Theorem climxlim2 45875

Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 45430	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
5		climxlim2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1	uzssd3 45453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
9	6, 8	fssresd 6745	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
12		climxlim2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1	fvexi 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
16	5, 15	fexd 7219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		climres 15591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	2, 16, 17	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
19	13, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
21	3, 4, 10, 11, 20	climxlim2lem 45874	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴)
22	1, 5	fuzxrpmcn 45857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
24	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	xlimres 45850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
27	21, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝐹~~>*𝐴)
28		climxlim2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	5	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
30		climcl 15515	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	12, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
32		breldmg 5889	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
33	16, 31, 12, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 1, 29, 33	climrescn 45777	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
35	27, 34	r19.29a 3148	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_pm cpm 8841  ℂcc 11127  ℝ^*cxr 11268  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852   ⇝ cli 15500  ~~>*clsxlim 45847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-ordt 17515  df-ps 18576  df-tsr 18577  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-lm 23167  df-xms 24259  df-ms 24260  df-xlim 45848

This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45876  meaiuninc3v  46513