Theorem glbeu 17476

Description: Unique existence proper of a member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
glbval.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbval.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
glbva.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
glbval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
glbeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
2		glbval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		glbval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		glbval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		glbval.p	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
6		glbva.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	glbeldm 17474	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
8	1, 7	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
9	8	simprd 488	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081  ∃!wreu 3083   ⊆ wss 3822   class class class wbr 4925  dom cdm 5403  ‘cfv 6185  Basecbs 16337  lecple 16426  glbcglb 17423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-glb 17455

This theorem is referenced by:  glbval  17477  glbcl  17478  glbprop  17479  meeteu  17504  isglbd  17597