Theorem glbcl 18400

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
glbc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
glbcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem glbcl

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		glbc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		biid 263	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
5		glbc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6		glbc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7	1, 2, 3, 5, 6	glbelss 18397	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	glbval 18399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	glbeu 18398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
10		riotacl 7370	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
12	8, 11	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃!wreu 3365   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  ℩crio 7352  Basecbs 17245  lecple 17293  glbcglb 18342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-glb 18377

This theorem is referenced by:  glbprop  18401  meetcl  18422  clatlem  18534  op0cl  39808  atl0cl  39927