Theorem fex 7218

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6706	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7209	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539

This theorem is referenced by:  fexd  7219  f1oexrnex  7923  fsuppeq  8174  suppsnop  8177  f1domg  8986  ffsuppbi  9410  mapfienlem2  9418  oiexg  9549  infxpenc2lem2  10034  isf32lem10  10376  hasheqf1oi  14369  hashf1rn  14370  hashimarn  14458  iswrd  14533  climsup  15686  fsum  15736  supcvg  15872  fprod  15957  vdwmc  16998  vdwpc  17000  isghmOLD  19199  elsymgbas  19355  gsumval3a  19884  gsumval3lem1  19886  gsumval3lem2  19887  dmdprd  19981  cnfldfun  21329  cnfldfunALT  21330  cnfldfunOLD  21342  cnfldfunALTOLD  21343  tngngp3  24595  climcncf  24844  ulmval  26341  pserulm  26383  elnoOLD  27610  isismt  28513  isgrpoi  30479  isvcOLD  30560  isnv  30593  cnnvg  30659  cnnvs  30661  cnnvnm  30662  cncph  30800  ajval  30842  hvmulex  30992  hhph  31159  hlimi  31169  chlimi  31215  hhssva  31238  hhsssm  31239  hhssnm  31240  hhshsslem1  31248  elunop  31853  adjeq  31916  leoprf2  32108  fpwrelmapffslem  32709  ccatws1f1o  32927  lmdvg  33984  esumpfinvallem  34105  omsf  34328  eulerpartgbij  34404  eulerpartlemmf  34407  subfacp1lem5  35206  sinccvglem  35694  poimirlem24  37668  mbfresfi  37690  elghomlem2OLD  37910  islaut  40102  ispautN  40118  istendo  40779  binomcxplemnotnn0  44380  climexp  45634  climinf  45635  stirlinglem8  46110  fourierdlem70  46205  ismea  46480  meadjiunlem  46494  grtriclwlk3  47957  isassintop  48185  fdivmpt  48520  elbigolo1  48537  fucofvalne  49236