MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unen 9043
Description: Equinumerosity of union of disjoint sets. Theorem 4 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unen (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem unen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8946 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 8946 . . 3 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷)
3 exdistrv 1951 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷))
4 vex 3470 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
5 vex 3470 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
64, 5unex 7727 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ∈ V
7 f1oun 6843 . . . . . . 7 (((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝑥𝑦):(𝐴𝐶)–1-1-onto→(𝐵𝐷))
8 f1oen3g 8959 . . . . . . 7 (((𝑥𝑦) ∈ V ∧ (𝑥𝑦):(𝐴𝐶)–1-1-onto→(𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
96, 7, 8sylancr 586 . . . . . 6 (((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
109ex 412 . . . . 5 ((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
1110exlimivv 1927 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
123, 11sylbir 234 . . 3 ((∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
131, 2, 12syl2anb 597 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
1413imp 406 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3466  cun 3939  cin 3940  c0 4315   class class class wbr 5139  1-1-ontowf1o 6533  cen 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-en 8937
This theorem is referenced by:  enrefnn  9044  enpr2dOLD  9047  difsnen  9050  undomOLD  9057  limensuci  9150  infensuc  9152  pssnn  9165  unfi  9169  phplem2OLD  9215  pssnnOLD  9262  dif1ennnALT  9274  unfiOLD  9310  infdifsn  9649  pm54.43  9993  dif1card  10002  endjudisj  10160  djuen  10161  ssfin4  10302  fin23lem26  10317  unsnen  10545  fzennn  13931  mreexexlem4d  17592
  Copyright terms: Public domain W3C validator