Theorem fex 7155

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6646	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7146	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484

This theorem is referenced by:  fexd  7156  f1oexrnex  7852  fsuppeq  8100  suppsnop  8103  f1domg  8889  ffsuppbi  9277  mapfienlem2  9285  oiexg  9416  infxpenc2lem2  9906  isf32lem10  10248  hasheqf1oi  14253  hashf1rn  14254  hashimarn  14342  iswrd  14417  climsup  15572  fsum  15622  supcvg  15758  fprod  15843  vdwmc  16885  vdwpc  16887  isghmOLD  19123  elsymgbas  19281  gsumval3a  19810  gsumval3lem1  19812  gsumval3lem2  19813  dmdprd  19907  cnfldfun  21300  cnfldfunALT  21301  cnfldfunOLD  21313  cnfldfunALTOLD  21314  tngngp3  24566  climcncf  24815  ulmval  26311  pserulm  26353  elnoOLD  27580  isismt  28507  isgrpoi  30470  isvcOLD  30551  isnv  30584  cnnvg  30650  cnnvs  30652  cnnvnm  30653  cncph  30791  ajval  30833  hvmulex  30983  hhph  31150  hlimi  31160  chlimi  31206  hhssva  31229  hhsssm  31230  hhssnm  31231  hhshsslem1  31239  elunop  31844  adjeq  31907  leoprf2  32099  fpwrelmapffslem  32707  ccatws1f1o  32924  lmdvg  33958  esumpfinvallem  34079  omsf  34301  eulerpartgbij  34377  eulerpartlemmf  34380  subfacp1lem5  35220  sinccvglem  35708  poimirlem24  37684  mbfresfi  37706  elghomlem2OLD  37926  islaut  40122  ispautN  40138  istendo  40799  binomcxplemnotnn0  44389  climexp  45645  climinf  45646  stirlinglem8  46119  fourierdlem70  46214  ismea  46489  meadjiunlem  46503  grtriclwlk3  47976  isassintop  48241  fdivmpt  48572  elbigolo1  48589  fucofvalne  49357