Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim2lem 40860
Description: Lemma for xlimclim2 40861. Here it is additionally assumed that the sequence will eventually become (and stay) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim2lem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimclim2lem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2lem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xlimclim2lem.r (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimclim2lem (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimclim2lem
StepHypRef Expression
1 xlimclim2lem.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 xlimclim2lem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
31, 2fuzxrpmcn 40849 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
43ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
51eluzelz2 40422 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
65ad2antlr 720 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝑗 ∈ ℤ)
74, 6xlimres 40842 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴))
8 eqid 2825 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
9 simpr 479 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
10 xlimclim2lem.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110ad2antrr 719 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
126, 8, 9, 11xlimclim 40845 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴))
131fvexi 6447 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
152, 14fexd 40111 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
16 climres 14683 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
175, 15, 16syl2anr 592 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
1817adantr 474 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
197, 12, 183bitrd 297 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
20 xlimclim2lem.r . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
2119, 20r19.29a 3288 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3118  Vcvv 3414   class class class wbr 4873  cres 5344  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  pm cpm 8123  cc 10250  cr 10251  *cxr 10390  cz 11704  cuz 11968  cli 14592  ~~>*clsxlim 40839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-rest 16436  df-topn 16437  df-topgen 16457  df-ordt 16514  df-ps 17553  df-tsr 17554  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-lm 21404  df-xms 22495  df-ms 22496  df-xlim 40840
This theorem is referenced by:  xlimclim2  40861
  Copyright terms: Public domain W3C validator