Theorem metakunt34 41006

Description: 𝐷 is a permutation. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt34.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt34.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt34.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt34.4	⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt34	⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑤,𝑀   𝜑,𝑤

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑤)

Proof of Theorem metakunt34

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt34.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt34.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt34.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1))))
6	1, 2, 3, 4, 5	metakunt14 40986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1))))))
7	6	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8		f1ocnv 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
10	6	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))))
11	10	f1oeq1d 6825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)))
12	9, 11	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
13		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼)))))
14	1, 2, 3, 13	metakunt25 40997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
15		f1oco 6853	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
16	14, 7, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
17		f1oco 6853	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)) → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
19		metakunt34.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))
20	1, 2, 3, 4, 13, 5, 19	metakunt33 41005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))) = 𝐷)
21	20	f1oeq1d 6825	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ↔ 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)))
22	18, 21	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674   ∘ ccom 5679  –1-1-onto→wf1o 6539  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624

This theorem is referenced by: (None)