Theorem hvmap1o 41703

Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmap1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmap1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
hvmap1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmap1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
hvmap1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
hvmap1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
hvmap1o.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hvmap1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑓,𝑂   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑊(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem hvmap1o

Dummy variables 𝑣 𝑘 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmap1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hvmap1o.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmap1o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmap1o.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
9		hvmap1o.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		hvmap1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		hvmap1o.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		hvmap1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		hvmap1o.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		hvmap1o.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))
16		hvmap1o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lcf1o 41491	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))):(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
18		hvmap1o.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 3, 2, 4, 5, 6, 9, 7, 8, 18, 16	hvmapfval 41699	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))))
20	19	f1oeq1d 6809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))):(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄})))
21	17, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {crab 3413   ∖ cdif 3921  {csn 4599   ↦ cmpt 5198  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  ℩crio 7355  (class class class)co 7399  Basecbs 17213  +_gcplusg 17256  Scalarcsca 17259   ·_𝑠 cvsca 17260  0_gc0g 17438  LFnlclfn 38996  LKerclk 39024  LDualcld 39062  HLchlt 39289  LHypclh 39924  DVecHcdvh 41018  ocHcoch 41287  HVMapchvm 41696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-riotaBAD 38892

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8219  df-undef 8266  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13514  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-0g 17440  df-proset 18291  df-poset 18310  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20282  df-dvdsr 20302  df-unit 20303  df-invr 20333  df-dvr 20346  df-drng 20676  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lvec 21046  df-lsatoms 38915  df-lshyp 38916  df-lfl 38997  df-lkr 39025  df-ldual 39063  df-oposet 39115  df-ol 39117  df-oml 39118  df-covers 39205  df-ats 39206  df-atl 39237  df-cvlat 39261  df-hlat 39290  df-llines 39438  df-lplanes 39439  df-lvols 39440  df-lines 39441  df-psubsp 39443  df-pmap 39444  df-padd 39736  df-lhyp 39928  df-laut 39929  df-ldil 40044  df-ltrn 40045  df-trl 40099  df-tgrp 40683  df-tendo 40695  df-edring 40697  df-dveca 40943  df-disoa 40969  df-dvech 41019  df-dib 41079  df-dic 41113  df-dih 41169  df-doch 41288  df-djh 41335  df-hvmap 41697

This theorem is referenced by:  hvmapclN  41704  hvmap1o2  41705