Theorem giclcl 19502

Description: Isomorphism implies the left side is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
giclcl	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem giclcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19499	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4		gimghm 19493	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		ghmgrp1 19447	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	exlimiv 1964	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
8	3, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑅 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  Grpcgrp 19159   GrpHom cghm 19442   GrpIso cgim 19486   ≃_𝑔 cgic 19487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-1o 8490  df-map 8863  df-ghm 19443  df-gim 19488  df-gic 19489

This theorem is used by:  gicer  19506