Theorem fiprc 9037

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	⊢ Fin ∉ V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 7753	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V
2		snfi 9036	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
3		eleq1 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦} ∈ Fin))
4	2, 3	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
5	4	exlimiv 1960	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑥 = {𝑦} → 𝑥 ∈ Fin)
6	5	abssi 4022	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin
7		ssexg 5290	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ⊆ Fin ∧ Fin ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
8	6, 7	mpan 702	. . . 4 ⊢ (Fin ∈ V → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
9	8	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V → ¬ Fin ∈ V)
10		df-nel 3065	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V ↔ ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∈ V)
11		df-nel 3065	. . 3 ⊢ (Fin ∉ V ↔ ¬ Fin ∈ V)
12	9, 10, 11	3imtr4i 295	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}} ∉ V → Fin ∉ V)
13	1, 12	ax-mp 5	1 ⊢ Fin ∉ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ∉ wnel 3064  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  {csn 4589  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by: (None)