Theorem climxlim2 46949

Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 46506	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
5		climxlim2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1	uzssd3 46529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
9	6, 8	fssresd 6749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
11		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
12		climxlim2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
16	5, 15	fexd 7233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		climres 15747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	2, 16, 17	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
19	13, 18	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
21	3, 4, 10, 11, 20	climxlim2lem 46948	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴)
22	1, 5	fuzxrpmcn 46931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
24	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	xlimres 46924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
27	21, 26	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝐹~~>*𝐴)
28		climxlim2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	5	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
30		climcl 15671	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	12, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
32		breldmg 5890	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
33	16, 31, 12, 32	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 1, 29, 33	climrescn 46851	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
35	27, 34	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_pm cpm 8851  ℂcc 11201  ℝ^*cxr 11345  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968   ⇝ cli 15656  ~~>*clsxlim 46921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-rest 17598  df-topn 17599  df-topgen 17619  df-ordt 17678  df-ps 18745  df-tsr 18746  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-lm 23552  df-xms 24644  df-ms 24645  df-xlim 46922

This theorem is used by:  dfxlim2v  46950  meaiuninc3v  47587