Theorem fex 7225

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6715	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7216	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549

This theorem is referenced by:  fexd  7226  f1oexrnex  7915  fsuppeq  8157  suppsnop  8160  f1domg  8965  ffsuppbi  9390  mapfienlem2  9398  oiexg  9527  infxpenc2lem2  10012  isf32lem10  10354  hasheqf1oi  14308  hashf1rn  14309  hashimarn  14397  iswrd  14463  climsup  15613  fsum  15663  supcvg  15799  fprod  15882  vdwmc  16908  vdwpc  16910  isghm  19087  elsymgbas  19236  gsumval3a  19766  gsumval3lem1  19768  gsumval3lem2  19769  dmdprd  19863  cnfldfun  20949  cnfldfunALT  20950  cnfldfunALTOLD  20951  tngngp3  24165  climcncf  24408  ulmval  25884  pserulm  25926  elno  27139  isismt  27775  isgrpoi  29739  isvcOLD  29820  isnv  29853  cnnvg  29919  cnnvs  29921  cnnvnm  29922  cncph  30060  ajval  30102  hvmulex  30252  hhph  30419  hlimi  30429  chlimi  30475  hhssva  30498  hhsssm  30499  hhssnm  30500  hhshsslem1  30508  elunop  31113  adjeq  31176  leoprf2  31368  fpwrelmapffslem  31945  lmdvg  32922  esumpfinvallem  33061  omsf  33284  eulerpartgbij  33360  eulerpartlemmf  33363  subfacp1lem5  34164  sinccvglem  34646  poimirlem24  36501  mbfresfi  36523  elghomlem2OLD  36743  islaut  38943  ispautN  38959  istendo  39620  binomcxplemnotnn0  43101  climexp  44308  climinf  44309  stirlinglem8  44784  fourierdlem70  44879  ismea  45154  meadjiunlem  45168  isassintop  46607  fdivmpt  47180  elbigolo1  47197