Theorem znunithash 21517

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunithash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 16699	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		nnnn0 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
6		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
7	3, 4, 5, 6	znf1o 21504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌))
9		nnne0 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
10		ifnefalse 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
11		reseq2 5931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)))
12	11	f1oeq1d 6767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
13		f1oeq2 6761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
14	12, 13	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
15	9, 10, 14	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
17		f1ofn 6773	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		elpreima 7001	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈)))
20		fvres 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
22	21	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈))
23		elfzoelz 13573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
24		znunit.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
25		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
26	3, 24, 25	znunit 21516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
27	2, 23, 26	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
28	22, 27	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 gcd 𝑁) = 1))
29	28	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁))‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
30	19, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)))
31	30	eqabdv 2867	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)})
32		df-rab 3398	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)}
33	31, 32	eqtr4di 2787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
34	33	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
35		f1ocnv 6784	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁))
36		f1of1 6771	. . . . 5 ⊢ (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1-onto→(0..^𝑁) → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
37	16, 35, 36	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁))
38		ovexd 7391	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ∈ V)
39	4, 24	unitss 20310	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌)
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑌))
41	24	fvexi 6846	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ∈ V)
43		f1imaen2g 8950	. . . 4 ⊢ (((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)):(Base‘𝑌)–1-1→(0..^𝑁) ∧ (0..^𝑁) ∈ V) ∧ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝑈 ∈ V)) → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
44	37, 38, 40, 42, 43	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈)
45		hasheni 14269	. . 3 ⊢ ((◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈) ≈ 𝑈 → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(◡((ℤRHom‘𝑌) ↾ (0..^𝑁)) “ 𝑈)) = (♯‘𝑈))
47	1, 34, 46	3eqtr2rd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712   ≠ wne 2930  {crab 3397  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ifcif 4477   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   “ cima 5625   Fn wfn 6485  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ≈ cen 8878  0cc0 11024  1c1 11025  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251   gcd cgcd 16419  ϕcphi 16689  Basecbs 17134  Unitcui 20289  ℤRHomczrh 21452  ℤ/nℤczn 21455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-phi 16691  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-imas 17427  df-qus 17428  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-eqg 19053  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-rsp 21162  df-2idl 21203  df-cnfld 21308  df-zring 21400  df-zrh 21456  df-zn 21459

This theorem is referenced by:  dchrfi  27220  dchrsum2  27233  aks6d1c4  42317