Theorem f1oexrnex 7917

Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1oexrnex	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		f1ocnv 6839	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		f1of 6827	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
5		fex 7223	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
6	4, 5	sylancom 587	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
7		f1orel 6830	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Rel 𝐹)
9		relcnvexb 7916	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ^◡ccnv 5668  Rel wrel 5674  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  gsumzf1o  19832  poimirlem3  37004  poimirlem24  37025  poimirlem25  37026