Theorem fex 7228

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6718	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7219	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  fexd  7229  f1oexrnex  7918  fsuppeq  8160  suppsnop  8163  f1domg  8968  ffsuppbi  9393  mapfienlem2  9401  oiexg  9530  infxpenc2lem2  10015  isf32lem10  10357  hasheqf1oi  14311  hashf1rn  14312  hashimarn  14400  iswrd  14466  climsup  15616  fsum  15666  supcvg  15802  fprod  15885  vdwmc  16911  vdwpc  16913  isghm  19092  elsymgbas  19241  gsumval3a  19771  gsumval3lem1  19773  gsumval3lem2  19774  dmdprd  19868  cnfldfun  20956  cnfldfunALT  20957  cnfldfunALTOLD  20958  tngngp3  24173  climcncf  24416  ulmval  25892  pserulm  25934  elno  27149  isismt  27785  isgrpoi  29751  isvcOLD  29832  isnv  29865  cnnvg  29931  cnnvs  29933  cnnvnm  29934  cncph  30072  ajval  30114  hvmulex  30264  hhph  30431  hlimi  30441  chlimi  30487  hhssva  30510  hhsssm  30511  hhssnm  30512  hhshsslem1  30520  elunop  31125  adjeq  31188  leoprf2  31380  fpwrelmapffslem  31957  lmdvg  32933  esumpfinvallem  33072  omsf  33295  eulerpartgbij  33371  eulerpartlemmf  33374  subfacp1lem5  34175  sinccvglem  34657  poimirlem24  36512  mbfresfi  36534  elghomlem2OLD  36754  islaut  38954  ispautN  38970  istendo  39631  binomcxplemnotnn0  43115  climexp  44321  climinf  44322  stirlinglem8  44797  fourierdlem70  44892  ismea  45167  meadjiunlem  45181  isassintop  46620  fdivmpt  47226  elbigolo1  47243