Theorem znunithash 21519

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunithash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 16701	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		nnnn0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
6		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
7	3, 4, 5, 6	znf1o 21506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
9		nnne0 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
10		ifnefalse 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11		reseq2 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)))
12	11	f1oeq1d 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
13		f1oeq2 6763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
14	12, 13	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
15	9, 10, 14	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
17		f1ofn 6775	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		elpreima 7003	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
20		fvres 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈))
23		elfzoelz 13575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
24		znunit.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
25		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
26	3, 24, 25	znunit 21518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
27	2, 23, 26	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
28	22, 27	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
29	28	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
30	19, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
31	30	eqabdv 2869	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)})
32		df-rab 3400	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)}
33	31, 32	eqtr4di 2789	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
34	33	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
35		f1ocnv 6786	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁))
36		f1of1 6773	. . . . 5 ⊢ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
37	16, 35, 36	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
38		ovexd 7393	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ∈ V)
39	4, 24	unitss 20312	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌)
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌))
41	24	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ∈ V)
43		f1imaen2g 8952	. . . 4 ⊢ (((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝑈 ∈ V)) → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
44	37, 38, 40, 42, 43	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
45		hasheni 14271	. . 3 ⊢ ((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈 → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
47	1, 34, 46	3eqtr2rd 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714   ≠ wne 2932  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ifcif 4479   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   “ cima 5627   Fn wfn 6487  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ≈ cen 8880  0cc0 11026  1c1 11027  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253   gcd cgcd 16421  ϕcphi 16691  Basecbs 17136  Unitcui 20291  ℤRHomczrh 21454  ℤ/nℤczn 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-phi 16693  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-imas 17429  df-qus 17430  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-2idl 21205  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-zn 21461

This theorem is referenced by:  dchrfi  27222  dchrsum2  27235  aks6d1c4  42378