Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem1 46667
Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 46671. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 12513 . 2 β„€ ∈ V
2 prex 5390 . 2 {𝐴, 𝐡} ∈ V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4 prex 5390 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
53, 4eqeltri 2830 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7 prex 5390 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2830 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
95, 8pm3.2i 472 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V)
109a1i 11 . . . . 5 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
11 2z 12540 . . . . . . 7 2 ∈ β„€
12 3nn0 12436 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•0
1312nn0negzi 12547 . . . . . . 7 -3 ∈ β„€
1411, 13pm3.2i 472 . . . . . 6 (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€)
1514a1i 11 . . . . 5 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€))
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 46665 . . . . . 6 𝐴 β‰  𝐡
1817a1i 11 . . . . 5 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
19 fprg 7102 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
2120feq1i 6660 . . . . . 6 (𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
2219, 21sylibr 233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
2310, 15, 18, 22syl3anc 1372 . . . 4 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
24 prssi 4782 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€) β†’ {2, -3} βŠ† β„€)
2511, 13, 24mp2an 691 . . . 4 {2, -3} βŠ† β„€
26 fss 6686 . . . 4 ((𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3} ∧ {2, -3} βŠ† β„€) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€)
2723, 25, 26sylancl 587 . . 3 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€)
28 elmapg 8781 . . 3 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€))
2927, 28mpbird 257 . 2 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡}))
301, 2, 29mp2an 691 1 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  0cc0 11056  1c1 11057  -cneg 11391  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  β„€cz 12504  β„€ringczring 20885   freeLMod cfrlm 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  46668  zlmodzxzldeplem3  46669  zlmodzxzldep  46671
  Copyright terms: Public domain W3C validator