Theorem prelrrx2 49189

Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11140	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
2		2ex 12258	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
6		1ne2 12384	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
8	4, 5, 7	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2))
9		fprg 7109	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
11		prssi 4764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
13		reex 11129	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
14		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16		elmapg 8786	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
18	12, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19		prelrrx2.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20		prelrrx2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
21	20	oveq2i 7378	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
22	19, 21	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
23	22	eleq2i 2828	. 2 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
24	18, 23	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℝcr 11037  1c1 11039  2c2 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-2 12244

This theorem is referenced by:  prelrrx2b  49190  rrx2xpref1o  49194  rrx2plordisom  49199  line2ylem  49227  line2xlem  49229  itscnhlinecirc02p  49261  inlinecirc02plem  49262