Theorem glbeu 18383

Description: Unique existence proper of a member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
glbval.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbval.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
glbva.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
glbval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
glbeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
2		glbval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		glbval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		glbval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		glbval.p	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
6		glbva.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	glbeldm 18381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
8	1, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
9	8	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃!wreu 3362   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  lecple 17283  glbcglb 18327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-glb 18362

This theorem is referenced by:  glbval  18384  glbcl  18385  glbprop  18386  meeteu  18411  isglbd  18524  glbconN  39400