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Theorem cnfcomlem 9696
Description: Lemma for cnfcom 9697. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (Ο‰ CNF 𝐴)
cnfcom.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Ο‰ ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = (β—‘(Ο‰ CNF 𝐴)β€˜π΅)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp βˆ…))
cnfcom.h 𝐻 = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), βˆ…)
cnfcom.t 𝑇 = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), βˆ…)
cnfcom.m 𝑀 = ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
cnfcom.k 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o π‘₯)) βˆͺ β—‘(π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o π‘₯)))
cnfcom.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ dom 𝐺)
cnfcom.2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)))
cnfcom.3 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜πΌ):(π»β€˜πΌ)–1-1-onto→𝑂)
Assertion
Ref Expression
cnfcomlem (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜suc 𝐼):(π»β€˜suc 𝐼)–1-1-ontoβ†’((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑧,𝐴   π‘˜,𝐼,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑀   𝑓,π‘˜,π‘₯,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑓,𝐺,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑓,𝐻,π‘₯   𝑆,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧,𝑓,π‘˜)   𝐴(𝑓)   𝐡(π‘₯,𝑧,𝑓,π‘˜)   𝑆(π‘₯,𝑓)   𝑇(π‘₯,𝑓,π‘˜)   𝐻(𝑧,π‘˜)   𝐼(𝑓)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑓,π‘˜)   𝑀(𝑧,𝑓,π‘˜)   𝑂(π‘₯,𝑧,𝑓,π‘˜)

Proof of Theorem cnfcomlem
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 9643 . . . . . . 7 Ο‰ ∈ On
2 cnfcom.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
3 suppssdm 8162 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp βˆ…) βŠ† dom 𝐹
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (β—‘(Ο‰ CNF 𝐴)β€˜π΅)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = dom (Ο‰ CNF 𝐴)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ On)
75, 6, 2cantnff1o 9693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο‰ CNF 𝐴):𝑆–1-1-ontoβ†’(Ο‰ ↑o 𝐴))
8 f1ocnv 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ο‰ CNF 𝐴):𝑆–1-1-ontoβ†’(Ο‰ ↑o 𝐴) β†’ β—‘(Ο‰ CNF 𝐴):(Ο‰ ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆)
9 f1of 6827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(Ο‰ CNF 𝐴):(Ο‰ ↑o 𝐴)–1-1-onto→𝑆 β†’ β—‘(Ο‰ CNF 𝐴):(Ο‰ ↑o 𝐴)βŸΆπ‘†)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β—‘(Ο‰ CNF 𝐴):(Ο‰ ↑o 𝐴)βŸΆπ‘†)
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Ο‰ ↑o 𝐴))
1210, 11ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β—‘(Ο‰ CNF 𝐴)β€˜π΅) ∈ 𝑆)
134, 12eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
145, 6, 2cantnfs 9663 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:π΄βŸΆΟ‰ ∧ 𝐹 finSupp βˆ…)))
1513, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆΟ‰ ∧ 𝐹 finSupp βˆ…))
1615simpld 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆΟ‰)
173, 16fssdm 6731 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp βˆ…) βŠ† 𝐴)
18 cnfcom.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ dom 𝐺)
19 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp βˆ…))
2019oif 9527 . . . . . . . . . . 11 𝐺:dom 𝐺⟢(𝐹 supp βˆ…)
2120ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ dom 𝐺 β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐹 supp βˆ…))
2218, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐹 supp βˆ…))
2317, 22sseldd 3978 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐴)
24 onelon 6383 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ On ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On)
252, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On)
26 oecl 8538 . . . . . . 7 ((Ο‰ ∈ On ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On) β†’ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) ∈ On)
271, 25, 26sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) ∈ On)
2816, 23ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ∈ Ο‰)
29 nnon 7858 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ∈ On)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ∈ On)
31 omcl 8537 . . . . . 6 (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) ∈ On ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ∈ On) β†’ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ∈ On)
3227, 30, 31syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ∈ On)
335, 6, 2, 19, 13cantnfcl 9664 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( E We (𝐹 supp βˆ…) ∧ dom 𝐺 ∈ Ο‰))
3433simprd 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 ∈ Ο‰)
35 elnn 7863 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ dom 𝐺 ∧ dom 𝐺 ∈ Ο‰) β†’ 𝐼 ∈ Ο‰)
3618, 34, 35syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Ο‰)
37 cnfcom.h . . . . . . . 8 𝐻 = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), βˆ…)
3837cantnfvalf 9662 . . . . . . 7 𝐻:Ο‰βŸΆOn
3938ffvelcdmi 7079 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜πΌ) ∈ On)
4036, 39syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π»β€˜πΌ) ∈ On)
41 eqid 2726 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦)))
4241oacomf1o 8566 . . . . 5 ((((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ∈ On ∧ (π»β€˜πΌ) ∈ On) β†’ ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))):(((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ))–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))))
