Theorem rnmpt 5896

Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rnmpt	⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnopab 5893	. 2 ⊢ ran {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)} = {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
2		rnmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		df-mpt 5171	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
4	2, 3	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
5	4	rneqi 5876	. 2 ⊢ ran 𝐹 = ran {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
6		df-rex 3057	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵))
7	6	abbii 2798	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} = {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
8	1, 5, 7	3eqtr4i 2764	1 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∃wrex 3056  {copab 5151   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625

This theorem is referenced by:  elrnmpt  5897  elrnmpt1  5899  elrnmptg  5900  dfiun3g  5906  dfiin3g  5907  fnrnfv  6881  fmpt  7043  fnasrn  7078  fliftf  7249  fo1st  7941  fo2nd  7942  fsplitfpar  8048  qliftf  8729  abrexfi  9236  iinfi  9301  tz9.12lem1  9680  infmap2  10108  cfslb2n  10159  fin23lem29  10232  fin23lem30  10233  fin1a2lem11  10301  ac6num  10370  rankcf  10668  tskuni  10674  negfi  12071  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  vdwapval  16885  vdwlem6  16898  quslem  17447  smndex2dnrinv  18823  conjnmzb  19165  pmtrprfvalrn  19400  sylow1lem2  19511  sylow3lem1  19539  sylow3lem2  19540  ablsimpgfind  20024  pzriprnglem10  21427  ellspd  21739  rnascl  21828  iinopn  22817  restco  23079  pnrmopn  23258  cncmp  23307  discmp  23313  comppfsc  23447  alexsublem  23959  ptcmplem3  23969  snclseqg  24031  prdsxmetlem  24283  prdsbl  24406  xrhmeo  24871  pi1xfrf  24980  pi1cof  24986  iunmbl  25481  voliun  25482  itg1addlem4  25627  i1fmulc  25631  mbfi1fseqlem4  25646  itg2monolem1  25678  aannenlem2  26264  2lgslem1b  27330  bdayfo  27616  nosupno  27642  noinfno  27657  addsuniflem  27944  mptelee  28873  disjrnmpt  32565  ofrn2  32622  abrexct  32698  abrexctf  32700  qusbas2  33371  nsgqusf1olem2  33379  esumc  34064  esumrnmpt  34065  carsgclctunlem3  34333  eulerpartlemt  34384  fobigcup  35942  ptrest  37667  areacirclem2  37757  istotbnd3  37819  sstotbnd  37823  dfqs2  42278  rnasclg  42540  rmxypairf1o  42952  hbtlem6  43170  onsucrn  43312  elrnmptf  45226  fnrnafv  47201  fundcmpsurinjlem1  47437  imasetpreimafvbijlemfo  47444  fargshiftfo  47481