Theorem f1oexrnex 7941

Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1oexrnex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		f1ocnv 6840	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		f1of 6827	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
5		fex 7234	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
6	4, 5	sylancom 600	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
7		f1orel 6830	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Rel 𝐹)
9		relcnvexb 7940	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655  ⟶wf 6537  –1-1-onto→wf1o 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549

This theorem is used by:  gsumzf1o  20133  poimirlem3  38648  poimirlem24  38669  poimirlem25  38670