4332, 40, 42syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))):(((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ))–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))))
44 cnfcom.t . . . . . . . 8 𝑇 = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), βˆ…)
4544seqomsuc 8458 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Ο‰ β†’ (π‘‡β€˜suc 𝐼) = (𝐼(π‘˜ ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾)(π‘‡β€˜πΌ)))
4636, 45syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜suc 𝐼) = (𝐼(π‘˜ ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾)(π‘‡β€˜πΌ)))
47 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑒𝐾
48 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑣𝐾
49 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)))
50 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)))
51 cnfcom.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o π‘₯)) βˆͺ β—‘(π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o π‘₯)))
52 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (dom 𝑓 +o π‘₯) = (dom 𝑓 +o 𝑦))
5352cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑦))
54 cnfcom.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
55 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ π‘˜ = 𝑒)
5655fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘’))
5756oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) = (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)))
5856fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)))
5957, 58oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) = ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))))
6054, 59eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ 𝑀 = ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))))
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ 𝑓 = 𝑣)
6261dmeqd 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ dom 𝑓 = dom 𝑣)
6362oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (dom 𝑓 +o 𝑦) = (dom 𝑣 +o 𝑦))
6460, 63mpteq12dv 5232 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)))
6553, 64eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o π‘₯)) = (𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)))
66 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 +o π‘₯) = (𝑀 +o 𝑦))
6766cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o π‘₯)) = (𝑦 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑦))
6860oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (𝑀 +o 𝑦) = (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦))
6962, 68mpteq12dv 5232 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑦)) = (𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)))
7067, 69eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o π‘₯)) = (𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)))
7170cnveqd 5869 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o π‘₯)) = β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)))
7265, 71uneq12d 4159 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o π‘₯)) βˆͺ β—‘(π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o π‘₯))) = ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦))))
7351, 72eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ = 𝑒 ∧ 𝑓 = 𝑣) β†’ 𝐾 = ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦))))
7447, 48, 49, 50, 73cbvmpo 7499 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾) = (𝑒 ∈ V, 𝑣 ∈ V ↦ ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦))))
7574a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾) = (𝑒 ∈ V, 𝑣 ∈ V ↦ ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)))))
76 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ 𝑒 = 𝐼)
7776fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΊβ€˜πΌ))
7877oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) = (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)))
7977fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))
8078, 79oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) = ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))
81 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ)) β†’ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))
8281dmeqd 5899 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ)) β†’ dom 𝑣 = dom (π‘‡β€˜πΌ))
83 cnfcom.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜πΌ):(π»β€˜πΌ)–1-1-onto→𝑂)
84 f1odm 6831 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‡β€˜πΌ):(π»β€˜πΌ)–1-1-onto→𝑂 β†’ dom (π‘‡β€˜πΌ) = (π»β€˜πΌ))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (π‘‡β€˜πΌ) = (π»β€˜πΌ))
8682, 85sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ dom 𝑣 = (π»β€˜πΌ))
8786oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ (dom 𝑣 +o 𝑦) = ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦))
8880, 87mpteq12dv 5232 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ (𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)))
8980oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦) = (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))
9086, 89mpteq12dv 5232 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)) = (𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦)))
9190cnveqd 5869 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦)) = β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦)))
