Theorem fex 7172

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fex	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6662	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnex 7163	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fexd  7173  f1oexrnex  7869  fsuppeq  8117  suppsnop  8120  f1domg  8908  ffsuppbi  9301  mapfienlem2  9309  oiexg  9440  infxpenc2lem2  9930  isf32lem10  10272  hasheqf1oi  14274  hashf1rn  14275  hashimarn  14363  iswrd  14438  climsup  15593  fsum  15643  supcvg  15779  fprod  15864  vdwmc  16906  vdwpc  16908  isghmOLD  19145  elsymgbas  19303  gsumval3a  19832  gsumval3lem1  19834  gsumval3lem2  19835  dmdprd  19929  cnfldfun  21323  cnfldfunALT  21324  cnfldfunOLD  21336  cnfldfunALTOLD  21337  tngngp3  24600  climcncf  24849  ulmval  26345  pserulm  26387  elnoOLD  27614  isismt  28606  isgrpoi  30573  isvcOLD  30654  isnv  30687  cnnvg  30753  cnnvs  30755  cnnvnm  30756  cncph  30894  ajval  30936  hvmulex  31086  hhph  31253  hlimi  31263  chlimi  31309  hhssva  31332  hhsssm  31333  hhssnm  31334  hhshsslem1  31342  elunop  31947  adjeq  32010  leoprf2  32202  fpwrelmapffslem  32811  ccatws1f1o  33033  lmdvg  34110  esumpfinvallem  34231  omsf  34453  eulerpartgbij  34529  eulerpartlemmf  34532  subfacp1lem5  35378  sinccvglem  35866  poimirlem24  37845  mbfresfi  37867  elghomlem2OLD  38087  islaut  40343  ispautN  40359  istendo  41020  binomcxplemnotnn0  44597  climexp  45851  climinf  45852  stirlinglem8  46325  fourierdlem70  46420  ismea  46695  meadjiunlem  46709  grtriclwlk3  48191  isassintop  48456  fdivmpt  48786  elbigolo1  48803  fucofvalne  49570