Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim2lem 45140
Description: Lemma for xlimclim2 45141. Here it is additionally assumed that the sequence will eventually become (and stay) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim2lem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimclim2lem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimclim2lem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
xlimclim2lem.r (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
xlimclim2lem (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   πœ‘,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimclim2lem
StepHypRef Expression
1 xlimclim2lem.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 xlimclim2lem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
31, 2fuzxrpmcn 45129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
43ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
51eluzelz2 44698 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
65ad2antlr 726 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
74, 6xlimres 45122 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴))
8 eqid 2727 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
9 simpr 484 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
10 xlimclim2lem.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1110ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
126, 8, 9, 11xlimclim 45125 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴))
131fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
152, 14fexd 7233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
16 climres 15537 . . . . 5 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
175, 15, 16syl2anr 596 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
1817adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
197, 12, 183bitrd 305 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
20 xlimclim2lem.r . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
2119, 20r19.29a 3157 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑pm cpm 8835  β„‚cc 11122  β„cr 11123  β„*cxr 11263  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838   ⇝ cli 15446  ~~>*clsxlim 45119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-rest 17389  df-topn 17390  df-topgen 17410  df-ordt 17468  df-ps 18543  df-tsr 18544  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-lm 23107  df-xms 24200  df-ms 24201  df-xlim 45120
This theorem is referenced by:  xlimclim2  45141
  Copyright terms: Public domain W3C validator