9288, 91uneq12d 4159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 = 𝐼 ∧ 𝑣 = (π‘‡β€˜πΌ))) β†’ ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) ↦ (dom 𝑣 +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ dom 𝑣 ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘’)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’))) +o 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))))
9318elexd 3489 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
94 fvexd 6900 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜πΌ) ∈ V)
95 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ∈ V
9695mptex 7220 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) ∈ V
97 fvex 6898 . . . . . . . . . . 11 (π»β€˜πΌ) ∈ V
9897mptex 7220 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦)) ∈ V
9998cnvex 7915 . . . . . . . . 9 β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦)) ∈ V
10096, 99unex 7730 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))) ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))) ∈ V)
10275, 92, 93, 94, 101ovmpod 7556 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼(π‘˜ ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾)(π‘‡β€˜πΌ)) = ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))))
10346, 102eqtrd 2766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜suc 𝐼) = ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))))
104103f1oeq1d 6822 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β€˜suc 𝐼):(((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ))–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))) ↔ ((𝑦 ∈ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ↦ ((π»β€˜πΌ) +o 𝑦)) βˆͺ β—‘(𝑦 ∈ (π»β€˜πΌ) ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o 𝑦))):(((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ))–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))))
10543, 104mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜suc 𝐼):(((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ))–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))))
1061a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) β†’ Ο‰ ∈ On)
107 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ On)
108 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
10954oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (𝑀 +o 𝑧) = (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)
110109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) β†’ (𝑀 +o 𝑧) = (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) +o 𝑧))
111110mpoeq3ia 7483 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)) = (π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) +o 𝑧))
112 eqid 2726 . . . . . . . 8 βˆ… = βˆ…
113 seqomeq12 8455 . . . . . . . 8 (((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)) = (π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)) ∧ βˆ… = βˆ…) β†’ seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), βˆ…) = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…))
114111, 112, 113mp2an 689 . . . . . . 7 seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), βˆ…) = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)
11537, 114eqtri 2754 . . . . . 6 𝐻 = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜π‘˜)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)
1165, 106, 107, 19, 108, 115cantnfsuc 9667 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ Ο‰) β†’ (π»β€˜suc 𝐼) = (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ)))
1172, 13, 36, 116syl21anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜suc 𝐼) = (((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ)))
118117f1oeq2d 6823 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β€˜suc 𝐼):(π»β€˜suc 𝐼)–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))) ↔ (π‘‡β€˜suc 𝐼):(((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) +o (π»β€˜πΌ))–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))))
119105, 118mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜suc 𝐼):(π»β€˜suc 𝐼)–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))))
120 sssucid 6438 . . . . . 6 dom 𝐺 βŠ† suc dom 𝐺
121120, 18sselid 3975 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ suc dom 𝐺)
122 epelg 5574 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ dom 𝐺 β†’ (𝑦 E 𝐼 ↔ 𝑦 ∈ 𝐼))
12318, 122syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 E 𝐼 ↔ 𝑦 ∈ 𝐼))
124123biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 E 𝐼)
125 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp βˆ…) ∈ V)
12633simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ E We (𝐹 supp βˆ…))
12719oiiso 9534 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 supp βˆ…) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp βˆ…)) β†’ 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp βˆ…)))
128125, 126, 127syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp βˆ…)))
129128adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp βˆ…)))
13019oicl 9526 . . . . . . . . . . . 12 Ord dom 𝐺
131 ordelss 6374 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord dom 𝐺 ∧ 𝐼 ∈ dom 𝐺) β†’ 𝐼 βŠ† dom 𝐺)
132130, 18, 131sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† dom 𝐺)
133132sselda 3977 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐺)
13418adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ dom 𝐺)
135 isorel 7319 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp βˆ…)) ∧ (𝑦 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐼 ∈ dom 𝐺)) β†’ (𝑦 E 𝐼 ↔ (πΊβ€˜π‘¦) E (πΊβ€˜πΌ)))
136129, 133, 134, 135syl12anc 834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 E 𝐼 ↔ (πΊβ€˜π‘¦) E (πΊβ€˜πΌ)))
137124, 136mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) E (πΊβ€˜πΌ))
138 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜πΌ) ∈ V
139138epeli 5575 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘¦) E (πΊβ€˜πΌ) ↔ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (πΊβ€˜πΌ))
140137, 139sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (πΊβ€˜πΌ))
141140ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (πΊβ€˜πΌ))
142 ffun 6714 . . . . . . . 8 (𝐺:dom 𝐺⟢(𝐹 supp βˆ…) β†’ Fun 𝐺)
14320, 142ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun 𝐺
144 funimass4 6950 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 ∧ 𝐼 βŠ† dom 𝐺) β†’ ((𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (πΊβ€˜πΌ)))
145143, 132, 144sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (πΊβ€˜πΌ)))
146141, 145mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))
1471a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ Ο‰ ∈ On)
148 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ 𝐴 ∈ On)
149 simplr 766 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
150 peano1 7876 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Ο‰
151150a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ βˆ… ∈ Ο‰)
152 simpr1 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ 𝐼 ∈ suc dom 𝐺)
153 simpr2 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On)
154 simpr3 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))
1555, 147, 148, 19, 149, 115, 151, 152, 153, 154cantnflt 9669 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) ∧ (𝐼 ∈ suc dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ On ∧ (𝐺 β€œ 𝐼) βŠ† (πΊβ€˜πΌ))) β†’ (π»β€˜πΌ) ∈ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)))
1562, 13, 121, 25, 146, 155syl23anc 1374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜πΌ) ∈ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)))
15716ffnd 6712 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
158 0ex 5300 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ V
159158a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ V)
160 elsuppfn 8156 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ βˆ… ∈ V) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐹 supp βˆ…) ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…)))
161157, 2, 159, 160syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐹 supp βˆ…) ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…)))
162 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…)
163161, 162biimtrdi 252 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐹 supp βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…))
16422, 163mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…)
165 on0eln0 6414 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ∈ On β†’ (βˆ… ∈ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…))
16630, 165syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) β‰  βˆ…))
167164, 166mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))
168 omword1 8574 . . . . 5 ((((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) ∈ On ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)) ∈ On) ∧ βˆ… ∈ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) β†’ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) βŠ† ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))
16927, 30, 167, 168syl21anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) βŠ† ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))
170 oaabs2 8650 . . . 4 ((((π»β€˜πΌ) ∈ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) ∧ ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))) ∈ On) ∧ (Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) βŠ† ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))) β†’ ((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))) = ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))
171156, 32, 169, 170syl21anc 835 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))) = ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))
172171f1oeq3d 6824 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β€˜suc 𝐼):(π»β€˜suc 𝐼)–1-1-ontoβ†’((π»β€˜πΌ) +o ((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))) ↔ (π‘‡β€˜suc 𝐼):(π»β€˜suc 𝐼)–1-1-ontoβ†’((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ)))))
173119, 172mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜suc 𝐼):(π»β€˜suc 𝐼)–1-1-ontoβ†’((Ο‰ ↑o (πΊβ€˜πΌ)) Β·o (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΌ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   E cep 5572   We wwe 5623  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  Ord word 6357  Oncon0 6358  suc csuc 6360  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Ο‰com 7852   supp csupp 8146  seqΟ‰cseqom 8448   +o coa 8464   Β·o comu 8465   ↑o coe 8466   finSupp cfsupp 9363  OrdIsocoi 9506   CNF ccnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-seqom 8449  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-oexp 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-cnf 9659
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