Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prelrrx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prelrrx2 47399
Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prelrrx2.i 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prelrrx2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2
StepHypRef Expression
1 1ex 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2 2ex 12289 . . . . . . . 8 2 ∈ V
31, 2pm3.2i 472 . . . . . . 7 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5 id 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
6 1ne2 12420 . . . . . . 7 1 β‰  2
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 1 β‰  2)
84, 5, 73jca 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2))
9 fprg 7153 . . . . 5 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
11 prssi 4825 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† ℝ)
1210, 11fssd 6736 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
13 reex 11201 . . . . 5 ℝ ∈ V
14 prex 5433 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14pm3.2i 472 . . . 4 (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16 elmapg 8833 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
1812, 17sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19 prelrrx2.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20 prelrrx2.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2120oveq2i 7420 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
2219, 21eqtri 2761 . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
2322eleq2i 2826 . 2 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
2418, 23sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635  βŸΆwf 6540  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„cr 11109  1c1 11111  2c2 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-2 12275
This theorem is referenced by:  prelrrx2b  47400  rrx2xpref1o  47404  rrx2plordisom  47409  line2ylem  47437  line2xlem  47439  itscnhlinecirc02p  47471  inlinecirc02plem  47472
  Copyright terms: Public domain W3C validator