Theorem zlmodzxzldeplem1 49815

Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 49819. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem1	⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12726	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
2		prex 5400	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		zlmodzxzldep.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4		prex 5400	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		zlmodzxzldep.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7		prex 5400	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	5, 8	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11		2z 12752	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3nn0 12648	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	nn0negzi 12759	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℤ
14	11, 13	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
17	16, 3, 6	zlmodzxzldeplem 49813	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		fprg 7180	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
21	20	feq1i 6719	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
22	19, 21	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
23	10, 15, 18, 22	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24		prssi 4780	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
25	11, 13, 24	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {2, -3} ⊆ ℤ
26		fss 6745	. . . 4 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
27	23, 25, 26	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28		elmapg 8884	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
29	27, 28	mpbird 260	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}))
30	1, 2, 29	mp2an 705	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ⟶wf 6551  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  0cc0 11224  1c1 11225   -cneg 11566  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  6c6 12425  ℤcz 12717  ℤ_ringczring 21779   freeLMod cfrlm 22079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718

This theorem is used by:  zlmodzxzldeplem2  49816  zlmodzxzldeplem3  49817  zlmodzxzldep  49819