MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicrcl 19233
Description: Isomorphism implies the right side is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gicrcl (𝑅𝑔 𝑆𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem gicrcl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 19229 . . 3 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4348 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
31, 2bitri 274 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 gimghm 19223 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5 ghmgrp2 19178 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
76exlimiv 1925 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
83, 7sylbi 216 1 (𝑅𝑔 𝑆𝑆 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1773  wcel 2098  wne 2936  c0 4324   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  Grpcgrp 18895   GrpHom cghm 19172   GrpIso cgim 19216  𝑔 cgic 19217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-1o 8491  df-ghm 19173  df-gim 19218  df-gic 19219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator