Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmap1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmap1o 38779
Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmap1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o.z 0 = (0g𝑈)
hvmap1o.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
hvmap1o.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmap1o.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
hvmap1o.q 𝑄 = (0g𝐷)
hvmap1o.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
hvmap1o.m 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hvmap1o (𝜑𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑓,𝑂   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑊(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem hvmap1o
Dummy variables 𝑣 𝑘 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmap1o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hvmap1o.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 hvmap1o.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hvmap1o.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 eqid 2818 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
6 eqid 2818 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
7 eqid 2818 . . 3 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8 eqid 2818 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
9 hvmap1o.z . . 3 0 = (0g𝑈)
10 hvmap1o.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 hvmap1o.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 hvmap1o.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 hvmap1o.q . . 3 𝑄 = (0g𝐷)
14 hvmap1o.c . . 3 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
15 eqid 2818 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g𝑈)(𝑘( ·𝑠𝑈)𝑥))))) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g𝑈)(𝑘( ·𝑠𝑈)𝑥)))))
16 hvmap1o.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16lcf1o 38567 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g𝑈)(𝑘( ·𝑠𝑈)𝑥))))):(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
18 hvmap1o.m . . . 4 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
191, 3, 2, 4, 5, 6, 9, 7, 8, 18, 16hvmapfval 38775 . . 3 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g𝑈)(𝑘( ·𝑠𝑈)𝑥))))))
20 f1oeq1 6597 . . 3 (𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g𝑈)(𝑘( ·𝑠𝑈)𝑥))))) → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g𝑈)(𝑘( ·𝑠𝑈)𝑥))))):(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄})))
2119, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g𝑈)(𝑘( ·𝑠𝑈)𝑥))))):(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄})))
2217, 21mpbird 258 1 (𝜑𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  {crab 3139  cdif 3930  {csn 4557  cmpt 5137  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101  LDualcld 36139  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DVecHcdvh 38094  ocHcoch 38363  HVMapchvm 38772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lsatoms 35992  df-lshyp 35993  df-lfl 36074  df-lkr 36102  df-ldual 36140  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tgrp 37759  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-dveca 38019  df-disoa 38045  df-dvech 38095  df-dib 38155  df-dic 38189  df-dih 38245  df-doch 38364  df-djh 38411  df-hvmap 38773
This theorem is referenced by:  hvmapclN  38780  hvmap1o2  38781
  Copyright terms: Public domain W3C validator