Theorem climxlim2 45861

Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim2.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eluzelz2 45414	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
3	2	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
5		climxlim2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	1	uzssd3 45437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ 𝑍)
9	6, 8	fssresd 6775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ*)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
12		climxlim2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1	fvexi 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
16	5, 15	fexd 7247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		climres 15611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
18	2, 16, 17	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
19	13, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) ⇝ 𝐴)
21	3, 4, 10, 11, 20	climxlim2lem 45860	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴)
22	1, 5	fuzxrpmcn 45843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
24	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
25	23, 24	xlimres 45836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))~~>*𝐴))
27	21, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ) → 𝐹~~>*𝐴)
28		climxlim2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	5	ffnd 6737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
30		climcl 15535	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	12, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
32		breldmg 5920	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
33	16, 31, 12, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 1, 29, 33	climrescn 45763	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)
35	27, 34	r19.29a 3162	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153  ℝ^*cxr 11294  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ⇝ cli 15520  ~~>*clsxlim 45833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xms 24330  df-ms 24331  df-xlim 45834

This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45862  meaiuninc3v  46499