Theorem gicrcl 19450

Description: Isomorphism implies the right side is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gicrcl	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem gicrcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19446	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4299	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4		gimghm 19440	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		ghmgrp2 19395	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
7	6	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
8	3, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  Grpcgrp 19106   GrpHom cghm 19389   GrpIso cgim 19433   ≃_𝑔 cgic 19434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-1o 8454  df-map 8827  df-ghm 19390  df-gim 19435  df-gic 19436

This theorem is used by: (None)