Theorem bitsf1ocnv 16357

Description: The bits function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 15737. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf1ocnv	⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem bitsf1ocnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
2		bitsss 16339	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0)
4		bitsfi 16350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ Fin)
5		elfpw 9245	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘𝑘) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝑘) ∈ Fin))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
8		elinel2 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
9		2nn0 12405	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 2 ∈ ℕ0)
11		elfpw 9245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
12	11	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ℕ0)
13	12	sselda 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nn0expcld 14155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
15	8, 14	fsumnn0cl 15645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
17		bitsinv2 16356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)) = 𝑥)
18	17	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
19	18	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
20		fveq2 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (bits‘𝑘) = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
21	20	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (𝑥 = (bits‘𝑘) ↔ 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
22	19, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → 𝑥 = (bits‘𝑘)))
23		bitsinv1 16355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛) = 𝑘)
24	23	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
25	24	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
26		sumeq1 15598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
27	26	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛)))
28	25, 27	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑥 = (bits‘𝑘) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
29	22, 28	impbid 212	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑥 = (bits‘𝑘)))
30	1, 7, 16, 29	f1ocnv2d 7605	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
31	30	simpld 494	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
32		bitsf 16340	. . . . . . . . 9 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0)
34	33	feqmptd 6896	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → bits = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)))
35	34	reseq1d 5931	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0))
36		nn0ssz 12498	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
37		resmpt 5990	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
39	35, 38	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
40	39	f1oeq1d 6763	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)))
41	31, 40	mpbird 257	. . 3 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
42	39	cnveqd 5819	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
43	30	simprd 495	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
44	42, 43	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
45	41, 44	jca 511	. 2 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
46	45	mptru 1548	1 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4549   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ↑cexp 13970  Σcsu 15595  bitscbits 16332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-dvds 16166  df-bits 16335

This theorem is referenced by:  bitsf1o  16358  bitsinv  16361