Theorem fex 7222

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6703	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7213	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542

This theorem is referenced by:  fexd  7223  f1oexrnex  7920  fsuppeq  8167  suppsnop  8170  f1domg  8964  ffsuppbi  9354  mapfienlem2  9362  oiexg  9493  infxpenc2lem2  10000  isf32lem10  10342  hasheqf1oi  14383  hashf1rn  14384  hashimarn  14473  iswrd  14548  climsup  15717  fsum  15767  supcvg  15906  fprod  15991  vdwmc  17034  vdwpc  17036  elsymgbas  19440  gsumval3a  19969  gsumval3lem1  19971  gsumval3lem2  19972  dmdprd  20066  cnfldfun  21501  cnfldfunALT  21502  tngngp3  24778  climcncf  25024  ulmval  26505  pserulm  26547  isismt  28765  isgrpoi  30787  isvcOLD  30868  isnv  30901  cnnvg  30967  cnnvs  30969  cnnvnm  30970  cncph  31108  ajval  31150  hvmulex  31300  hhph  31467  hlimi  31477  chlimi  31523  hhssva  31546  hhsssm  31547  hhssnm  31548  hhshsslem1  31556  elunop  32161  adjeq  32224  leoprf2  32416  fpwrelmapffslem  33014  ccatws1f1o  33208  lmdvg  34284  esumpfinvallem  34405  omsf  34627  eulerpartgbij  34703  eulerpartlemmf  34706  subfacp1lem5  35571  sinccvglem  36059  poimirlem24  38178  mbfresfi  38200  elghomlem2OLD  38420  islaut  40742  ispautN  40758  istendo  41419  binomcxplemnotnn0  44953  climexp  46208  climinf  46209  stirlinglem8  46682  fourierdlem70  46777  ismea  47052  meadjiunlem  47066  grtriclwlk3  48594  isassintop  48859  fdivmpt  49200  elbigolo1  49217  fucofvalne  49983