MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  giclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem giclcl 19196
Description: Isomorphism implies the left side is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
giclcl (𝑅𝑔 𝑆𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem giclcl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 19193 . . 3 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4341 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
31, 2bitri 275 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 gimghm 19187 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5 ghmgrp1 19141 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
76exlimiv 1925 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
83, 7sylbi 216 1 (𝑅𝑔 𝑆𝑅 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1773  wcel 2098  wne 2934  c0 4317   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  Grpcgrp 18861   GrpHom cghm 19136   GrpIso cgim 19180  𝑔 cgic 19181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-ghm 19137  df-gim 19182  df-gic 19183
This theorem is referenced by:  gicer  19200
  Copyright terms: Public domain W3C validator