Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim2lem 41996
Description: Lemma for xlimclim2 41997. Here it is additionally assumed that the sequence will eventually become (and stay) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim2lem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimclim2lem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclim2lem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xlimclim2lem.r (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimclim2lem (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimclim2lem
StepHypRef Expression
1 xlimclim2lem.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 xlimclim2lem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
31, 2fuzxrpmcn 41985 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
43ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
51eluzelz2 41552 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
65ad2antlr 723 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝑗 ∈ ℤ)
74, 6xlimres 41978 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴))
8 eqid 2818 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
9 simpr 485 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
10 xlimclim2lem.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
126, 8, 9, 11xlimclim 41981 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴))
131fvexi 6677 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
152, 14fexd 41256 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
16 climres 14920 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
175, 15, 16syl2anr 596 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
1817adantr 481 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
197, 12, 183bitrd 306 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
20 xlimclim2lem.r . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
2119, 20r19.29a 3286 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  pm cpm 8396  cc 10523  cr 10524  *cxr 10662  cz 11969  cuz 12231  cli 14829  ~~>*clsxlim 41975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-ordt 16762  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-lm 21765  df-xms 22857  df-ms 22858  df-xlim 41976
This theorem is referenced by:  xlimclim2  41997
  Copyright terms: Public domain W3C validator