Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem1 47491
Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 47495. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 12589 . 2 β„€ ∈ V
2 prex 5428 . 2 {𝐴, 𝐡} ∈ V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4 prex 5428 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
53, 4eqeltri 2824 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7 prex 5428 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2824 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
95, 8pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V)
109a1i 11 . . . . 5 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
11 2z 12616 . . . . . . 7 2 ∈ β„€
12 3nn0 12512 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•0
1312nn0negzi 12623 . . . . . . 7 -3 ∈ β„€
1411, 13pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€)
1514a1i 11 . . . . 5 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€))
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 47489 . . . . . 6 𝐴 β‰  𝐡
1817a1i 11 . . . . 5 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
19 fprg 7158 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
2120feq1i 6707 . . . . . 6 (𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
2219, 21sylibr 233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
2310, 15, 18, 22syl3anc 1369 . . . 4 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3})
24 prssi 4820 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ -3 ∈ β„€) β†’ {2, -3} βŠ† β„€)
2511, 13, 24mp2an 691 . . . 4 {2, -3} βŠ† β„€
26 fss 6733 . . . 4 ((𝐹:{𝐴, 𝐡}⟢{2, -3} ∧ {2, -3} βŠ† β„€) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€)
2723, 25, 26sylancl 585 . . 3 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€)
28 elmapg 8849 . . 3 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€))
2927, 28mpbird 257 . 2 ((β„€ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡}))
301, 2, 29mp2an 691 1 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630  βŸΆwf 6538  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  0cc0 11130  1c1 11131  -cneg 11467  2c2 12289  3c3 12290  4c4 12291  6c6 12293  β„€cz 12580  β„€ringczring 21359   freeLMod cfrlm 21667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  47492  zlmodzxzldeplem3  47493  zlmodzxzldep  47495
  Copyright terms: Public domain W3C validator