Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2 45297
Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxlim2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxlim2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxlim2.a (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
21eluzelz2 44848 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
32ad2antlr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
4 eqid 2725 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
5 climxlim2.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
65adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
71uzssd3 44871 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
87adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
96, 8fssresd 6759 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„*)
109adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„*)
11 simpr 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚)
12 climxlim2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
1312adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
141fvexi 6906 . . . . . . . . 9 𝑍 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
165, 15fexd 7235 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
17 climres 15551 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
182, 16, 17syl2anr 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
1913, 18mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴)
2019adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴)
213, 4, 10, 11, 20climxlim2lem 45296 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴)
221, 5fuzxrpmcn 45279 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
2322adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
242adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2523, 24xlimres 45272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴))
2625adantr 479 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴))
2721, 26mpbird 256 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
28 climxlim2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
295ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
30 climcl 15475 . . . . 5 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3112, 30syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
32 breldmg 5906 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3316, 31, 12, 32syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 1, 29, 33climrescn 45199 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚)
3527, 34r19.29a 3152 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑pm cpm 8844  β„‚cc 11136  β„*cxr 11277  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852   ⇝ cli 15460  ~~>*clsxlim 45269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-ordt 17482  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-lm 23151  df-xms 24244  df-ms 24245  df-xlim 45270
This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45298  meaiuninc3v  45935
  Copyright terms: Public domain W3C validator