Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnejoin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnejoin1 35248
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnejoin1
StepHypRef Expression
1 elssuni 4941 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
213ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
32unissd 4918 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ 𝑆)
4 eqimss2 4041 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆͺ 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝑋)
5 sspwuni 5103 . . . . . . . . . 10 (𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝑋)
64, 5sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆͺ 𝑦 β†’ 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
76ralimi 3083 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
873ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
9 unissb 4943 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
108, 9sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋)
11 sspwuni 5103 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
1210, 11sylib 217 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
13 unieq 4919 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝐴)
1413eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝐴))
1514rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
16153adant1 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
1712, 16sseqtrd 4022 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐴)
183, 17eqssd 3999 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆͺ 𝑆)
19 pwexg 5376 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
20193ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
2120, 10ssexd 5324 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
22 bastg 22468 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆))
242, 23sstrd 3992 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆))
25 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
26 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ βˆͺ 𝑆
2725, 26isfne4 35220 . . 3 (𝐴Fneβˆͺ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆)))
2818, 24, 27sylanbrc 583 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴Fneβˆͺ 𝑆)
29 ne0i 4334 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
30293ad2ant3 1135 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
31 ifnefalse 4540 . . 3 (𝑆 β‰  βˆ… β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ 𝑆)
3230, 31syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ 𝑆)
3328, 32breqtrrd 5176 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  topGenctg 17382  Fnecfne 35216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17388  df-fne 35217
This theorem is referenced by:  fnejoin2  35249
  Copyright terms: Public domain W3C validator