MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oexrnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oexrnex 7933
Description: If the range of a 1-1 onto function is a set, the function itself is a set. (Contributed by AV, 2-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1oexrnex ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem f1oexrnex
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1ocnv 6846 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3 f1of 6834 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
41, 2, 33syl 18 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹:𝐵𝐴)
5 fex 7234 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
64, 5sylancom 586 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
7 f1orel 6837 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
87adantr 479 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → Rel 𝐹)
9 relcnvexb 7932 . . 3 (Rel 𝐹 → (𝐹 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))
108, 9syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → (𝐹 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V))
116, 10mpbird 256 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  Vcvv 3463  ccnv 5671  Rel wrel 5677  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551
This theorem is referenced by:  gsumzf1o  19871  poimirlem3  37153  poimirlem24  37174  poimirlem25  37175
  Copyright terms: Public domain W3C validator