Theorem fex 7170

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6655	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7161	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 586	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493

This theorem is referenced by:  fexd  7171  f1oexrnex  7867  fsuppeq  8115  suppsnop  8118  f1domg  8908  ffsuppbi  9301  mapfienlem2  9309  oiexg  9440  infxpenc2lem2  9933  isf32lem10  10275  hasheqf1oi  14304  hashf1rn  14305  hashimarn  14393  iswrd  14468  climsup  15623  fsum  15673  supcvg  15812  fprod  15897  vdwmc  16940  vdwpc  16942  isghmOLD  19182  elsymgbas  19340  gsumval3a  19869  gsumval3lem1  19871  gsumval3lem2  19872  dmdprd  19966  cnfldfun  21361  cnfldfunALT  21362  tngngp3  24639  climcncf  24885  ulmval  26363  pserulm  26405  elnoOLD  27628  isismt  28620  isgrpoi  30587  isvcOLD  30668  isnv  30701  cnnvg  30767  cnnvs  30769  cnnvnm  30770  cncph  30908  ajval  30950  hvmulex  31100  hhph  31267  hlimi  31277  chlimi  31323  hhssva  31346  hhsssm  31347  hhssnm  31348  hhshsslem1  31356  elunop  31961  adjeq  32024  leoprf2  32216  fpwrelmapffslem  32824  ccatws1f1o  33030  lmdvg  34137  esumpfinvallem  34258  omsf  34480  eulerpartgbij  34556  eulerpartlemmf  34559  subfacp1lem5  35412  sinccvglem  35900  poimirlem24  38011  mbfresfi  38033  elghomlem2OLD  38253  islaut  40575  ispautN  40591  istendo  41252  binomcxplemnotnn0  44800  climexp  46050  climinf  46051  stirlinglem8  46524  fourierdlem70  46619  ismea  46894  meadjiunlem  46908  grtriclwlk3  48436  isassintop  48701  fdivmpt  49031  elbigolo1  49048  fucofvalne  49815