Theorem f1oexrnex 7973

Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1oexrnex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵)
2		f1ocnv 6867	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐴)
3		f1of 6854	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
5		fex 7263	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
6	4, 5	sylancom 600	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ◡𝐹 ∈ V)
7		f1orel 6857	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → Rel 𝐹)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Rel 𝐹)
9		relcnvexb 7972	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ ◡𝐹 ∈ V))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ^◡ccnv 5657  Rel wrel 5663  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574

This theorem is used by:  gsumzf1o  20177  poimirlem3  38809  poimirlem24  38830  poimirlem25  38831