Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem1 44923
 Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 44927. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 11980 . 2 ℤ ∈ V
2 prex 5298 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4 prex 5298 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
53, 4eqeltri 2886 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7 prex 5298 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2886 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
95, 8pm3.2i 474 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
109a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11 2z 12004 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
12 3nn0 11905 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
1312nn0negzi 12011 . . . . . . 7 -3 ∈ ℤ
1411, 13pm3.2i 474 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
1514a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 44921 . . . . . 6 𝐴𝐵
1817a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴𝐵)
19 fprg 6894 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
2120feq1i 6478 . . . . . 6 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2219, 21sylibr 237 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2310, 15, 18, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24 prssi 4714 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
2511, 13, 24mp2an 691 . . . 4 {2, -3} ⊆ ℤ
26 fss 6501 . . . 4 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
2723, 25, 26sylancl 589 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28 elmapg 8404 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
2927, 28mpbird 260 . 2 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}))
301, 2, 29mp2an 691 1 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391  0cc0 10528  1c1 10529  -cneg 10862  2c2 11682  3c3 11683  4c4 11684  6c6 11686  ℤcz 11971  ℤringzring 20166   freeLMod cfrlm 20439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972 This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  44924  zlmodzxzldeplem3  44925  zlmodzxzldep  44927
 Copyright terms: Public domain W3C validator