Theorem fex 7225

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6702	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7216	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541

This theorem is used by:  fexd  7226  f1oexrnex  7924  fsuppeq  8173  suppsnop  8176  f1domg  8977  ffsuppbi  9368  mapfienlem2  9376  oiexg  9507  infxpenc2lem2  10023  isf32lem10  10364  hasheqf1oi  14415  hashf1rn  14416  hashimarn  14505  iswrd  14580  climsup  15757  fsum  15806  supcvg  15945  fprod  16028  vdwmc  17070  vdwpc  17072  elsymgbas  19501  gsumval3a  20030  gsumval3lem1  20032  gsumval3lem2  20033  dmdprd  20127  cnfldfun  21599  cnfldfunALT  21600  tngngp3  24882  climcncf  25128  ulmval  26616  pserulm  26658  isismt  28876  isgrpoi  30979  isvcOLD  31060  isnv  31093  cnnvg  31159  cnnvs  31161  cnnvnm  31162  cncph  31300  ajval  31342  hvmulex  31492  hhph  31659  hlimi  31669  chlimi  31715  hhssva  31738  hhsssm  31739  hhssnm  31740  hhshsslem1  31748  elunop  32353  adjeq  32416  leoprf2  32608  fpwrelmapffslem  33203  ccatws1f1o  33393  lmdvg  34463  esumpfinvallem  34584  omsf  34807  eulerpartgbij  34883  eulerpartlemmf  34886  subfacp1lem5  35763  sinccvglem  36251  poimirlem24  38393  mbfresfi  38415  elghomlem2OLD  38636  islaut  40956  ispautN  40972  istendo  41633  binomcxplemnotnn0  45180  climexp  46435  climinf  46436  stirlinglem8  46909  fourierdlem70  47004  ismea  47279  meadjiunlem  47293  grtriclwlk3  48861  isassintop  49125  fdivmpt  49470  elbigolo1  49487  fucofvalne  50251