Theorem fobigcup 35842

Description: Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fobigcup	⊢ Bigcup :V–onto→V

Proof of Theorem fobigcup

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7743	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ V)
2	1	rgen 3052	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ V ∪ 𝑥 ∈ V
3		dfbigcup2 35841	. . . 4 ⊢ Bigcup = (𝑥 ∈ V ↦ ∪ 𝑥)
4	3	mptfng 6688	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∪ 𝑥 ∈ V ↔ Bigcup Fn V)
5	2, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ Bigcup Fn V
6	3	rnmpt 5950	. . 3 ⊢ ran Bigcup = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥}
7		vex 3468	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
8		vsnex 5416	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ V
9		unisnv 4909	. . . . . . 7 ⊢ ∪ {𝑦} = 𝑦
10	9	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 = ∪ {𝑦}
11		unieq 4900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ∪ 𝑥 = ∪ {𝑦})
12	11	rspceeqv 3629	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ V ∧ 𝑦 = ∪ {𝑦}) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥)
13	8, 10, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥
14	7, 13	2th 264	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V ↔ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥)
15	14	eqabi 2869	. . 3 ⊢ V = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥}
16	6, 15	eqtr4i 2760	. 2 ⊢ ran Bigcup = V
17		df-fo 6548	. 2 ⊢ ( Bigcup :V–onto→V ↔ ( Bigcup Fn V ∧ ran Bigcup = V))
18	5, 16, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ Bigcup :V–onto→V

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3464  {csn 4608  ∪ cuni 4889  ran crn 5668   Fn wfn 6537  –onto→wfo 6540   Bigcup cbigcup 35776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-symdif 4235  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-eprel 5566  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fo 6548  df-fv 6550  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-txp 35796  df-bigcup 35800

This theorem is referenced by:  fnbigcup  35843