Theorem zlmodzxzel 49466

Description: An element of the (base set of the) ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 21-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzel	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (Base‘𝑍))

Proof of Theorem zlmodzxzel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11300	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 11303	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		0ne1 12414	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
5		fprg 7159	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
6	3, 4, 5	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
7		prssi 4782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℤ)
8		zringbas 21759	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
9	7, 8	sseqtrdi 3971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ (Base‘ℤring))
10	6, 9	fssd 6727	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring))
11		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (Base‘ℤring) ∈ V
12		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((Base‘ℤring) ∈ V ∧ {0, 1} ∈ V)
14		elmapg 8859	. . . 4 ⊢ (((Base‘ℤring) ∈ V ∧ {0, 1} ∈ V) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring)))
15	13, 14	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶(Base‘ℤring)))
16	10, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}))
17		zringring 21755	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
18		prfi 9315	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
19	17, 18	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ Fin)
20		zlmodzxz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22	20, 21	frlmfibas 22068	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ Fin) → ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) = (Base‘𝑍))
23	19, 22	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((Base‘ℤring) ↑m {0, 1}) = (Base‘𝑍))
24	16, 23	eleqtrd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (Base‘𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  0cc0 11200  1c1 11201  ℤcz 12693  Basecbs 17387  Ringcrg 20459  ℤ_ringczring 21752   freeLMod cfrlm 22052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-dsmm 22038  df-frlm 22053

This theorem is used by:  zlmodzxzscm  49468  zlmodzxzadd  49469  zlmodzxzsubm  49470  zlmodzxzsub  49471  zlmodzxzldeplem3  49613  zlmodzxzldep  49615  ldepsnlinclem1  49616  ldepsnlinclem2  49617  ldepsnlinc  49619