Theorem glbeu 18520

Description: Unique existence proper of a member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
glbval.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbval.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
glbva.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
glbval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
glbeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)   ≤ (𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem glbeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
2		glbval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		glbval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		glbval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		glbval.p	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
6		glbva.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	glbeldm 18518	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
8	1, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
9	8	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃!wreu 3364   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  lecple 17415  glbcglb 18464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-glb 18499

This theorem is used by:  glbval  18521  glbcl  18522  glbprop  18523  meeteu  18548  isglbd  18663  glbconN  40402