Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcobijfs 30492
 Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfien 8857. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
fcobij.2 (𝜑𝑅𝑈)
fcobij.3 (𝜑𝑆𝑉)
fcobij.4 (𝜑𝑇𝑊)
fcobijfs.5 (𝜑𝑂𝑆)
fcobijfs.6 𝑄 = (𝐺𝑂)
fcobijfs.7 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs.8 𝑌 = { ∈ (𝑇m 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
Assertion
Ref Expression
fcobijfs (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,,𝐺   𝑅,𝑓,   𝑆,𝑓,   𝑇,𝑓,   𝜑,𝑓,   𝑓,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑔,,𝑂   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,)   𝑊(𝑓,𝑔,)   𝑋(𝑔,)   𝑌(𝑔,)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2 breq1 5033 . . . . 5 ( = 𝑔 → ( finSupp 𝑂𝑔 finSupp 𝑂))
32cbvrabv 3439 . . . 4 { ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
41, 3eqtr4i 2824 . . 3 𝑋 = { ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ finSupp 𝑂}
5 fcobijfs.8 . . 3 𝑌 = { ∈ (𝑇m 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
6 fcobijfs.6 . . 3 𝑄 = (𝐺𝑂)
7 f1oi 6627 . . . 4 ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅)
9 fcobij.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
10 fcobij.2 . . 3 (𝜑𝑅𝑈)
11 fcobij.3 . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
12 fcobij.4 . . 3 (𝜑𝑇𝑊)
13 fcobijfs.5 . . 3 (𝜑𝑂𝑆)
144, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 10, 12, 13mapfien 8857 . 2 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌)
151ssrab3 4008 . . . . . 6 𝑋 ⊆ (𝑆m 𝑅)
1615sseli 3911 . . . . 5 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅))
17 coass 6085 . . . . . 6 ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))
18 f1of 6590 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑆1-1-onto𝑇𝐺:𝑆𝑇)
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑆𝑇)
20 elmapi 8413 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅) → 𝑓:𝑅𝑆)
21 fco 6505 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝑆𝑇𝑓:𝑅𝑆) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
2219, 20, 21syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
23 fcoi1 6526 . . . . . . 7 ((𝐺𝑓):𝑅𝑇 → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
2517, 24syl5eqr 2847 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
2616, 25sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑋) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
2726mpteq2dva 5125 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)))
28 f1oeq1 6579 . . 3 ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)) → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
2927, 28syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
3014, 29mpbid 235 1 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   I cid 5424   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391   finSupp cfsupp 8819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-1o 8087  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-fin 8498  df-fsupp 8820 This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  31752
 Copyright terms: Public domain W3C validator