Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prelrrx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prelrrx2 47674
Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prelrrx2.i 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prelrrx2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2
StepHypRef Expression
1 1ex 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2 2ex 12293 . . . . . . . 8 2 ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . . . 7 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5 id 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
6 1ne2 12424 . . . . . . 7 1 β‰  2
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 1 β‰  2)
84, 5, 73jca 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2))
9 fprg 7149 . . . . 5 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
11 prssi 4819 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† ℝ)
1210, 11fssd 6729 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
13 reex 11203 . . . . 5 ℝ ∈ V
14 prex 5425 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14pm3.2i 470 . . . 4 (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16 elmapg 8835 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
1812, 17sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19 prelrrx2.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20 prelrrx2.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2120oveq2i 7416 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
2219, 21eqtri 2754 . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
2322eleq2i 2819 . 2 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
2418, 23sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629  βŸΆwf 6533  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  1c1 11113  2c2 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-2 12279
This theorem is referenced by:  prelrrx2b  47675  rrx2xpref1o  47679  rrx2plordisom  47684  line2ylem  47712  line2xlem  47714  itscnhlinecirc02p  47746  inlinecirc02plem  47747
  Copyright terms: Public domain W3C validator