, 27	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑥 = (bits‘𝑘) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
29	22, 28	impbid 211	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑥 = (bits‘𝑘)))
30	1, 7, 16, 29	f1ocnv2d 7663	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
31	30	simpld 494	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
32		bitsf 16373	. . . . . . . . 9 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0)
34	33	feqmptd 6960	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → bits = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)))
35	34	reseq1d 5980	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0))
36		nn0ssz 12586	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
37		resmpt 6037	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
39	35, 38	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
40	39	f1oeq1d 6828	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)))
41	31, 40	mpbird 257	. . 3 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
42	39	cnveqd 5875	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
43	30	simprd 495	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
44	42, 43	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
45	41, 44	jca 511	. 2 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
46	45	mptru 1547	1 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  2c2 12272  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563  ↑cexp 14032  Σcsu 15637  bitscbits 16365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-bits 16368

This theorem is referenced by:  bitsf1o  16391  bitsinv  16394