Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim2lem 42478
 Description: Lemma for xlimclim2 42479. Here it is additionally assumed that the sequence will eventually become (and stay) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim2lem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimclim2lem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2lem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xlimclim2lem.r (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimclim2lem (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimclim2lem
StepHypRef Expression
1 xlimclim2lem.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 xlimclim2lem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
31, 2fuzxrpmcn 42467 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
43ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
51eluzelz2 42037 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
65ad2antlr 726 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝑗 ∈ ℤ)
74, 6xlimres 42460 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴))
8 eqid 2801 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
9 simpr 488 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
10 xlimclim2lem.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
126, 8, 9, 11xlimclim 42463 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴))
131fvexi 6663 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
152, 14fexd 6971 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
16 climres 14928 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
175, 15, 16syl2anr 599 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
1817adantr 484 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
197, 12, 183bitrd 308 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
20 xlimclim2lem.r . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
2119, 20r19.29a 3251 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   class class class wbr 5033   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑pm cpm 8394  ℂcc 10528  ℝcr 10529  ℝ*cxr 10667  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235   ⇝ cli 14837  ~~>*clsxlim 42457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-rest 16692  df-topn 16693  df-topgen 16713  df-ordt 16770  df-ps 17806  df-tsr 17807  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-lm 21838  df-xms 22931  df-ms 22932  df-xlim 42458 This theorem is referenced by:  xlimclim2  42479
 Copyright terms: Public domain W3C validator