MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunithash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem znunithash 21119
Description: The size of the unit group of β„€/nβ„€. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znunithash (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
Proof of Theorem znunithash
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfphi2 16706 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1}))
2 nnnn0 12478 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 znchr.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)))
6 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
73, 4, 5, 6znf1o 21106 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
9 nnne0 12245 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
10 ifnefalse 4540 . . . . . . . . 9 (𝑁 β‰  0 β†’ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)))
1211f1oeq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
13 f1oeq2 6822 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
1412, 13bitrd 278 . . . . . . . . 9 (if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
159, 10, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ)))
168, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
17 f1ofn 6834 . . . . . . 7 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18 elpreima 7059 . . . . . . 7 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)))
20 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))
2221eleq1d 2818 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ))
23 elfzoelz 13631 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
24 znunit.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
263, 24, 25znunit 21118 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
272, 23, 26syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
2822, 27bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1))
2928pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁))β€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)))
3019, 29bitrd 278 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)))
3130eqabdv 2867 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)})
32 df-rab 3433 . . . 4 {π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1)}
3331, 32eqtr4di 2790 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) = {π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1})
3433fveq2d 6895 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π‘₯ gcd 𝑁) = 1}))
35 f1ocnv 6845 . . . . 5 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
36 f1of1 6832 . . . . 5 (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁) β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁))
3716, 35, 363syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁))
38 ovexd 7443 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^𝑁) ∈ V)
394, 24unitss 20189 . . . . 5 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)
4039a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4124fvexi 6905 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
4241a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ ∈ V)
43 f1imaen2g 9010 . . . 4 (((β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)):(Baseβ€˜π‘Œ)–1-1β†’(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ π‘ˆ ∈ V)) β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ)
4437, 38, 40, 42, 43syl22anc 837 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ)
45 hasheni 14307 . . 3 ((β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ) β‰ˆ π‘ˆ β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
4644, 45syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(β—‘((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ (0..^𝑁)) β€œ π‘ˆ)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
471, 34, 463eqtr2rd 2779 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β‰ˆ cen 8935  0cc0 11109  1c1 11110  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  ..^cfzo 13626  β™―chash 14289   gcd cgcd 16434  Ο•cphi 16696  Basecbs 17143  Unitcui 20168  β„€RHomczrh 21048  β„€/nβ„€czn 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-phi 16698  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055
This theorem is referenced by:  dchrfi  26755  dchrsum2  26768
  Copyright terms: Public domain W3C validator