Theorem fex 7263

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6739	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7254	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574

This theorem is used by:  fexd  7264  f1oexrnex  7973  fsuppeq  8230  suppsnop  8233  f1domg  9036  ffsuppbi  9427  mapfienlem2  9435  oiexg  9566  infxpenc2lem2  10138  isf32lem10  10479  hasheqf1oi  14536  hashf1rn  14537  hashimarn  14626  iswrd  14701  climsup  15881  fsum  15930  supcvg  16069  fprod  16152  vdwmc  17200  vdwpc  17202  elsymgbas  19639  gsumval3a  20168  gsumval3lem1  20170  gsumval3lem2  20171  dmdprd  20265  cnfldfun  21744  cnfldfunALT  21745  tngngp3  25030  climcncf  25276  ulmval  26764  pserulm  26806  isismt  29054  isgrpoi  31157  isvcOLD  31238  isnv  31271  cnnvg  31337  cnnvs  31339  cnnvnm  31340  cncph  31478  ajval  31520  hvmulex  31670  hhph  31837  hlimi  31847  chlimi  31893  hhssva  31916  hhsssm  31917  hhssnm  31918  hhshsslem1  31926  elunop  32531  adjeq  32594  leoprf2  32786  fpwrelmapffslem  33420  ccatws1f1o  33610  lmdvg  34696  esumpfinvallem  34817  omsf  35039  eulerpartgbij  35115  eulerpartlemmf  35118  subfacp1lem5  36157  sinccvglem  36645  poimirlem24  38830  mbfresfi  38852  elghomlem2OLD  39086  islaut  41406  ispautN  41422  istendo  42083  binomcxplemnotnn0  45601  climexp  46890  climinf  46891  stirlinglem8  47364  fourierdlem70  47459  ismea  47734  meadjiunlem  47748  grtriclwlk3  49316  isassintop  49580  fdivmpt  49983  elbigolo1  50000  fucofvalne  50778