MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunithash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znunithash 20994
Description: The size of the unit group of β„€/nβ„€. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znunithash (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))

Proof of Theorem znunithash
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfphi2 16654 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1}))
2 nnnn0 12428 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 znchr.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
73, 4, 5, 6znf1o 20981 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
9 nnne0 12195 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
10 ifnefalse 4502 . . . . . . . . 9 (𝑁 β‰  0 β†’ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11 reseq2 5936 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)))
1211f1oeq1d 6783 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
13 f1oeq2 6777 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
1412, 13bitrd 279 . . . . . . . . 9 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
159, 10, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
168, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
17 f1ofn 6789 . . . . . . 7 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18 elpreima 7012 . . . . . . 7 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)))
20 fvres 6865 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))
2120adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))
2221eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ))
23 elfzoelz 13581 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
24 znunit.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
263, 24, 25znunit 20993 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
272, 23, 26syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
2822, 27bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
2928pm5.32da 580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)))
3019, 29bitrd 279 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)))
3130abbi2dv 2868 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)})
32 df-rab 3407 . . . 4 {π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)}
3331, 32eqtr4di 2791 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) = {π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1})
3433fveq2d 6850 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1}))
35 f1ocnv 6800 . . . . 5 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
36 f1of1 6787 . . . . 5 (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁) β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁))
3716, 35, 363syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁))
38 ovexd 7396 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^𝑁) ∈ V)
394, 24unitss 20097 . . . . 5 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)
4039a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4124fvexi 6860 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
4241a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ ∈ V)
43 f1imaen2g 8961 . . . 4 (((β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ π‘ˆ ∈ V)) β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ)
4437, 38, 40, 42, 43syl22anc 838 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ)
45 hasheni 14257 . . 3 ((β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
4644, 45syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
471, 34, 463eqtr2rd 2780 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β‰ˆ cen 8886  0cc0 11059  1c1 11060  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239   gcd cgcd 16382  Ο•cphi 16644  Basecbs 17091  Unitcui 20076  β„€RHomczrh 20923  β„€/nβ„€czn 20926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-phi 16646  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-nsg 18934  df-eqg 18935  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680  df-rsp 20681  df-2idl 20747  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-zn 20930
This theorem is referenced by:  dchrfi  26626  dchrsum2  26639
  Copyright terms: Public domain W3C validator