Theorem prelrrx2 48699

Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11170	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
2		2ex 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
6		1ne2 12389	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
8	4, 5, 7	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2))
9		fprg 7127	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
11		prssi 4785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6705	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
13		reex 11159	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
14		prex 5392	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16		elmapg 8812	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
18	12, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19		prelrrx2.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20		prelrrx2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
21	20	oveq2i 7398	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
22	19, 21	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
23	22	eleq2i 2820	. 2 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
24	18, 23	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  {cpr 4591  ⟨cop 4595  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℝcr 11067  1c1 11069  2c2 12241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-2 12249

This theorem is referenced by:  prelrrx2b  48700  rrx2xpref1o  48704  rrx2plordisom  48709  line2ylem  48737  line2xlem  48739  itscnhlinecirc02p  48771  inlinecirc02plem  48772