Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2 45861
Description: A sequence of extended reals, converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers is a converging sequence w.r.t. the standard topology on the extended reals. This is non-trivial, because +∞ and -∞ could, in principle, be complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxlim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2.a (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2 (𝜑𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eluzelz2 45414 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
32ad2antlr 727 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → 𝑗 ∈ ℤ)
4 eqid 2737 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
5 climxlim2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
71uzssd3 45437 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
96, 8fssresd 6775 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ*)
109adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ*)
11 simpr 484 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ)
12 climxlim2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹𝐴)
141fvexi 6920 . . . . . . . . 9 𝑍 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ V)
165, 15fexd 7247 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ V)
17 climres 15611 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
182, 16, 17syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
1913, 18mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴)
2019adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) ⇝ 𝐴)
213, 4, 10, 11, 20climxlim2lem 45860 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴)
221, 5fuzxrpmcn 45843 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
242adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
2523, 24xlimres 45836 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴))
2625adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗))~~>*𝐴))
2721, 26mpbird 257 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ) → 𝐹~~>*𝐴)
28 climxlim2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
295ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
30 climcl 15535 . . . . 5 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
3112, 30syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32 breldmg 5920 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3316, 31, 12, 32syl3anc 1373 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 1, 29, 33climrescn 45763 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ)
3527, 34r19.29a 3162 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  *cxr 11294  cz 12613  cuz 12878  cli 15520  ~~>*clsxlim 45833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xms 24330  df-ms 24331  df-xlim 45834
This theorem is referenced by:  dfxlim2v  45862  meaiuninc3v  46499
  Copyright terms: Public domain W3C validator