Theorem hvmap1o 41802

Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmap1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmap1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
hvmap1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmap1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
hvmap1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
hvmap1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
hvmap1o.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hvmap1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑓,𝑂   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑊(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem hvmap1o

Dummy variables 𝑣 𝑘 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmap1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hvmap1o.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmap1o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmap1o.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
9		hvmap1o.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		hvmap1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		hvmap1o.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		hvmap1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		hvmap1o.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		hvmap1o.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))
16		hvmap1o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lcf1o 41590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))):(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
18		hvmap1o.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 3, 2, 4, 5, 6, 9, 7, 8, 18, 16	hvmapfval 41798	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))))
20	19	f1oeq1d 6753	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑤 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑤(+g‘𝑈)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))):(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄})))
21	17, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∖ cdif 3894  {csn 4571   ↦ cmpt 5167  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  ℩crio 7297  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  0_gc0g 17338  LFnlclfn 39096  LKerclk 39124  LDualcld 39162  HLchlt 39389  LHypclh 40023  DVecHcdvh 41117  ocHcoch 41386  HVMapchvm 41795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-riotaBAD 38992

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-0g 17340  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-p1 18325  df-lat 18333  df-clat 18400  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19224  df-lsm 19543  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-drng 20641  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lvec 21032  df-lsatoms 39015  df-lshyp 39016  df-lfl 39097  df-lkr 39125  df-ldual 39163  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539  df-lines 39540  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835  df-lhyp 40027  df-laut 40028  df-ldil 40143  df-ltrn 40144  df-trl 40198  df-tgrp 40782  df-tendo 40794  df-edring 40796  df-dveca 41042  df-disoa 41068  df-dvech 41118  df-dib 41178  df-dic 41212  df-dih 41268  df-doch 41387  df-djh 41434  df-hvmap 41796

This theorem is referenced by:  hvmapclN  41803  hvmap1o2  41804