Theorem climxlim2 43387

Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 42943	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
5		climxlim2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1	uzssd3 42966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
9	6, 8	fssresd 6641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
11		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
12		climxlim2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1	fvexi 6788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
16	5, 15	fexd 7103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		climres 15284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	2, 16, 17	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
19	13, 18	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
21	3, 4, 10, 11, 20	climxlim2lem 43386	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴)
22	1, 5	fuzxrpmcn 43369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
24	2	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	xlimres 43362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
26	25	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
27	21, 26	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝐹~~>*𝐴)
28		climxlim2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	5	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
30		climcl 15208	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	12, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
32		breldmg 5818	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
33	16, 31, 12, 32	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 1, 29, 33	climrescn 43289	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
35	27, 34	r19.29a 3218	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℝ^*cxr 11008  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   ⇝ cli 15193  ~~>*clsxlim 43359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-ordt 17212  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-lm 22380  df-xms 23473  df-ms 23474  df-xlim 43360

This theorem is referenced by:  dfxlim2v  43388  meaiuninc3v  44022