MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3clem 9700
Description: Lemma for cnfcom3c 9701. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom3c.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom3c.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)
cnfcom3c.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom3c.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom3c.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom3c.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom3c.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom3c.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom3c.x ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
cnfcom3c.y ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
cnfcom3c.n ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
cnfcom3c.l ๐ฟ = (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3clem (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ง,๐ด   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฃ   ๐‘”,๐ฟ,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ข,๐‘‡,๐‘ฃ,๐‘ง   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘Š,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘“)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘”,๐‘)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘)   ๐น(๐‘ค,๐‘”,๐‘)   ๐บ(๐‘ค,๐‘”,๐‘)   ๐ป(๐‘ง,๐‘ค,๐‘”,๐‘˜,๐‘)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘)   ๐ฟ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜,๐‘)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘)

Proof of Theorem cnfcom3clem
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c.s . . . . . 6 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
2 simp1 1137 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 omelon 9641 . . . . . . . . 9 ฯ‰ โˆˆ On
4 1onn 8639 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ ฯ‰
5 ondif2 8502 . . . . . . . . 9 (ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†” (ฯ‰ โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ ฯ‰))
63, 4, 5mpbir2an 710 . . . . . . . 8 ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o)
7 oeworde 8593 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ๐ด โŠ† (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
86, 2, 7sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐ด โŠ† (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
9 simp2 1138 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)
108, 9sseldd 3984 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
11 cnfcom3c.f . . . . . 6 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)
12 cnfcom3c.g . . . . . 6 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
13 cnfcom3c.h . . . . . 6 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
14 cnfcom3c.t . . . . . 6 ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
15 cnfcom3c.m . . . . . 6 ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
16 cnfcom3c.k . . . . . 6 ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
17 cnfcom3c.w . . . . . 6 ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
18 simp3 1139 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐‘)
191, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cnfcom3lem 9698 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
20 cnfcom3c.x . . . . . . 7 ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
21 cnfcom3c.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
22 cnfcom3c.n . . . . . . 7 ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
231, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22cnfcom3 9699 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
24 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
2625, 9fexd 7229 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
27 cnfcom3c.l . . . . . . . . 9 ๐ฟ = (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ ๐‘)
2827fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ V) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘) = ๐‘)
2910, 26, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘) = ๐‘)
3029f1oeq1d 6829 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” ๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
3123, 30mpbird 257 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
32 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค) = (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
3332f1oeq3d 6831 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค) โ†” (๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
3433rspcev 3613 . . . . 5 ((๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง (๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค))
3519, 31, 34syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ฯ‰ โŠ† ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค))
36353expia 1122 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
3736ralrimiva 3147 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
38 ovex 7442 . . . . 5 (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โˆˆ V
3938mptex 7225 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ ๐‘) โˆˆ V
4027, 39eqeltri 2830 . . 3 ๐ฟ โˆˆ V
41 nfmpt1 5257 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘(๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ ๐‘)
4227, 41nfcxfr 2902 . . . . 5 โ„ฒ๐‘๐ฟ
4342nfeq2 2921 . . . 4 โ„ฒ๐‘ ๐‘” = ๐ฟ
44 fveq1 6891 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐ฟ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘) = (๐ฟโ€˜๐‘))
4544f1oeq1d 6829 . . . . . 6 (๐‘” = ๐ฟ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค) โ†” (๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
4645rexbidv 3179 . . . . 5 (๐‘” = ๐ฟ โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
4746imbi2d 341 . . . 4 (๐‘” = ๐ฟ โ†’ ((ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)) โ†” (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค))))
4843, 47ralbid 3271 . . 3 (๐‘” = ๐ฟ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค))))
4940, 48spcev 3597 . 2 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐ฟโ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
5037, 49syl 17 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  โˆช cuni 4909   โ†ฆ cmpt 5232   E cep 5580  โ—กccnv 5676  dom cdm 5677   โˆ˜ ccom 5681  Oncon0 6365  โŸถwf 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411  ฯ‰com 7855   supp csupp 8146  seqฯ‰cseqom 8447  1oc1o 8459  2oc2o 8460   +o coa 8463   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465  OrdIsocoi 9504   CNF ccnf 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-oexp 8472  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-cnf 9657
This theorem is referenced by:  cnfcom3c  9701
  Copyright terms: Public domain W3C validator