Theorem metakunt34 40158

Description: 𝐷 is a permutation. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt34.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt34.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt34.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt34.4	⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt34	⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑤,𝑀   𝜑,𝑤

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑤)

Proof of Theorem metakunt34

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt34.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt34.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt34.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1))))
6	1, 2, 3, 4, 5	metakunt14 40138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1))))))
7	6	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8		f1ocnv 6728	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
10	6	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))))
11	10	f1oeq1d 6711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)))
12	9, 11	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼)))))
14	1, 2, 3, 13	metakunt25 40149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
15		f1oco 6739	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
16	14, 7, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
17		f1oco 6739	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)) → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
19		metakunt34.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))
20	1, 2, 3, 4, 13, 5, 19	metakunt33 40157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))) = 𝐷)
21	20	f1oeq1d 6711	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ↔ 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)))
22	18, 21	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   ∘ ccom 5593  –1-1-onto→wf1o 6432  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by: (None)