Theorem bitsf1ocnv 16643

Description: The bits function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 16026. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf1ocnv	⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem bitsf1ocnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
2		bitsss 16625	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0)
4		bitsfi 16636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ Fin)
5		elfpw 9371	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘𝑘) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝑘) ∈ Fin))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
8		elinel2 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
9		2nn0 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 2 ∈ ℕ0)
11		elfpw 9371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
12	11	simplbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ℕ0)
13	12	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nn0expcld 14417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
15	8, 14	fsumnn0cl 15931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
17		bitsinv2 16642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)) = 𝑥)
18	17	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
19	18	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
20		fveq2 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (bits‘𝑘) = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
21	20	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → (𝑥 = (bits‘𝑘) ↔ 𝑥 = (bits‘Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
22	19, 21	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) → 𝑥 = (bits‘𝑘)))
23		bitsinv1 16641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛) = 𝑘)
24	23	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
25	24	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
26		sumeq1 15885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
27	26	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (bits‘𝑘) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛)))
28	25, 27	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑥 = (bits‘𝑘) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
29	22, 28	impbid 215	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑥 = (bits‘𝑘)))
30	1, 7, 16, 29	f1ocnv2d 7698	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
31	30	simpld 500	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
32		bitsf 16626	. . . . . . . . 9 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0)
34	33	feqmptd 6976	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → bits = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)))
35	34	reseq1d 5980	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0))
36		nn0ssz 12743	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
37		resmpt 6041	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
39	35, 38	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
40	39	f1oeq1d 6841	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)))
41	31, 40	mpbird 260	. . 3 ⊢ (⊤ → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
42	39	cnveqd 5860	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
43	30	simprd 501	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
44	42, 43	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))
45	41, 44	jca 521	. 2 ⊢ (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛))))
46	45	mptru 1577	1 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶1-1onto(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛 ∈ 𝑥 (2↑𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657  ⟶wf 6554  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ↑cexp 14231  Σcsu 15882  bitscbits 16618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-dvds 16452  df-bits 16621

This theorem is used by:  bitsf1o  16644  bitsinv  16647