Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prelrrx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prelrrx2 46885
Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prelrrx2.i 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prelrrx2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2
StepHypRef Expression
1 1ex 11156 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2 2ex 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ V
31, 2pm3.2i 472 . . . . . . 7 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5 id 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
6 1ne2 12366 . . . . . . 7 1 β‰  2
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 1 β‰  2)
84, 5, 73jca 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2))
9 fprg 7102 . . . . 5 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}⟢{𝐴, 𝐡})
11 prssi 4782 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† ℝ)
1210, 11fssd 6687 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
13 reex 11147 . . . . 5 ℝ ∈ V
14 prex 5390 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14pm3.2i 472 . . . 4 (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16 elmapg 8781 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}:{1, 2}βŸΆβ„)
1812, 17sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19 prelrrx2.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20 prelrrx2.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
2120oveq2i 7369 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
2219, 21eqtri 2761 . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
2322eleq2i 2826 . 2 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
2418, 23sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  β„cr 11055  1c1 11057  2c2 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-2 12221
This theorem is referenced by:  prelrrx2b  46886  rrx2xpref1o  46890  rrx2plordisom  46895  line2ylem  46923  line2xlem  46925  itscnhlinecirc02p  46957  inlinecirc02plem  46958
  Copyright terms: Public domain W3C validator