Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnejoin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnejoin1 35556
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnejoin1
StepHypRef Expression
1 elssuni 4940 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
213ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
32unissd 4917 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ 𝑆)
4 eqimss2 4040 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆͺ 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝑋)
5 sspwuni 5102 . . . . . . . . . 10 (𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝑋)
64, 5sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆͺ 𝑦 β†’ 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
76ralimi 3081 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
873ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
9 unissb 4942 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 βŠ† 𝒫 𝑋)
108, 9sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋)
11 sspwuni 5102 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
1210, 11sylib 217 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
13 unieq 4918 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝐴)
1413eqeq2d 2741 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝐴))
1514rspccva 3610 . . . . . 6 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
16153adant1 1128 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐴)
1712, 16sseqtrd 4021 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐴)
183, 17eqssd 3998 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆͺ 𝑆)
19 pwexg 5375 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
20193ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
2120, 10ssexd 5323 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
22 bastg 22689 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆))
242, 23sstrd 3991 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆))
25 eqid 2730 . . . 4 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
26 eqid 2730 . . . 4 βˆͺ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ βˆͺ 𝑆
2725, 26isfne4 35528 . . 3 (𝐴Fneβˆͺ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜βˆͺ 𝑆)))
2818, 24, 27sylanbrc 581 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴Fneβˆͺ 𝑆)
29 ne0i 4333 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
30293ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
31 ifnefalse 4539 . . 3 (𝑆 β‰  βˆ… β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ 𝑆)
3230, 31syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ 𝑆)
3328, 32breqtrrd 5175 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  topGenctg 17387  Fnecfne 35524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-topgen 17393  df-fne 35525
This theorem is referenced by:  fnejoin2  35557
  Copyright terms: Public domain W3C validator