Theorem glbcl 18385

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
glbc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
glbcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem glbcl

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		glbc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		biid 261	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
5		glbc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6		glbc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7	1, 2, 3, 5, 6	glbelss 18382	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	glbval 18384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	glbeu 18383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
10		riotacl 7384	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
12	8, 11	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃!wreu 3362   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  Basecbs 17233  lecple 17283  glbcglb 18327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-glb 18362

This theorem is referenced by:  glbprop  18386  meetcl  18407  clatlem  18517  op0cl  39207  atl0cl  39326