Theorem fex 7174

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6662	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7165	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fexd  7175  f1oexrnex  7871  fsuppeq  8118  suppsnop  8121  f1domg  8911  ffsuppbi  9304  mapfienlem2  9312  oiexg  9443  infxpenc2lem2  9933  isf32lem10  10275  hasheqf1oi  14304  hashf1rn  14305  hashimarn  14393  iswrd  14468  climsup  15623  fsum  15673  supcvg  15812  fprod  15897  vdwmc  16940  vdwpc  16942  isghmOLD  19182  elsymgbas  19340  gsumval3a  19869  gsumval3lem1  19871  gsumval3lem2  19872  dmdprd  19966  cnfldfun  21358  cnfldfunALT  21359  cnfldfunOLD  21371  cnfldfunALTOLD  21372  tngngp3  24631  climcncf  24877  ulmval  26358  pserulm  26400  elnoOLD  27624  isismt  28616  isgrpoi  30584  isvcOLD  30665  isnv  30698  cnnvg  30764  cnnvs  30766  cnnvnm  30767  cncph  30905  ajval  30947  hvmulex  31097  hhph  31264  hlimi  31274  chlimi  31320  hhssva  31343  hhsssm  31344  hhssnm  31345  hhshsslem1  31353  elunop  31958  adjeq  32021  leoprf2  32213  fpwrelmapffslem  32820  ccatws1f1o  33026  lmdvg  34113  esumpfinvallem  34234  omsf  34456  eulerpartgbij  34532  eulerpartlemmf  34535  subfacp1lem5  35382  sinccvglem  35870  poimirlem24  37979  mbfresfi  38001  elghomlem2OLD  38221  islaut  40543  ispautN  40559  istendo  41220  binomcxplemnotnn0  44801  climexp  46053  climinf  46054  stirlinglem8  46527  fourierdlem70  46622  ismea  46897  meadjiunlem  46911  grtriclwlk3  48433  isassintop  48698  fdivmpt  49028  elbigolo1  49045  fucofvalne  49812