Theorem fex 7183

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6670	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7174	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  fexd  7184  f1oexrnex  7880  fsuppeq  8127  suppsnop  8130  f1domg  8920  ffsuppbi  9313  mapfienlem2  9321  oiexg  9452  infxpenc2lem2  9944  isf32lem10  10286  hasheqf1oi  14315  hashf1rn  14316  hashimarn  14404  iswrd  14479  climsup  15634  fsum  15684  supcvg  15823  fprod  15908  vdwmc  16951  vdwpc  16953  isghmOLD  19193  elsymgbas  19351  gsumval3a  19880  gsumval3lem1  19882  gsumval3lem2  19883  dmdprd  19977  cnfldfun  21368  cnfldfunALT  21369  tngngp3  24623  climcncf  24869  ulmval  26347  pserulm  26389  elnoOLD  27612  isismt  28604  isgrpoi  30571  isvcOLD  30652  isnv  30685  cnnvg  30751  cnnvs  30753  cnnvnm  30754  cncph  30892  ajval  30934  hvmulex  31084  hhph  31251  hlimi  31261  chlimi  31307  hhssva  31330  hhsssm  31331  hhssnm  31332  hhshsslem1  31340  elunop  31945  adjeq  32008  leoprf2  32200  fpwrelmapffslem  32807  ccatws1f1o  33013  lmdvg  34099  esumpfinvallem  34220  omsf  34442  eulerpartgbij  34518  eulerpartlemmf  34521  subfacp1lem5  35368  sinccvglem  35856  poimirlem24  37967  mbfresfi  37989  elghomlem2OLD  38209  islaut  40531  ispautN  40547  istendo  41208  binomcxplemnotnn0  44785  climexp  46037  climinf  46038  stirlinglem8  46511  fourierdlem70  46606  ismea  46881  meadjiunlem  46895  grtriclwlk3  48423  isassintop  48688  fdivmpt  49018  elbigolo1  49035  fucofvalne  49802