Theorem giclcl 18886

Description: Isomorphism implies the left side is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
giclcl	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem giclcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 18883	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4286	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 274	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4		gimghm 18878	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		ghmgrp1 18834	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	exlimiv 1937	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
8	3, 7	sylbi 216	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∅c0 4262   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  Grpcgrp 18575   GrpHom cghm 18829   GrpIso cgim 18871   ≃_𝑔 cgic 18872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-1o 8288  df-ghm 18830  df-gim 18873  df-gic 18874

This theorem is referenced by:  gicer  18890