Theorem znunithash 21501

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunithash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 16685	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		nnnn0 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
6		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
7	3, 4, 5, 6	znf1o 21488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
9		nnne0 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
10		ifnefalse 4484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11		reseq2 5922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)))
12	11	f1oeq1d 6758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
13		f1oeq2 6752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
14	12, 13	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
15	9, 10, 14	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
17		f1ofn 6764	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		elpreima 6991	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
20		fvres 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈))
23		elfzoelz 13559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
24		znunit.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
25		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
26	3, 24, 25	znunit 21500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
27	2, 23, 26	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
28	22, 27	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
29	28	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
30	19, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
31	30	eqabdv 2864	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)})
32		df-rab 3396	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)}
33	31, 32	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
34	33	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
35		f1ocnv 6775	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁))
36		f1of1 6762	. . . . 5 ⊢ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
37	16, 35, 36	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
38		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ∈ V)
39	4, 24	unitss 20294	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌)
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌))
41	24	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ∈ V)
43		f1imaen2g 8937	. . . 4 ⊢ (((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝑈 ∈ V)) → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
44	37, 38, 40, 42, 43	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
45		hasheni 14255	. . 3 ⊢ ((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈 → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
47	1, 34, 46	3eqtr2rd 2773	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ≠ wne 2928  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616   “ cima 5617   Fn wfn 6476  –1-1→wf1 6478  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≈ cen 8866  0cc0 11006  1c1 11007  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237   gcd cgcd 16405  ϕcphi 16675  Basecbs 17120  Unitcui 20273  ℤRHomczrh 21436  ℤ/nℤczn 21439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-phi 16677  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-nsg 19037  df-eqg 19038  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-2idl 21187  df-cnfld 21292  df-zring 21384  df-zrh 21440  df-zn 21443

This theorem is referenced by:  dchrfi  27193  dchrsum2  27206  aks6d1c4  42165