Theorem fex 7166

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6656	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7157	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  fexd  7167  f1oexrnex  7867  fsuppeq  8115  suppsnop  8118  f1domg  8904  ffsuppbi  9307  mapfienlem2  9315  oiexg  9446  infxpenc2lem2  9933  isf32lem10  10275  hasheqf1oi  14277  hashf1rn  14278  hashimarn  14366  iswrd  14441  climsup  15596  fsum  15646  supcvg  15782  fprod  15867  vdwmc  16909  vdwpc  16911  isghmOLD  19114  elsymgbas  19272  gsumval3a  19801  gsumval3lem1  19803  gsumval3lem2  19804  dmdprd  19898  cnfldfun  21294  cnfldfunALT  21295  cnfldfunOLD  21307  cnfldfunALTOLD  21308  tngngp3  24561  climcncf  24810  ulmval  26306  pserulm  26348  elnoOLD  27575  isismt  28498  isgrpoi  30461  isvcOLD  30542  isnv  30575  cnnvg  30641  cnnvs  30643  cnnvnm  30644  cncph  30782  ajval  30824  hvmulex  30974  hhph  31141  hlimi  31151  chlimi  31197  hhssva  31220  hhsssm  31221  hhssnm  31222  hhshsslem1  31230  elunop  31835  adjeq  31898  leoprf2  32090  fpwrelmapffslem  32694  ccatws1f1o  32912  lmdvg  33939  esumpfinvallem  34060  omsf  34283  eulerpartgbij  34359  eulerpartlemmf  34362  subfacp1lem5  35176  sinccvglem  35664  poimirlem24  37643  mbfresfi  37665  elghomlem2OLD  37885  islaut  40082  ispautN  40098  istendo  40759  binomcxplemnotnn0  44349  climexp  45606  climinf  45607  stirlinglem8  46082  fourierdlem70  46177  ismea  46452  meadjiunlem  46466  grtriclwlk3  47949  isassintop  48214  fdivmpt  48545  elbigolo1  48562  fucofvalne  49330