Theorem zlmodzxzldeplem1 47680

Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 47684. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem1	⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12597	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
2		prex 5433	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		zlmodzxzldep.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4		prex 5433	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2821	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		zlmodzxzldep.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7		prex 5433	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2821	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	5, 8	pm3.2i 469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11		2z 12624	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3nn0 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	nn0negzi 12631	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℤ
14	11, 13	pm3.2i 469	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
17	16, 3, 6	zlmodzxzldeplem 47678	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		fprg 7162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
21	20	feq1i 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
22	19, 21	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
23	10, 15, 18, 22	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24		prssi 4825	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
25	11, 13, 24	mp2an 690	. . . 4 ⊢ {2, -3} ⊆ ℤ
26		fss 6737	. . . 4 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
27	23, 25, 26	sylancl 584	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28		elmapg 8856	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
29	27, 28	mpbird 256	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}))
30	1, 2, 29	mp2an 690	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463   ⊆ wss 3945  {cpr 4631  ⟨cop 4635  ⟶wf 6543  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8843  0cc0 11138  1c1 11139  -cneg 11475  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  6c6 12301  ℤcz 12588  ℤ_ringczring 21376   freeLMod cfrlm 21684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  47681  zlmodzxzldeplem3  47682  zlmodzxzldep  47684