MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunithash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem znunithash 21120
Description: The size of the unit group of β„€/nβ„€. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znunithash (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
Proof of Theorem znunithash
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfphi2 16707 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1}))
2 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 znchr.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
73, 4, 5, 6znf1o 21107 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
9 nnne0 12246 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
10 ifnefalse 4541 . . . . . . . . 9 (𝑁 β‰  0 β†’ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11 reseq2 5977 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)))
1211f1oeq1d 6829 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
13 f1oeq2 6823 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
1412, 13bitrd 279 . . . . . . . . 9 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
159, 10, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
168, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
17 f1ofn 6835 . . . . . . 7 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18 elpreima 7060 . . . . . . 7 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)))
20 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))
2120adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))
2221eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ))
23 elfzoelz 13632 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
24 znunit.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
263, 24, 25znunit 21119 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
272, 23, 26syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
2822, 27bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
2928pm5.32da 580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)))
3019, 29bitrd 279 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)))
3130eqabdv 2868 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)})
32 df-rab 3434 . . . 4 {π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)}
3331, 32eqtr4di 2791 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) = {π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1})
3433fveq2d 6896 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1}))
35 f1ocnv 6846 . . . . 5 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
36 f1of1 6833 . . . . 5 (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁) β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁))
3716, 35, 363syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁))
38 ovexd 7444 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^𝑁) ∈ V)
394, 24unitss 20190 . . . . 5 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)
4039a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4124fvexi 6906 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
4241a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ ∈ V)
43 f1imaen2g 9011 . . . 4 (((β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ π‘ˆ ∈ V)) β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ)
4437, 38, 40, 42, 43syl22anc 838 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ)
45 hasheni 14308 . . 3 ((β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
4644, 45syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
471, 34, 463eqtr2rd 2780 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β‰ˆ cen 8936  0cc0 11110  1c1 11111  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290   gcd cgcd 16435  Ο•cphi 16697  Basecbs 17144  Unitcui 20169  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-phi 16699  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by:  dchrfi  26758  dchrsum2  26771
  Copyright terms: Public domain W3C validator