Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcobijfs 31694
Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfien 9352. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
fcobij.2 (𝜑𝑅𝑈)
fcobij.3 (𝜑𝑆𝑉)
fcobij.4 (𝜑𝑇𝑊)
fcobijfs.5 (𝜑𝑂𝑆)
fcobijfs.6 𝑄 = (𝐺𝑂)
fcobijfs.7 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs.8 𝑌 = { ∈ (𝑇m 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
Assertion
Ref Expression
fcobijfs (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,,𝐺   𝑅,𝑓,   𝑆,𝑓,   𝑇,𝑓,   𝜑,𝑓,   𝑓,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑔,,𝑂   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,)   𝑊(𝑓,𝑔,)   𝑋(𝑔,)   𝑌(𝑔,)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2 breq1 5112 . . . . 5 ( = 𝑔 → ( finSupp 𝑂𝑔 finSupp 𝑂))
32cbvrabv 3416 . . . 4 { ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
41, 3eqtr4i 2764 . . 3 𝑋 = { ∈ (𝑆m 𝑅) ∣ finSupp 𝑂}
5 fcobijfs.8 . . 3 𝑌 = { ∈ (𝑇m 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
6 fcobijfs.6 . . 3 𝑄 = (𝐺𝑂)
7 f1oi 6826 . . . 4 ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅)
9 fcobij.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
10 fcobij.2 . . 3 (𝜑𝑅𝑈)
11 fcobij.3 . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
12 fcobij.4 . . 3 (𝜑𝑇𝑊)
13 fcobijfs.5 . . 3 (𝜑𝑂𝑆)
144, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 10, 12, 13mapfien 9352 . 2 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌)
151ssrab3 4044 . . . . . 6 𝑋 ⊆ (𝑆m 𝑅)
1615sseli 3944 . . . . 5 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅))
17 coass 6221 . . . . . 6 ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))
18 f1of 6788 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑆1-1-onto𝑇𝐺:𝑆𝑇)
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑆𝑇)
20 elmapi 8793 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅) → 𝑓:𝑅𝑆)
21 fco 6696 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝑆𝑇𝑓:𝑅𝑆) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
23 fcoi1 6720 . . . . . . 7 ((𝐺𝑓):𝑅𝑇 → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
2517, 24eqtr3id 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆m 𝑅)) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
2616, 25sylan2 594 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑋) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
2726mpteq2dva 5209 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)))
2827f1oeq1d 6783 . 2 (𝜑 → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
2914, 28mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406   class class class wbr 5109  cmpt 5192   I cid 5534  cres 5639  ccom 5641  wf 6496  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500  (class class class)co 7361  m cmap 8771   finSupp cfsupp 9311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-1o 8416  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fsupp 9312
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  33036
  Copyright terms: Public domain W3C validator