Theorem znunithash 21450

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunithash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 16720	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		nnnn0 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
6		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
7	3, 4, 5, 6	znf1o 21437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
9		nnne0 12196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
10		ifnefalse 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11		reseq2 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)))
12	11	f1oeq1d 6777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
13		f1oeq2 6771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
14	12, 13	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
15	9, 10, 14	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
17		f1ofn 6783	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		elpreima 7012	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
20		fvres 6859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈))
23		elfzoelz 13596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
24		znunit.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
25		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
26	3, 24, 25	znunit 21449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
27	2, 23, 26	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
28	22, 27	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
29	28	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
30	19, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
31	30	eqabdv 2861	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)})
32		df-rab 3403	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)}
33	31, 32	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
34	33	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
35		f1ocnv 6794	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁))
36		f1of1 6781	. . . . 5 ⊢ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
37	16, 35, 36	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
38		ovexd 7404	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ∈ V)
39	4, 24	unitss 20261	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌)
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌))
41	24	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ∈ V)
43		f1imaen2g 8963	. . . 4 ⊢ (((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝑈 ∈ V)) → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
44	37, 38, 40, 42, 43	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
45		hasheni 14289	. . 3 ⊢ ((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈 → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
47	1, 34, 46	3eqtr2rd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ifcif 4484   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   “ cima 5634   Fn wfn 6494  –1-1→wf1 6496  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≈ cen 8892  0cc0 11044  1c1 11045  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271   gcd cgcd 16440  ϕcphi 16710  Basecbs 17155  Unitcui 20240  ℤRHomczrh 21385  ℤ/nℤczn 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-phi 16712  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-eqg 19033  df-ghm 19121  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095  df-2idl 21136  df-cnfld 21241  df-zring 21333  df-zrh 21389  df-zn 21392

This theorem is referenced by:  dchrfi  27142  dchrsum2  27155  aks6d1c4  42085