Theorem fex 7234

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6712	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7225	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549

This theorem is used by:  fexd  7235  f1oexrnex  7941  fsuppeq  8197  suppsnop  8200  f1domg  9003  ffsuppbi  9395  mapfienlem2  9403  oiexg  9534  infxpenc2lem2  10104  isf32lem10  10445  hasheqf1oi  14500  hashf1rn  14501  hashimarn  14590  iswrd  14665  climsup  15844  fsum  15893  supcvg  16032  fprod  16115  vdwmc  17163  vdwpc  17165  elsymgbas  19595  gsumval3a  20124  gsumval3lem1  20126  gsumval3lem2  20127  dmdprd  20221  cnfldfun  21699  cnfldfunALT  21700  tngngp3  24982  climcncf  25228  ulmval  26714  pserulm  26756  isismt  29004  isgrpoi  31107  isvcOLD  31188  isnv  31221  cnnvg  31287  cnnvs  31289  cnnvnm  31290  cncph  31428  ajval  31470  hvmulex  31620  hhph  31787  hlimi  31797  chlimi  31843  hhssva  31866  hhsssm  31867  hhssnm  31868  hhshsslem1  31876  elunop  32481  adjeq  32544  leoprf2  32736  fpwrelmapffslem  33372  ccatws1f1o  33562  lmdvg  34633  esumpfinvallem  34754  omsf  34976  eulerpartgbij  35052  eulerpartlemmf  35055  subfacp1lem5  36037  sinccvglem  36525  poimirlem24  38669  mbfresfi  38691  elghomlem2OLD  38927  islaut  41247  ispautN  41263  istendo  41924  binomcxplemnotnn0  45447  climexp  46724  climinf  46725  stirlinglem8  47198  fourierdlem70  47293  ismea  47568  meadjiunlem  47582  grtriclwlk3  49150  isassintop  49414  fdivmpt  49759  elbigolo1  49776  fucofvalne  50554