Theorem zlmodzxzldeplem1 49005

Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 49009. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem1	⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12528	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
2		prex 5370	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		zlmodzxzldep.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4		prex 5370	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		zlmodzxzldep.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7		prex 5370	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	5, 8	pm3.2i 472	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11		2z 12554	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3nn0 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	nn0negzi 12561	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℤ
14	11, 13	pm3.2i 472	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
17	16, 3, 6	zlmodzxzldeplem 49003	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		fprg 7102	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
21	20	feq1i 6650	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
22	19, 21	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
23	10, 15, 18, 22	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24		prssi 4755	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
25	11, 13, 24	mp2an 699	. . . 4 ⊢ {2, -3} ⊆ ℤ
26		fss 6675	. . . 4 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
27	23, 25, 26	sylancl 593	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28		elmapg 8780	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
29	27, 28	mpbird 259	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}))
30	1, 2, 29	mp2an 699	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ⟶wf 6485  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  0cc0 11033  1c1 11034  -cneg 11373  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  6c6 12235  ℤcz 12519  ℤ_ringczring 21425   freeLMod cfrlm 21725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  49006  zlmodzxzldeplem3  49007  zlmodzxzldep  49009