Theorem fcobijfs 33200

Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfien 9382. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcobij.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆–1-1-onto→𝑇)
fcobij.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
fcobij.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
fcobij.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
fcobijfs.5	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑆)
fcobijfs.6	⊢ 𝑄 = (𝐺‘𝑂)
fcobijfs.7	⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs.8	⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑄}

Assertion

Ref	Expression
fcobijfs	⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺 ∘ 𝑓)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

Distinct variable groups:   𝑓,ℎ,𝐺   𝑅,𝑓,ℎ   𝑆,𝑓,ℎ   𝑇,𝑓,ℎ   𝜑,𝑓,ℎ   𝑓,𝑂,ℎ   𝑄,𝑓,ℎ   𝑔,ℎ,𝑂   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑊(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑋(𝑔, ℎ)   𝑌(𝑔, ℎ)

Proof of Theorem fcobijfs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcobijfs.7	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 𝑂 ↔ 𝑔 finSupp 𝑂))
3	2	cbvrabv 3424	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (𝑆 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
4	1, 3	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (𝑆 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑂}
5		fcobijfs.8	. . 3 ⊢ 𝑌 = {ℎ ∈ (𝑇 ↑m 𝑅) ∣ ℎ finSupp 𝑄}
6		fcobijfs.6	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺‘𝑂)
7		f1oi 6860	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑅)
9		fcobij.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆–1-1-onto→𝑇)
10		fcobij.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
11		fcobij.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		fcobij.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
13		fcobijfs.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑆)
14	4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 10, 12, 13	mapfien 9382	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋–1-1-onto→𝑌)
15	1	ssrab3 4033	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑆 ↑m 𝑅)
16	15	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑋 → 𝑓 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅))
17		coass 6266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))
18		f1of 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑆–1-1-onto→𝑇 → 𝐺:𝑆⟶𝑇)
19	9, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶𝑇)
20		elmapi 8852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶𝑆)
21		fco 6731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝑓:𝑅⟶𝑆) → (𝐺 ∘ 𝑓):𝑅⟶𝑇)
22	19, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅)) → (𝐺 ∘ 𝑓):𝑅⟶𝑇)
23		fcoi1 6753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝑓):𝑅⟶𝑇 → ((𝐺 ∘ 𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ 𝑓))
24	22, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅)) → ((𝐺 ∘ 𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ 𝑓))
25	17, 24	eqtr3id 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 ↑m 𝑅)) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺 ∘ 𝑓))
26	16, 25	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺 ∘ 𝑓))
27	26	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺 ∘ 𝑓)))
28	27	f1oeq1d 6816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺 ∘ 𝑓)):𝑋–1-1-onto→𝑌))
29	14, 28	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺 ∘ 𝑓)):𝑋–1-1-onto→𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830   finSupp cfsupp 9335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-1o 8459  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-fin 8960  df-fsupp 9336

This theorem is used by:  eulerpartgbij  34891