Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prelrrx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prelrrx2 42273
Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prelrrx2.i 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prelrrx2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2
StepHypRef Expression
1 1ex 10359 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2 2ex 11435 . . . . . . . 8 2 ∈ V
31, 2pm3.2i 464 . . . . . . 7 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5 id 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
6 1ne2 11573 . . . . . . 7 1 ≠ 2
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
84, 5, 73jca 1162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2))
9 fprg 6678 . . . . 5 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
11 prssi 4572 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
1210, 11fssd 6296 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
13 reex 10350 . . . . 5 ℝ ∈ V
14 prex 5132 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14pm3.2i 464 . . . 4 (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16 elmapg 8140 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
1812, 17sylibr 226 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}))
19 prelrrx2.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
20 prelrrx2.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2120oveq2i 6921 . . . 4 (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (ℝ ↑𝑚 {1, 2})
2219, 21eqtri 2849 . . 3 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 {1, 2})
2322eleq2i 2898 . 2 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}))
2418, 23sylibr 226 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  Vcvv 3414  {cpr 4401  cop 4405  wf 6123  (class class class)co 6910  𝑚 cmap 8127  cr 10258  1c1 10260  2c2 11413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-2 11421
This theorem is referenced by:  rrx2xpref1o  42276  rrx2plordisom  42281  line2ylem  43313  line2xlem  43315
  Copyright terms: Public domain W3C validator