MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbval 18128
Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
glbval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
glbval.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
glbval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
glbva.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
glbval.ss (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
glbval (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝑦,𝐾,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 glbval.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 glbval.g . . . . 5 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
4 biid 262 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
5 glbva.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 6glbfval 18122 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ 𝐺 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))}))
87fveq1d 6802 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))})β€˜π‘†))
9 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ 𝑆 ∈ dom 𝐺)
10 glbval.p . . . . . 6 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
111, 2, 3, 10, 6, 9glbeu 18127 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)
12 raleq 3354 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦))
13 raleq 3354 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦))
1413imbi1d 343 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
1514ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
1612, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
1716, 10bitr4di 290 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ πœ“))
1817reubidv 3335 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
199, 11, 18elabd 3617 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ 𝑆 ∈ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))})
2019fvresd 6820 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))})β€˜π‘†) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))β€˜π‘†))
21 glbval.ss . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
231fvexi 6814 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2423elpw2 5278 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2522, 24sylibr 234 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
2617riotabidv 7262 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
27 eqid 2736 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
28 riotaex 7264 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6903 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))β€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
3025, 29syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))β€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
318, 20, 303eqtrd 2780 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
32 ndmfv 6832 . . . 4 (Β¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺 β†’ (πΊβ€˜π‘†) = βˆ…)
3332adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = βˆ…)
341, 2, 3, 10, 5glbeldm 18125 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
3534biimprd 249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) β†’ 𝑆 ∈ dom 𝐺))
3621, 35mpand 693 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ β†’ 𝑆 ∈ dom 𝐺))
3736con3dimp 410 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)
38 riotaund 7300 . . . 4 (Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = βˆ…)
3937, 38syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = βˆ…)
4033, 39eqtr4d 2779 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
4131, 40pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2713  βˆ€wral 3062  βˆƒ!wreu 3282   βŠ† wss 3892  βˆ…c0 4262  π’« cpw 4539   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  dom cdm 5596   β†Ύ cres 5598  β€˜cfv 6454  β„©crio 7259  Basecbs 16953  lecple 17010  glbcglb 18069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-glb 18106
This theorem is referenced by:  glbcl  18129  glbprop  18130  meetval2  18154  isglbd  18268  tosglb  31294  glb0N  37246  glbconN  37430
  Copyright terms: Public domain W3C validator