Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcobijfs 30235
 Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfien 8664. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
fcobij.2 (𝜑𝑅𝑈)
fcobij.3 (𝜑𝑆𝑉)
fcobij.4 (𝜑𝑇𝑊)
fcobijfs.5 (𝜑𝑂𝑆)
fcobijfs.6 𝑄 = (𝐺𝑂)
fcobijfs.7 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs.8 𝑌 = { ∈ (𝑇𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
Assertion
Ref Expression
fcobijfs (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,,𝐺   𝑅,𝑓,   𝑆,𝑓,   𝑇,𝑓,   𝜑,𝑓,   𝑓,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑔,,𝑂   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,)   𝑊(𝑓,𝑔,)   𝑋(𝑔,)   𝑌(𝑔,)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2 breq1 4928 . . . . 5 ( = 𝑔 → ( finSupp 𝑂𝑔 finSupp 𝑂))
32cbvrabv 3405 . . . 4 { ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
41, 3eqtr4i 2798 . . 3 𝑋 = { ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑂}
5 fcobijfs.8 . . 3 𝑌 = { ∈ (𝑇𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
6 fcobijfs.6 . . 3 𝑄 = (𝐺𝑂)
7 f1oi 6478 . . . 4 ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅)
9 fcobij.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
10 fcobij.2 . . . 4 (𝜑𝑅𝑈)
11 elex 3426 . . . 4 (𝑅𝑈𝑅 ∈ V)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
13 fcobij.3 . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
14 elex 3426 . . . 4 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
16 fcobij.4 . . . 4 (𝜑𝑇𝑊)
17 elex 3426 . . . 4 (𝑇𝑊𝑇 ∈ V)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
19 fcobijfs.5 . . 3 (𝜑𝑂𝑆)
204, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 12, 18, 19mapfien 8664 . 2 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌)
21 ssrab2 3939 . . . . . . 7 {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂} ⊆ (𝑆𝑚 𝑅)
221, 21eqsstri 3884 . . . . . 6 𝑋 ⊆ (𝑆𝑚 𝑅)
2322sseli 3847 . . . . 5 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅))
24 coass 5954 . . . . . 6 ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))
25 f1of 6441 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑆1-1-onto𝑇𝐺:𝑆𝑇)
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑆𝑇)
27 elmapi 8226 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) → 𝑓:𝑅𝑆)
28 fco 6358 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝑆𝑇𝑓:𝑅𝑆) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
2926, 27, 28syl2an 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅)) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
30 fcoi1 6378 . . . . . . 7 ((𝐺𝑓):𝑅𝑇 → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅)) → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
3224, 31syl5eqr 2821 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅)) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
3323, 32sylan2 584 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑋) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
3433mpteq2dva 5018 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)))
35 f1oeq1 6430 . . 3 ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)) → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
3720, 36mpbid 224 1 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {crab 3085  Vcvv 3408   class class class wbr 4925   ↦ cmpt 5004   I cid 5307   ↾ cres 5405   ∘ ccom 5407  ⟶wf 6181  –1-1-onto→wf1o 6184  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ↑𝑚 cmap 8204   finSupp cfsupp 8626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-1o 7903  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-fin 8308  df-fsupp 8627 This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  31307
 Copyright terms: Public domain W3C validator