Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2 45225
Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxlim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2.a (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2 (𝜑𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eluzelz2 44776 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
32ad2antlr 726 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4 eqid 2728 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
5 climxlim2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
71uzssd3 44799 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
96, 8fssresd 6759 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ*)
109adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ*)
11 simpr 484 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ)
12 climxlim2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹𝐴)
141fvexi 6906 . . . . . . . . 9 𝑍 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ V)
165, 15fexd 7234 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ V)
17 climres 15546 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
182, 16, 17syl2anr 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
1913, 18mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴)
213, 4, 10, 11, 20climxlim2lem 45224 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴)
221, 5fuzxrpmcn 45207 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
242adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
2523, 24xlimres 45200 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴))
2625adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴))
2721, 26mpbird 257 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → 𝐹~~>*𝐴)
28 climxlim2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
295ffnd 6718 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
30 climcl 15470 . . . . 5 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
3112, 30syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32 breldmg 5907 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3316, 31, 12, 32syl3anc 1369 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 1, 29, 33climrescn 45127 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ)
3527, 34r19.29a 3158 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3470  wss 3945   class class class wbr 5143  dom cdm 5673  cres 5675  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  pm cpm 8840  cc 11131  *cxr 11272  cz 12583  cuz 12847  cli 15455  ~~>*clsxlim 45197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17398  df-topn 17399  df-topgen 17419  df-ordt 17477  df-ps 18552  df-tsr 18553  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-lm 23127  df-xms 24220  df-ms 24221  df-xlim 45198
This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45226  meaiuninc3v  45863
  Copyright terms: Public domain W3C validator