Theorem prelrrx2 48751

Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Proof of Theorem prelrrx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11108	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
2		2ex 12202	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
6		1ne2 12328	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
8	4, 5, 7	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2))
9		fprg 7088	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
11		prssi 4773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
13		reex 11097	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
14		prex 5375	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
16		elmapg 8763	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
18	12, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
19		prelrrx2.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
20		prelrrx2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
21	20	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
22	19, 21	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
23	22	eleq2i 2823	. 2 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
24	18, 23	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  {cpr 4578  ⟨cop 4582  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℝcr 11005  1c1 11007  2c2 12180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-2 12188

This theorem is referenced by:  prelrrx2b  48752  rrx2xpref1o  48756  rrx2plordisom  48761  line2ylem  48789  line2xlem  48791  itscnhlinecirc02p  48823  inlinecirc02plem  48824