MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbval 18426
Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying 𝑆 ∈ dom 𝑈) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbval.l = (le‘𝐾)
glbval.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbva.k (𝜑𝐾𝑉)
glbval.ss (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
glbval (𝜑 → (𝐺𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbval.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 glbval.g . . . . 5 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 261 . . . . 5 ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbva.k . . . . . 6 (𝜑𝐾𝑉)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → 𝐾𝑉)
71, 2, 3, 4, 6glbfval 18420 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}))
87fveq1d 6908 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑆) = (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})‘𝑆))
9 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
10 glbval.p . . . . . 6 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
111, 2, 3, 10, 6, 9glbeu 18425 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → ∃!𝑥𝐵 𝜓)
12 raleq 3320 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦))
13 raleq 3320 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦))
1413imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1514ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1612, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
1716, 10bitr4di 289 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ 𝜓))
1817reubidv 3395 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
199, 11, 18elabd 3683 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → 𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})
2019fvresd 6926 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})‘𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))‘𝑆))
21 glbval.ss . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → 𝑆𝐵)
231fvexi 6920 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2423elpw2 5339 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
2522, 24sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
2617riotabidv 7389 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑥𝐵 𝜓))
27 eqid 2734 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
28 riotaex 7391 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 7015 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))‘𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
3025, 29syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))‘𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
318, 20, 303eqtrd 2778 . 2 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
32 ndmfv 6941 . . . 4 𝑆 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑆) = ∅)
3332adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑆) = ∅)
341, 2, 3, 10, 5glbeldm 18423 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
3534biimprd 248 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) → 𝑆 ∈ dom 𝐺))
3621, 35mpand 695 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑥𝐵 𝜓𝑆 ∈ dom 𝐺))
3736con3dimp 408 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → ¬ ∃!𝑥𝐵 𝜓)
38 riotaund 7426 . . . 4 (¬ ∃!𝑥𝐵 𝜓 → (𝑥𝐵 𝜓) = ∅)
3937, 38syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝑥𝐵 𝜓) = ∅)
4033, 39eqtr4d 2777 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
4131, 40pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (𝐺𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wral 3058  ∃!wreu 3375  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cres 5690  cfv 6562  crio 7386  Basecbs 17244  lecple 17304  glbcglb 18367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-glb 18404
This theorem is referenced by:  glbcl  18427  glbprop  18428  meetval2  18452  isglbd  18566  tosglb  32949  glb0N  39174  glbconN  39358  glbconNOLD  39359
  Copyright terms: Public domain W3C validator