Theorem fex 7084

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6584	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7075	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  fexd  7085  f1oexrnex  7748  frnsuppeq  7962  suppsnop  7965  f1domg  8715  frnfsuppbi  9087  mapfienlem2  9095  oiexg  9224  infxpenc2lem2  9707  isf32lem10  10049  focdmex  13993  hasheqf1oi  13994  hashf1rn  13995  hashimarn  14083  iswrd  14147  climsup  15309  fsum  15360  supcvg  15496  fprod  15579  vdwmc  16607  vdwpc  16609  isghm  18749  elsymgbas  18896  gsumval3a  19419  gsumval3lem1  19421  gsumval3lem2  19422  dmdprd  19516  cnfldfun  20522  cnfldfunALT  20523  tngngp3  23726  climcncf  23969  ulmval  25444  pserulm  25486  isismt  26799  isgrpoi  28761  isvcOLD  28842  isnv  28875  cnnvg  28941  cnnvs  28943  cnnvnm  28944  cncph  29082  ajval  29124  hvmulex  29274  hhph  29441  hlimi  29451  chlimi  29497  hhssva  29520  hhsssm  29521  hhssnm  29522  hhshsslem1  29530  elunop  30135  adjeq  30198  leoprf2  30390  fpwrelmapffslem  30969  lmdvg  31805  esumpfinvallem  31942  omsf  32163  eulerpartgbij  32239  eulerpartlemmf  32242  subfacp1lem5  33046  sinccvglem  33530  elno  33776  poimirlem24  35728  mbfresfi  35750  elghomlem2OLD  35971  islaut  38024  ispautN  38040  istendo  38701  binomcxplemnotnn0  41863  climexp  43036  climinf  43037  stirlinglem8  43512  fourierdlem70  43607  ismea  43879  meadjiunlem  43893  isassintop  45292  fdivmpt  45774  elbigolo1  45791