Theorem prelrrx2 49826

Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11304	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
2		2ex 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
6		1ne2 12554	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
8	4, 5, 7	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2))
9		fprg 7160	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
11		prssi 4782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6728	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
13		reex 11292	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
14		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16		elmapg 8860	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
18	12, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19		prelrrx2.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20		prelrrx2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
21	20	oveq2i 7432	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
22	19, 21	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
23	22	eleq2i 2853	. 2 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
24	18, 23	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ⟶wf 6535  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8848  ℝcr 11200  1c1 11202  2c2 12398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-2 12406

This theorem is used by:  prelrrx2b  49827  rrx2xpref1o  49831  rrx2plordisom  49836  line2ylem  49864  line2xlem  49866  itscnhlinecirc02p  49898  inlinecirc02plem  49899