Theorem znunithash 20705

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunithash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 16105	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		nnnn0 11898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
6		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
7	3, 4, 5, 6	znf1o 20692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
9		nnne0 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
10		ifnefalse 4478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11		reseq2 5842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)))
12		f1oeq1 6598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
14		f1oeq2 6599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
15	13, 14	bitrd 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
16	9, 10, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
17	8, 16	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
18		f1ofn 6610	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
19		elpreima 6822	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
21		fvres 6683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
22	21	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
23	22	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈))
24		elfzoelz 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
25		znunit.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
26		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
27	3, 25, 26	znunit 20704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
28	2, 24, 27	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
29	23, 28	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
30	29	pm5.32da 581	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
31	20, 30	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
32	31	abbi2dv 2950	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)})
33		df-rab 3147	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)}
34	32, 33	syl6eqr 2874	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
35	34	fveq2d 6668	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
36		f1ocnv 6621	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁))
37		f1of1 6608	. . . . 5 ⊢ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
38	17, 36, 37	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
39		ovexd 7185	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ∈ V)
40	4, 25	unitss 19404	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌)
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌))
42	25	fvexi 6678	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ∈ V)
44		f1imaen2g 8564	. . . 4 ⊢ (((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝑈 ∈ V)) → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
45	38, 39, 41, 43, 44	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
46		hasheni 13702	. . 3 ⊢ ((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈 → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
47	45, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
48	1, 35, 47	3eqtr2rd 2863	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799   ≠ wne 3016  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ifcif 4466   class class class wbr 5058  ^◡ccnv 5548   ↾ cres 5551   “ cima 5552   Fn wfn 6344  –1-1→wf1 6346  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ≈ cen 8500  0cc0 10531  1c1 10532  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684   gcd cgcd 15837  ϕcphi 16095  Basecbs 16477  Unitcui 19383  ℤRHomczrh 20641  ℤ/nℤczn 20644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-phi 16097  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-nsg 18271  df-eqg 18272  df-ghm 18350  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-rnghom 19461  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-lidl 19940  df-rsp 19941  df-2idl 19999  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zrh 20645  df-zn 20648

This theorem is referenced by:  dchrfi  25825  dchrsum2  25838