MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oexrnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oexrnex 7378
Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1oexrnex ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1ocnv 6391 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3 f1of 6379 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
41, 2, 33syl 18 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹:𝐵𝐴)
5 fex 6746 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
64, 5sylancom 584 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
7 f1orel 6382 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
87adantr 474 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → Rel 𝐹)
9 relcnvexb 7377 . . 3 (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))
108, 9syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))
116, 10mpbird 249 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2166  Vcvv 3415  ccnv 5342  Rel wrel 5348  wf 6120  1-1-ontowf1o 6123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132
This theorem is referenced by:  gsumzf1o  18667  poimirlem3  33957  poimirlem24  33978  poimirlem25  33979
  Copyright terms: Public domain W3C validator