Theorem fex 7102

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6600	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7093	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  fexd  7103  f1oexrnex  7774  frnsuppeq  7991  suppsnop  7994  f1domg  8760  frnfsuppbi  9157  mapfienlem2  9165  oiexg  9294  infxpenc2lem2  9776  isf32lem10  10118  focdmex  14065  hasheqf1oi  14066  hashf1rn  14067  hashimarn  14155  iswrd  14219  climsup  15381  fsum  15432  supcvg  15568  fprod  15651  vdwmc  16679  vdwpc  16681  isghm  18834  elsymgbas  18981  gsumval3a  19504  gsumval3lem1  19506  gsumval3lem2  19507  dmdprd  19601  cnfldfun  20609  cnfldfunALT  20610  cnfldfunALTOLD  20611  tngngp3  23820  climcncf  24063  ulmval  25539  pserulm  25581  isismt  26895  isgrpoi  28860  isvcOLD  28941  isnv  28974  cnnvg  29040  cnnvs  29042  cnnvnm  29043  cncph  29181  ajval  29223  hvmulex  29373  hhph  29540  hlimi  29550  chlimi  29596  hhssva  29619  hhsssm  29620  hhssnm  29621  hhshsslem1  29629  elunop  30234  adjeq  30297  leoprf2  30489  fpwrelmapffslem  31067  lmdvg  31903  esumpfinvallem  32042  omsf  32263  eulerpartgbij  32339  eulerpartlemmf  32342  subfacp1lem5  33146  sinccvglem  33630  elno  33849  poimirlem24  35801  mbfresfi  35823  elghomlem2OLD  36044  islaut  38097  ispautN  38113  istendo  38774  binomcxplemnotnn0  41974  climexp  43146  climinf  43147  stirlinglem8  43622  fourierdlem70  43717  ismea  43989  meadjiunlem  44003  isassintop  45404  fdivmpt  45886  elbigolo1  45903