Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2 45134
Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxlim2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxlim2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxlim2.a (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
21eluzelz2 44685 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
32ad2antlr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
4 eqid 2726 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
5 climxlim2.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
65adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
71uzssd3 44708 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
87adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† 𝑍)
96, 8fssresd 6752 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„*)
109adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„*)
11 simpr 484 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚)
12 climxlim2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
141fvexi 6899 . . . . . . . . 9 𝑍 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
165, 15fexd 7224 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
17 climres 15525 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
182, 16, 17syl2anr 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
1913, 18mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴)
2019adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ⇝ 𝐴)
213, 4, 10, 11, 20climxlim2lem 45133 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴)
221, 5fuzxrpmcn 45116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
2322adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
242adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2523, 24xlimres 45109 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴))
2625adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))~~>*𝐴))
2721, 26mpbird 257 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
28 climxlim2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
295ffnd 6712 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
30 climcl 15449 . . . . 5 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3112, 30syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
32 breldmg 5903 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3316, 31, 12, 32syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 1, 29, 33climrescn 45036 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚)
3527, 34r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110  β„*cxr 11251  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   ⇝ cli 15434  ~~>*clsxlim 45106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-lm 23088  df-xms 24181  df-ms 24182  df-xlim 45107
This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45135  meaiuninc3v  45772
  Copyright terms: Public domain W3C validator