Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcobijfs 32741
Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfien 9446. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
fcobij.2 (𝜑𝑅𝑈)
fcobij.3 (𝜑𝑆𝑉)
fcobij.4 (𝜑𝑇𝑊)
fcobijfs.5 (𝜑𝑂𝑆)
fcobijfs.6 𝑄 = (𝐺𝑂)
fcobijfs.7 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs.8 𝑌 = { ∈ (𝑇m 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
Assertion
Ref Expression
fcobijfs (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,,𝐺   𝑅,𝑓,   𝑆,𝑓,   𝑇,𝑓,   𝜑,𝑓,   𝑓,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑔,,𝑂   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,)   𝑊(𝑓,𝑔,)   𝑋(𝑔,)   𝑌(𝑔,)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2 breq1 5151 . . . . 5 ( = 𝑔 → ( finSupp 𝑂𝑔 finSupp 𝑂))
32cbvrabv 3444 . . . 4 { ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
41, 3eqtr4i 2766 . . 3 𝑋 = { ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ finSupp 𝑂}
5 fcobijfs.8 . . 3 𝑌 = { ∈ (𝑇m 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
6 fcobijfs.6 . . 3 𝑄 = (𝐺𝑂)
7 f1oi 6887 . . . 4 ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅)
9 fcobij.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
10 fcobij.2 . . 3 (𝜑𝑅𝑈)
11 fcobij.3 . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
12 fcobij.4 . . 3 (𝜑𝑇𝑊)
13 fcobijfs.5 . . 3 (𝜑𝑂𝑆)
144, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 10, 12, 13mapfien 9446 . 2 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌)
151ssrab3 4092 . . . . . 6 𝑋 ⊆ (𝑆m 𝑅)
1615sseli 3991 . . . . 5 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅))
17 coass 6287 . . . . . 6 ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))
18 f1of 6849 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑆1-1-onto𝑇𝐺:𝑆𝑇)
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑆𝑇)
20 elmapi 8888 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅) → 𝑓:𝑅𝑆)
21 fco 6761 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝑆𝑇𝑓:𝑅𝑆) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
23 fcoi1 6783 . . . . . . 7 ((𝐺𝑓):𝑅𝑇 → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
2517, 24eqtr3id 2789 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
2616, 25sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑋) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
2726mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)))
2827f1oeq1d 6844 . 2 (𝜑 → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
2914, 28mpbid 232 1 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-1o 8505  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fsupp 9400
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  34354
  Copyright terms: Public domain W3C validator