Theorem glbcl 18329

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
glbc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
glbcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem glbcl

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		glbc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		biid 261	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
5		glbc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6		glbc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7	1, 2, 3, 5, 6	glbelss 18326	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	glbval 18328	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	glbeu 18327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
10		riotacl 7361	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ∈ 𝐵)
12	8, 11	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃!wreu 3352   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  ℩crio 7343  Basecbs 17179  lecple 17227  glbcglb 18271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-glb 18306

This theorem is referenced by:  glbprop  18330  meetcl  18351  clatlem  18461  op0cl  39177  atl0cl  39296