Theorem climxlim2 45767

Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 45318	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
5		climxlim2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1	uzssd3 45341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
9	6, 8	fssresd 6788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
12		climxlim2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1	fvexi 6934	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
16	5, 15	fexd 7264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		climres 15621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	2, 16, 17	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
19	13, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
21	3, 4, 10, 11, 20	climxlim2lem 45766	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴)
22	1, 5	fuzxrpmcn 45749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
24	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	xlimres 45742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
27	21, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝐹~~>*𝐴)
28		climxlim2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	5	ffnd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
30		climcl 15545	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	12, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
32		breldmg 5934	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
33	16, 31, 12, 32	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 1, 29, 33	climrescn 45669	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
35	27, 34	r19.29a 3168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  ℝ^*cxr 11323  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903   ⇝ cli 15530  ~~>*clsxlim 45739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-lm 23258  df-xms 24351  df-ms 24352  df-xlim 45740

This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45768  meaiuninc3v  46405