Theorem zlmodzxzldeplem1 45729

Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 45733. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem1	⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12258	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
2		prex 5350	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		zlmodzxzldep.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4		prex 5350	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		zlmodzxzldep.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7		prex 5350	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	5, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11		2z 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3nn0 12181	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	nn0negzi 12289	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℤ
14	11, 13	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
17	16, 3, 6	zlmodzxzldeplem 45727	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		fprg 7009	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
21	20	feq1i 6575	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
22	19, 21	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
23	10, 15, 18, 22	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24		prssi 4751	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
25	11, 13, 24	mp2an 688	. . . 4 ⊢ {2, -3} ⊆ ℤ
26		fss 6601	. . . 4 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
27	23, 25, 26	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28		elmapg 8586	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
29	27, 28	mpbird 256	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}))
30	1, 2, 29	mp2an 688	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  0cc0 10802  1c1 10803  -cneg 11136  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  6c6 11962  ℤcz 12249  ℤ_ringzring 20582   freeLMod cfrlm 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  45730  zlmodzxzldeplem3  45731  zlmodzxzldep  45733