Theorem f1oexrnex 7860

Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1oexrnex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		f1ocnv 6776	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		f1of 6764	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
5		fex 7162	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
6	4, 5	sylancom 588	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
7		f1orel 6767	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Rel 𝐹)
9		relcnvexb 7859	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ^◡ccnv 5618  Rel wrel 5624  ⟶wf 6478  –1-1-onto→wf1o 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490

This theorem is referenced by:  gsumzf1o  19791  poimirlem3  37603  poimirlem24  37624  poimirlem25  37625