Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prelrrx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prelrrx2 47882
Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prelrrx2.i 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prelrrx2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2
StepHypRef Expression
1 1ex 11250 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2 2ex 12329 . . . . . . . 8 2 ∈ V
31, 2pm3.2i 469 . . . . . . 7 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5 id 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
6 1ne2 12460 . . . . . . 7 1 β‰  2
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 1 β‰  2)
84, 5, 73jca 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2))
9 fprg 7170 . . . . 5 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
11 prssi 4829 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† ℝ)
1210, 11fssd 6745 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
13 reex 11239 . . . . 5 ℝ ∈ V
14 prex 5438 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14pm3.2i 469 . . . 4 (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16 elmapg 8866 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
1812, 17sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19 prelrrx2.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20 prelrrx2.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2120oveq2i 7437 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
2219, 21eqtri 2756 . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
2322eleq2i 2821 . 2 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
2418, 23sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473  {cpr 4634  βŸ¨cop 4638  βŸΆwf 6549  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853  β„cr 11147  1c1 11149  2c2 12307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-2 12315
This theorem is referenced by:  prelrrx2b  47883  rrx2xpref1o  47887  rrx2plordisom  47892  line2ylem  47920  line2xlem  47922  itscnhlinecirc02p  47954  inlinecirc02plem  47955
  Copyright terms: Public domain W3C validator