Theorem fex 7224

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6705	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7215	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  fexd  7225  f1oexrnex  7920  fsuppeq  8167  suppsnop  8170  f1domg  8964  ffsuppbi  9354  mapfienlem2  9362  oiexg  9493  infxpenc2lem2  10000  isf32lem10  10341  hasheqf1oi  14383  hashf1rn  14384  hashimarn  14473  iswrd  14548  climsup  15717  fsum  15767  supcvg  15906  fprod  15991  vdwmc  17033  vdwpc  17035  elsymgbas  19439  gsumval3a  19968  gsumval3lem1  19970  gsumval3lem2  19971  dmdprd  20065  cnfldfun  21536  cnfldfunALT  21537  tngngp3  24813  climcncf  25059  ulmval  26543  pserulm  26585  isismt  28803  isgrpoi  30850  isvcOLD  30931  isnv  30964  cnnvg  31030  cnnvs  31032  cnnvnm  31033  cncph  31171  ajval  31213  hvmulex  31363  hhph  31530  hlimi  31540  chlimi  31586  hhssva  31609  hhsssm  31610  hhssnm  31611  hhshsslem1  31619  elunop  32224  adjeq  32287  leoprf2  32479  fpwrelmapffslem  33077  ccatws1f1o  33271  lmdvg  34343  esumpfinvallem  34464  omsf  34686  eulerpartgbij  34762  eulerpartlemmf  34765  subfacp1lem5  35676  sinccvglem  36164  poimirlem24  38295  mbfresfi  38317  elghomlem2OLD  38537  islaut  40857  ispautN  40873  istendo  41534  binomcxplemnotnn0  45066  climexp  46321  climinf  46322  stirlinglem8  46795  fourierdlem70  46890  ismea  47165  meadjiunlem  47179  grtriclwlk3  48710  isassintop  48975  fdivmpt  49320  elbigolo1  49337  fucofvalne  50103