Theorem xlimclim2lem 43624

Description: Lemma for xlimclim2 43625. Here it is additionally assumed that the sequence will eventually become (and stay) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclim2lem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclim2lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlimclim2lem.r	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclim2lem	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimclim2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimclim2lem.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		xlimclim2lem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
3	1, 2	fuzxrpmcn 43613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
4	3	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
5	1	eluzelz2 43186	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
6	5	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → 𝑗 ∈ ℤ)
7	4, 6	xlimres 43606	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
9		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
10		xlimclim2lem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	6, 8, 9, 11	xlimclim 43609	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴))
13	1	fvexi 6823	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
15	2, 14	fexd 7140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
16		climres 15353	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
17	5, 15, 16	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
19	7, 12, 18	3bitrd 304	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
20		xlimclim2lem.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
21	19, 20	r19.29a 3156	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071  Vcvv 3441   class class class wbr 5085   ↾ cres 5607  ⟶wf 6459  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313   ↑_pm cpm 8662  ℂcc 10939  ℝcr 10940  ℝ^*cxr 11078  ℤcz 12389  ℤ_≥cuz 12652   ⇝ cli 15262  ~~>*clsxlim 43603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ioo 13153  df-ioc 13154  df-ico 13155  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fl 13582  df-seq 13792  df-exp 13853  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-struct 16915  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-rest 17200  df-topn 17201  df-topgen 17221  df-ordt 17279  df-ps 18351  df-tsr 18352  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-lm 22451  df-xms 23544  df-ms 23545  df-xlim 43604

This theorem is referenced by:  xlimclim2  43625