Theorem f1oexrnex 7903

Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1oexrnex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		f1ocnv 6812	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		f1of 6800	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
5		fex 7200	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
6	4, 5	sylancom 588	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
7		f1orel 6803	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Rel 𝐹)
9		relcnvexb 7902	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ^◡ccnv 5637  Rel wrel 5643  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  gsumzf1o  19842  poimirlem3  37617  poimirlem24  37638  poimirlem25  37639