Theorem glbcl 18415

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
glbc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
glbcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem glbcl

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		glbc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		biid 261	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
5		glbc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6		glbc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7	1, 2, 3, 5, 6	glbelss 18412	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	glbval 18414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	glbeu 18413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
10		riotacl 7405	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
12	8, 11	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  Basecbs 17247  lecple 17304  glbcglb 18356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-glb 18392

This theorem is referenced by:  glbprop  18416  meetcl  18437  clatlem  18547  op0cl  39185  atl0cl  39304