Theorem fex 7182

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6670	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7173	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  fexd  7183  f1oexrnex  7879  fsuppeq  8127  suppsnop  8130  f1domg  8920  ffsuppbi  9313  mapfienlem2  9321  oiexg  9452  infxpenc2lem2  9942  isf32lem10  10284  hasheqf1oi  14286  hashf1rn  14287  hashimarn  14375  iswrd  14450  climsup  15605  fsum  15655  supcvg  15791  fprod  15876  vdwmc  16918  vdwpc  16920  isghmOLD  19157  elsymgbas  19315  gsumval3a  19844  gsumval3lem1  19846  gsumval3lem2  19847  dmdprd  19941  cnfldfun  21335  cnfldfunALT  21336  cnfldfunOLD  21348  cnfldfunALTOLD  21349  tngngp3  24612  climcncf  24861  ulmval  26357  pserulm  26399  elnoOLD  27626  isismt  28618  isgrpoi  30586  isvcOLD  30667  isnv  30700  cnnvg  30766  cnnvs  30768  cnnvnm  30769  cncph  30907  ajval  30949  hvmulex  31099  hhph  31266  hlimi  31276  chlimi  31322  hhssva  31345  hhsssm  31346  hhssnm  31347  hhshsslem1  31355  elunop  31960  adjeq  32023  leoprf2  32215  fpwrelmapffslem  32822  ccatws1f1o  33044  lmdvg  34131  esumpfinvallem  34252  omsf  34474  eulerpartgbij  34550  eulerpartlemmf  34553  subfacp1lem5  35400  sinccvglem  35888  poimirlem24  37895  mbfresfi  37917  elghomlem2OLD  38137  islaut  40459  ispautN  40475  istendo  41136  binomcxplemnotnn0  44712  climexp  45965  climinf  45966  stirlinglem8  46439  fourierdlem70  46534  ismea  46809  meadjiunlem  46823  grtriclwlk3  48305  isassintop  48570  fdivmpt  48900  elbigolo1  48917  fucofvalne  49684