Theorem zlmodzxzldeplem1 49417

Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 49421. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem1	⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12627	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
2		prex 5407	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3		zlmodzxzldep.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4		prex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2858	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		zlmodzxzldep.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7		prex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2858	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	5, 8	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11		2z 12653	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3nn0 12549	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13	12	nn0negzi 12660	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℤ
14	11, 13	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
17	16, 3, 6	zlmodzxzldeplem 49415	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		fprg 7155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
21	20	feq1i 6697	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
22	19, 21	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
23	10, 15, 18, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24		prssi 4785	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
25	11, 13, 24	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {2, -3} ⊆ ℤ
26		fss 6723	. . . 4 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
27	23, 25, 26	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28		elmapg 8841	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
29	27, 28	mpbird 260	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}))
30	1, 2, 29	mp2an 705	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11127  1c1 11128  -cneg 11469  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  6c6 12326  ℤcz 12618  ℤ_ringczring 21660   freeLMod cfrlm 21960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619

This theorem is used by:  zlmodzxzldeplem2  49418  zlmodzxzldeplem3  49419  zlmodzxzldep  49421