Theorem metakunt34 42251

Description: 𝐷 is a permutation. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt34.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt34.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt34.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt34.4	⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt34	⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐼   𝑤,𝑀   𝜑,𝑤

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑤)

Proof of Theorem metakunt34

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt34.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt34.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt34.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
5		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1))))
6	1, 2, 3, 4, 5	metakunt14 42231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1))))))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
8		f1ocnv 6830	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
10	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))) = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))))
11	10	f1oeq1d 6813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)))
12	9, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼)))))
14	1, 2, 3, 13	metakunt25 42242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
15		f1oco 6841	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
16	14, 7, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
17		f1oco 6841	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ∧ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)) → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
19		metakunt34.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑤 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑤 = 𝐼, 𝑤, if(𝑤 < 𝐼, ((𝑤 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑤 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑤 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑤 − 𝐼), 1, 0)))))
20	1, 2, 3, 4, 13, 5, 19	metakunt33 42250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))) = 𝐷)
21	20	f1oeq1d 6813	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝐼, if(𝑧 < 𝐼, 𝑧, (𝑧 + 1)))) ∘ ((𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝑀, if(𝑦 < 𝐼, (𝑦 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑦 + (1 − 𝐼))))) ∘ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))):(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀) ↔ 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀)))
22	18, 21	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653   ∘ ccom 5658  –1-1-onto→wf1o 6530  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by: (None)