Theorem xlimclim2lem 45810

Description: Lemma for xlimclim2 45811. Here it is additionally assumed that the sequence will eventually become (and stay) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclim2lem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclim2lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlimclim2lem.r	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclim2lem	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimclim2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimclim2lem.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		xlimclim2lem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
3	1, 2	fuzxrpmcn 45799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
4	3	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
5	1	eluzelz2 45372	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
6	5	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → 𝑗 ∈ ℤ)
7	4, 6	xlimres 45792	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
10		xlimclim2lem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	6, 8, 9, 11	xlimclim 45795	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴))
13	1	fvexi 6854	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
15	2, 14	fexd 7183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
16		climres 15517	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
17	5, 15, 16	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
19	7, 12, 18	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
20		xlimclim2lem.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
21	19, 20	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_pm cpm 8777  ℂcc 11042  ℝcr 11043  ℝ^*cxr 11183  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769   ⇝ cli 15426  ~~>*clsxlim 45789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-ordt 17440  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-lm 23092  df-xms 24184  df-ms 24185  df-xlim 45790

This theorem is referenced by:  xlimclim2  45811