Theorem fex 7181

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6668	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7172	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  fexd  7182  f1oexrnex  7878  fsuppeq  8125  suppsnop  8128  f1domg  8918  ffsuppbi  9311  mapfienlem2  9319  oiexg  9450  infxpenc2lem2  9942  isf32lem10  10284  hasheqf1oi  14313  hashf1rn  14314  hashimarn  14402  iswrd  14477  climsup  15632  fsum  15682  supcvg  15821  fprod  15906  vdwmc  16949  vdwpc  16951  isghmOLD  19191  elsymgbas  19349  gsumval3a  19878  gsumval3lem1  19880  gsumval3lem2  19881  dmdprd  19975  cnfldfun  21366  cnfldfunALT  21367  tngngp3  24621  climcncf  24867  ulmval  26345  pserulm  26387  elnoOLD  27610  isismt  28602  isgrpoi  30569  isvcOLD  30650  isnv  30683  cnnvg  30749  cnnvs  30751  cnnvnm  30752  cncph  30890  ajval  30932  hvmulex  31082  hhph  31249  hlimi  31259  chlimi  31305  hhssva  31328  hhsssm  31329  hhssnm  31330  hhshsslem1  31338  elunop  31943  adjeq  32006  leoprf2  32198  fpwrelmapffslem  32805  ccatws1f1o  33011  lmdvg  34097  esumpfinvallem  34218  omsf  34440  eulerpartgbij  34516  eulerpartlemmf  34519  subfacp1lem5  35366  sinccvglem  35854  poimirlem24  37965  mbfresfi  37987  elghomlem2OLD  38207  islaut  40529  ispautN  40545  istendo  41206  binomcxplemnotnn0  44783  climexp  46035  climinf  46036  stirlinglem8  46509  fourierdlem70  46604  ismea  46879  meadjiunlem  46893  grtriclwlk3  48421  isassintop  48686  fdivmpt  49016  elbigolo1  49033  fucofvalne  49800