Theorem fobigcup 36642

Description: Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fobigcup	⊢ Bigcup :V–onto→V

Proof of Theorem fobigcup

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7755	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ V)
2	1	rgen 3079	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ V ∪ 𝑥 ∈ V
3		dfbigcup2 36641	. . . 4 ⊢ Bigcup = (𝑥 ∈ V ↦ ∪ 𝑥)
4	3	mptfng 6676	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∪ 𝑥 ∈ V ↔ Bigcup Fn V)
5	2, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ Bigcup Fn V
6	3	rnmpt 5939	. . 3 ⊢ ran Bigcup = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥}
7		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
8		vsnex 5393	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ V
9		unisnv 4887	. . . . . . 7 ⊢ ∪ {𝑦} = 𝑦
10	9	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 = ∪ {𝑦}
11		unieq 4878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ∪ 𝑥 = ∪ {𝑦})
12	11	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ V ∧ 𝑦 = ∪ {𝑦}) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥)
13	8, 10, 12	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥
14	7, 13	2th 267	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V ↔ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥)
15	14	eqabi 2896	. . 3 ⊢ V = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥}
16	6, 15	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ ran Bigcup = V
17		df-fo 6543	. 2 ⊢ ( Bigcup :V–onto→V ↔ ( Bigcup Fn V ∧ ran Bigcup = V))
18	5, 16, 17	mpbir2an 724	1 ⊢ Bigcup :V–onto→V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ran crn 5652   Fn wfn 6532  –onto→wfo 6535   Bigcup cbigcup 36576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-txp 36596  df-bigcup 36600

This theorem is used by:  fnbigcup  36643