Theorem fobigcup 35888

Description: Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fobigcup	⊢ Bigcup :V–onto→V

Proof of Theorem fobigcup

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7716	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ V)
2	1	rgen 3046	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ V ∪ 𝑥 ∈ V
3		dfbigcup2 35887	. . . 4 ⊢ Bigcup = (𝑥 ∈ V ↦ ∪ 𝑥)
4	3	mptfng 6657	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ V ∪ 𝑥 ∈ V ↔ Bigcup Fn V)
5	2, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ Bigcup Fn V
6	3	rnmpt 5921	. . 3 ⊢ ran Bigcup = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥}
7		vex 3451	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
8		vsnex 5389	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ V
9		unisnv 4891	. . . . . . 7 ⊢ ∪ {𝑦} = 𝑦
10	9	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 = ∪ {𝑦}
11		unieq 4882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ∪ 𝑥 = ∪ {𝑦})
12	11	rspceeqv 3611	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ V ∧ 𝑦 = ∪ {𝑦}) → ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥)
13	8, 10, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥
14	7, 13	2th 264	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V ↔ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥)
15	14	eqabi 2863	. . 3 ⊢ V = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ V 𝑦 = ∪ 𝑥}
16	6, 15	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ ran Bigcup = V
17		df-fo 6517	. 2 ⊢ ( Bigcup :V–onto→V ↔ ( Bigcup Fn V ∧ ran Bigcup = V))
18	5, 16, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ Bigcup :V–onto→V

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  {csn 4589  ∪ cuni 4871  ran crn 5639   Fn wfn 6506  –onto→wfo 6509   Bigcup cbigcup 35822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-symdif 4216  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-eprel 5538  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fo 6517  df-fv 6519  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-txp 35842  df-bigcup 35846

This theorem is referenced by:  fnbigcup  35889